如何利用圖形的平移解決規(guī)律探索題

? 安徽省宿州市碼山縣晨光中學(xué) 郭祖濤

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),規(guī)律探索題在日常檢測與中考中出現(xiàn)的幾率非常大,且難度較大,往往是學(xué)生提高學(xué)業(yè)水平的“攔路虎”[1].基于此,本文中從例題分析出發(fā),嘗試總結(jié)出利用圖形的平移解決規(guī)律探索題的方法.

1 規(guī)律探索題的素養(yǎng)體現(xiàn)

規(guī)律探索題之所以是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn),是因?yàn)橐?guī)律的探索尤為注重對規(guī)律性特征的把握,而這又依賴于從情境式的問題中尋找隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系,整個(gè)過程可以看成是對規(guī)律性結(jié)構(gòu)的重建與加工.因此,規(guī)律探索題主要體現(xiàn)了以下素養(yǎng):

首先,數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng).將圖形的平移抽象成點(diǎn)的變化,通過點(diǎn)的變化進(jìn)行邏輯推理,并得到其他點(diǎn)的坐標(biāo),這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng).

其次,直觀想象與邏輯推理素養(yǎng).通過圖形可直觀地觀察點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況,并總結(jié)出點(diǎn)的變化規(guī)律,從而運(yùn)用邏輯推理得到其他點(diǎn)的坐標(biāo),這是直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)的體現(xiàn).

最后,邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致坐標(biāo)的變化,而其變化規(guī)律既要通過邏輯推理得到,同時(shí)應(yīng)用其規(guī)律推理其他點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),又是數(shù)學(xué)運(yùn)算的體現(xiàn).所以,應(yīng)用圖形的平移解決規(guī)律探索題時(shí),體現(xiàn)了邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2 例題分析及解法評析

下面結(jié)合例題分析嘗試總結(jié)利用圖形的平移解決規(guī)律探索題的方法.

例1已知A1,A2,A3,A4,A5,……的坐標(biāo)分別為(1,0),(1,1),(-1,1),(-1,-1),(2,-1),……,如圖1進(jìn)行下去,則點(diǎn)A2 013的坐標(biāo)是( ).

圖1

A.(504,-503) B.(504,504)

C.(-504,504) D.(-504,-504)

解析：根據(jù)觀察不難發(fā)現(xiàn),凡是角標(biāo)數(shù)字為4的倍數(shù)的點(diǎn)全部位于第三象限.

因?yàn)? 013÷4=503……1,所以A2 013在第四象限,故A2 012在第三象限.

由2 012÷4=503,可知A2 012是第三象限第503個(gè)點(diǎn).

所以A2012的坐標(biāo)應(yīng)是(-503,-503).故A2013的坐標(biāo)應(yīng)是 (504,-503).

故選答案:A.

解法評析：本題主要考查學(xué)生觀察規(guī)律、總結(jié)規(guī)律和應(yīng)用規(guī)律解決問題的能力.規(guī)律的觀察重在用數(shù)學(xué)眼光看待問題,規(guī)律的總結(jié)重在用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題,規(guī)律的應(yīng)用重在用數(shù)學(xué)方法解決問題,這是學(xué)科素養(yǎng)的體現(xiàn).在解決這類問題時(shí),抓住角標(biāo)的變化規(guī)律,就可以抓住點(diǎn)的變化規(guī)律[2].

例2如圖2所示,在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)A(-1,0)做如下的連續(xù)平移,A(-1,0)→A1(-1,1)→A2(2,1)→A3(2,-4)→A4(-5,-4)→A5(-5,5)……,按此規(guī)律平移下去,則點(diǎn)A102的坐標(biāo)是( ).

圖2

A.(100,101) B.(101,100)

C.(102,101) D.(103,102)

分析：根據(jù)題意可知,點(diǎn)A平移時(shí)所在象限每4次為一個(gè)周期.由102÷4=25……2,可知點(diǎn)A102的坐標(biāo)與點(diǎn)A4n+2的坐標(biāo)規(guī)律相同,分別求出A2,A6,A10的坐標(biāo),找出規(guī)律后即可求解.

解析：根據(jù)將點(diǎn)A(-1,0)作如下的連續(xù)平移,A(-1,0)→A1(-1,1)→A2(2,1)→A3(2,-4)→A4(-5,-4)→A5(-5,5)……,得到其中的規(guī)律就是點(diǎn)A平移時(shí)所在象限每4次為一個(gè)周期.

因?yàn)?02÷4=25……2,所以點(diǎn)A102的坐標(biāo)與點(diǎn)A4n+2的坐標(biāo)規(guī)律相同.

因?yàn)锳2,A6,A10的坐標(biāo)分別是(2,1),(6,5),(10,9),以此類推,點(diǎn)A4n+2的坐標(biāo)是(4n+2,4n+1),所以A102的坐標(biāo)是(102,101).

故選答案:C.

解法評析：本題與例1的解法類似,都是找出點(diǎn)的下標(biāo)的規(guī)律,據(jù)此找出點(diǎn)A的平移規(guī)律或平移周期,最后根據(jù)這一規(guī)律計(jì)算即可.

例3有一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的動(dòng)點(diǎn),按照如圖3所示的箭頭移動(dòng),每次移動(dòng)一個(gè)單位長度,依次得到點(diǎn)P1,P2,P3,P4,P5,P6,……,它們的坐標(biāo)分別是(0,1),(1,1),(1,0),(1,-1),(2,-1),(2,0),……,按照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,點(diǎn)P60的坐標(biāo)是______.

圖3

分析：根據(jù)圖形分別求出n=3,6,9時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),可知點(diǎn)P3n(n,0),將n=20代入可得.

解：因?yàn)镻3(1,0),P6(2,0),P9(3,0),