激活·建構(gòu)·遷移:初中數(shù)學(xué)主題化習(xí)題課探索

?浙江省杭州濱和中學(xué) 金紅江

數(shù)學(xué)習(xí)題是學(xué)生鞏固知識(shí)、總結(jié)方法、形成經(jīng)驗(yàn)的載體,是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)不可或缺的一部分.然而,當(dāng)前初中數(shù)學(xué)習(xí)題課存在習(xí)題不具備典型性、課堂一味強(qiáng)調(diào)大容量訓(xùn)練等問(wèn)題,導(dǎo)致學(xué)生對(duì)習(xí)題課缺乏興趣、思維難以提升.筆者結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn),用主題化習(xí)題課研究融合知識(shí)技能的鞏固提升和數(shù)學(xué)思想方法的理解,從單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)化、問(wèn)題解決思考有序化、數(shù)學(xué)應(yīng)用拓展生活化三個(gè)視角探索主題化習(xí)題課教學(xué)的一般形式和方法.

1 主題化習(xí)題課的概述

所謂主題化習(xí)題課教學(xué)[1],是指在基礎(chǔ)知識(shí)的回顧和整理及基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能訓(xùn)練后,綜合運(yùn)用單元知識(shí)對(duì)某些類別的典型或重要問(wèn)題進(jìn)行深入研究,體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法,積累可遷移的解題經(jīng)驗(yàn).筆者將主題化習(xí)題課分為:主題化單元復(fù)習(xí)習(xí)題課、主題化專題復(fù)習(xí)習(xí)題課、主題化拓展性教學(xué)習(xí)題課.

主題化單元復(fù)習(xí)習(xí)題課(以下簡(jiǎn)稱單元習(xí)題課),通常安排在某個(gè)章節(jié)或單元內(nèi)容學(xué)習(xí)之后,學(xué)生通過(guò)適量的、有梯度的習(xí)題的解決,梳理出知識(shí)結(jié)構(gòu),串珠成鏈,體會(huì)其思想方法,達(dá)到單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化的目的.主題化專題復(fù)習(xí)習(xí)題課(以下簡(jiǎn)稱專題習(xí)題課),一般安排在各單元學(xué)習(xí)之后,或是專題復(fù)習(xí)之時(shí),運(yùn)用“整體—聯(lián)系”的視角,將各個(gè)相關(guān)知識(shí)串線成網(wǎng);或是運(yùn)用一種思想方法解決一類數(shù)學(xué)問(wèn)題,做到問(wèn)題解決思考有序化,它能有效解決教材中各塊知識(shí)螺旋上升的問(wèn)題.主題化拓展性教學(xué)習(xí)題課(以下簡(jiǎn)稱拓展習(xí)題課)是將課內(nèi)、課外的知識(shí)組織起來(lái),形成一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科知識(shí)的融合,學(xué)生通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)或思想解決這類問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)發(fā)展思維、提升素養(yǎng)的目的,做到數(shù)學(xué)應(yīng)用拓展生活化,它是教學(xué)的有益補(bǔ)充.

2 主題化習(xí)題課的教學(xué)

主題化習(xí)題課教學(xué)能將零散的、碎片化的知識(shí)進(jìn)行整合,有助于學(xué)生提煉解決問(wèn)題的一般方法,在知識(shí)的再認(rèn)識(shí)過(guò)程中加深對(duì)其本質(zhì)的理解,進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法,達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通、運(yùn)用自如.筆者在研究的過(guò)程中形成了如下教學(xué)思路(如圖1),使得單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)化,問(wèn)題解決思考有序化,數(shù)學(xué)應(yīng)用拓展生活化.現(xiàn)分步驟進(jìn)行闡述.

圖1

2.1 激活經(jīng)驗(yàn),獲得主題

此環(huán)節(jié)的重點(diǎn)在于通過(guò)精心設(shè)置研究主題,以典型問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回憶已學(xué)內(nèi)容,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.在實(shí)施過(guò)程中要注意構(gòu)建合適的主題,厘清知識(shí)結(jié)構(gòu)或所呈現(xiàn)的思想方法,并制定好相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo);依據(jù)目標(biāo),選擇典型的習(xí)題(或題組),學(xué)生自主解決問(wèn)題,教師及時(shí)追問(wèn),以此達(dá)到激活學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的目的,所設(shè)置的習(xí)題應(yīng)具備典型性、思考性、啟發(fā)性,并且習(xí)題入口要寬,難度不宜過(guò)大.

2.1.1 單元習(xí)題課:激活舊知,思考知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)

單元習(xí)題課,重在激活舊知,啟發(fā)學(xué)生思考零碎的知識(shí)點(diǎn)之間是否有關(guān)聯(lián),能否建立聯(lián)系.例如,在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)之后安排的習(xí)題課,設(shè)計(jì)如下引例.

案例1函數(shù)y=x2-2x-1圖象上有兩點(diǎn)P(x1,p),Q(x2,q),且p>q.請(qǐng)你找出一組符合條件的x1,x2的值.

教學(xué)簡(jiǎn)述：學(xué)生通過(guò)嘗試,寫出x1,x2的值.教師提問(wèn)“請(qǐng)判斷你所寫的值是否正確,你是怎樣判斷的?”自然獲得代入法.接著,教師通過(guò)追問(wèn)“有沒(méi)有一眼望穿的方法?”順勢(shì)歸納出圖象法,并引導(dǎo)學(xué)生將所寫的x1,x2進(jìn)行分類,根據(jù)對(duì)稱軸(直線x=1)及p>q的情況分成對(duì)稱軸左側(cè)、右側(cè)、兩側(cè)三類,由此啟發(fā)學(xué)生思考這三類情況涉及的數(shù)學(xué)知識(shí).

分析：通過(guò)此例,一方面,學(xué)生歸納了解決此類問(wèn)題的常用方法(代入法和圖象法);另一方面,通過(guò)啟發(fā)學(xué)生思考解法背后隱藏的數(shù)學(xué)知識(shí),在數(shù)學(xué)知識(shí)、解題策略之間架起來(lái)一座橋梁,構(gòu)建了研究主題.

2.1.2 專題習(xí)題課:激活經(jīng)驗(yàn),思考問(wèn)題解決的方法

專題習(xí)題課,重在激活經(jīng)驗(yàn),構(gòu)建解決此類問(wèn)題的一般方法,形成規(guī)范、有序思考問(wèn)題的習(xí)慣.例如,在“運(yùn)用對(duì)稱解決一類幾何問(wèn)題”[1]習(xí)題課中,設(shè)置如下引例.

案例2在△ABC中,AB=AC,若P是AB邊上一點(diǎn),連接CP.請(qǐng)?jiān)贏C邊上找一點(diǎn)Q,連接BQ,使之變?yōu)檩S對(duì)稱圖形,寫出一組條件.

教學(xué)簡(jiǎn)述：通過(guò)添加條件(如BP=CQ),變成軸對(duì)稱圖形后,思考是否可以得到有關(guān)相等的角、相等的線段、全等圖形的新結(jié)論.細(xì)思緣由,均源于等腰三角形的對(duì)稱性.進(jìn)一步生成新問(wèn)題——在①AB=AC,②BQ=CP,③BP=CQ中任選兩個(gè)為條件,另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成命題,試寫出其中的真命題.

分析：從熟悉的等腰三角形中積累經(jīng)驗(yàn),可先將不對(duì)稱的圖形,通過(guò)添輔助線,變成軸對(duì)稱圖形(如圖2);觀察通過(guò)添輔助線后出現(xiàn)了怎樣的新圖形,從新圖形中發(fā)現(xiàn)了怎樣的結(jié)論或新的解題思路,由此歸納解決這類對(duì)稱圖形問(wèn)題的一般方法,為運(yùn)用此方法解決問(wèn)題作準(zhǔn)備.

圖2

2.1.3 拓展習(xí)題課:激活思維,思考研究問(wèn)題的方法

拓展習(xí)題課,重在以知識(shí)點(diǎn)為紐帶,激活思維,構(gòu)建學(xué)習(xí)主題.如在“黃金分割主題化拓展性教學(xué)”[2]中,由斷臂維納斯雕像抽象出黃金分割的概念、計(jì)算出黃金比后,設(shè)置如下引例.

圖3

φ

2

φ

B.φ2=1-φ

(2)如圖3,B是線段AC的黃金分割點(diǎn),分別以AB,BC為邊向外作正方形ABFE和正方形BCHG,得到矩形ACME(如圖4).通過(guò)計(jì)算,找出圖4中的黃金矩形.

圖4

分析：通過(guò)黃金分割的代數(shù)表達(dá)和其在二維圖形中的幾何表達(dá)設(shè)置引例,關(guān)聯(lián)繁分?jǐn)?shù)斐波那契數(shù)列、黃金矩形等相關(guān)知識(shí),激活問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn),體會(huì)用有限估計(jì)無(wú)限的思想以及無(wú)限分割的思想,為引出黃金螺線、斐波那契螺線作鋪墊,以此為數(shù)學(xué)應(yīng)用拓展生活化作準(zhǔn)備.

2.2 聚焦本質(zhì),建構(gòu)方法

主題化學(xué)習(xí)不只是學(xué)習(xí)單一的概念、原理,更重要的是基于理解將看似孤立的、靜態(tài)的、分散的學(xué)習(xí)內(nèi)容,內(nèi)在地“組織”起來(lái),形成有一定關(guān)聯(lián)的知識(shí)結(jié)構(gòu).學(xué)習(xí)過(guò)程中需要引導(dǎo)學(xué)生用“怎樣研究一類數(shù)學(xué)對(duì)象”的大觀念引領(lǐng)知識(shí)體系的重構(gòu),其核心在相互聯(lián)系中深化對(duì)知識(shí)的理解,體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法,建構(gòu)解決問(wèn)題的方法.

2.2.1 單元習(xí)題課:單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化

單元習(xí)題課,重在將零碎的知識(shí)進(jìn)行重構(gòu),使學(xué)生從整體上理解知識(shí)的本質(zhì),建構(gòu)知識(shí)體系.

2.2.2 專題習(xí)題課:問(wèn)題解決的思考有序化

專題習(xí)題課,重在從不同知識(shí)背景中建構(gòu)出解決問(wèn)題的一般方法,使問(wèn)題解決的思考有序化.

在案例2中,已知AB=AC,BQ=CP,未必能推出BP=CQ.因?yàn)橐訠為圓心,以BQ長(zhǎng)為半徑作圓,與AC邊有兩個(gè)交點(diǎn).此時(shí)可繼續(xù)研究,將另一個(gè)交點(diǎn)記為Q′,如圖5,連接BQ′后,觀察產(chǎn)生的新圖形——等腰三角形BQQ′和兩對(duì)相似三角形(△BPF∽△BQA,△FQC∽△APC),此時(shí)就可以求任何一條線段的長(zhǎng)度.引導(dǎo)學(xué)生嘗試添加條件,給出一些線段的長(zhǎng)度,求BF的長(zhǎng).

圖5

教師也可以增加難度,給出條件“AB=AC=10,BP=4,CQ=2”,讓學(xué)生思考具體的解法.

最后形成解決此類問(wèn)題的一般思考方式:在對(duì)稱圖形中,嘗試先將不對(duì)稱問(wèn)題通過(guò)添輔助線將之轉(zhuǎn)化成軸對(duì)稱圖形問(wèn)題,然后觀察產(chǎn)生了哪些新的圖形,從新圖形的解題套路中獲得解題思路.

2.2.3 拓展習(xí)題課:數(shù)學(xué)拓展應(yīng)用生活化

拓展習(xí)題課,重在通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),建立數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系,使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,掌握研究問(wèn)題的一般方法.例如,在案例3中,學(xué)生體會(huì)到無(wú)限分割的思想后,得到斐波那契螺線和黃金螺線(如圖6),同時(shí)展示如圖7的圖片.

圖6

圖7

培養(yǎng)學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)斐波那契螺線、黃金螺線,建立他們與黃金矩形的廣泛聯(lián)系,同時(shí)也獲得了一類幾何對(duì)象的研究方法.

2.3 遷移應(yīng)用,發(fā)展能力

主題化學(xué)習(xí)還需要將知識(shí)或方法遷移到新的問(wèn)題情境中加以應(yīng)用,經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”過(guò)程,體會(huì)知識(shí)的本質(zhì),而不是機(jī)械的記憶、模式化的套用和重復(fù)性的訓(xùn)練.在主題化習(xí)題課中,所使用的問(wèn)題應(yīng)具有一定的梯度和層次性,幫助學(xué)生充分挖掘問(wèn)題的核心與本質(zhì),在變化和應(yīng)用中促使學(xué)生深入思考,在不斷轉(zhuǎn)化過(guò)程中把握問(wèn)題的本質(zhì),尋找新的解決問(wèn)題的方法,在問(wèn)題解決過(guò)程中,促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解以及方法的掌握,拓展思維的深度和廣度,從而發(fā)展數(shù)學(xué)能力,實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

在專題習(xí)題課“運(yùn)用對(duì)稱解決一類幾何問(wèn)題”[1]的遷移環(huán)節(jié),安排如下習(xí)題:

圖8

利用矩形ABCD中AD邊的中點(diǎn)F,通過(guò)連接BF(如圖9),或取BC中點(diǎn)M,連接DM(如圖10),將之變成軸對(duì)稱圖形,然后觀察,產(chǎn)生新的圖形等腰三角形,即可推得答案,實(shí)現(xiàn)解題策略上的遷移.

圖9

圖10

圖11

3 主體化習(xí)題課的教學(xué)思考

3.1 主題的選擇要契合學(xué)生的需要

在確定主題化習(xí)題課學(xué)習(xí)主題時(shí)應(yīng)充分考慮學(xué)生的需要,明確哪些主題能將看似孤立的、分散的知識(shí)按照一定的結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合在一起,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通;哪些主題能幫助學(xué)生揭示其背后的通性通法,高效地解決某一類問(wèn)題;哪些主題能幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系,體會(huì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性和應(yīng)用性.例如,學(xué)生在學(xué)完一元二次方程的四種解法后,需要選擇適當(dāng)?shù)慕夥焖偾蠼夥匠?需要體會(huì)四種解法的內(nèi)在一致性,形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化.再如,學(xué)生學(xué)完等腰三角形、矩形、菱形、正方形等軸對(duì)稱圖形之后,需要利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì),快速轉(zhuǎn)化條件形成解題有序思考路徑.又如,學(xué)生學(xué)完黃金分割,需要利用黃金比串連起分?jǐn)?shù)、斐波那契數(shù)列、黃金矩形等相關(guān)知識(shí),需要運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)人文、建筑、藝術(shù)中蘊(yùn)含的“黃金”之美,形成研究一類新的幾何對(duì)象的一般方法.教師如果善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的這些需要,那么利用適量的、典型的、有啟發(fā)性的習(xí)題.即可構(gòu)建起邏輯連貫、前后一致的學(xué)習(xí)主題.

3.2 教學(xué)的實(shí)施要突出思維的培養(yǎng)

3.3 教學(xué)的深入取決于教師專業(yè)素養(yǎng)

主題化習(xí)題課的設(shè)計(jì)與實(shí)施需要教師有系統(tǒng)、整體地分析內(nèi)容及駕馭課堂的能力,需要在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)主題,幫助學(xué)生連貫、深入、有序地研究和思考問(wèn)題;需要選擇、改編或者原創(chuàng)典型的、適量的、有啟發(fā)性的習(xí)題,在更高認(rèn)知層次上形成解決一類問(wèn)題的一般方法,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).這些均需要教師有較高的專業(yè)素養(yǎng).教師應(yīng)不斷加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)和思考,將主題化習(xí)題課教學(xué)推向深入.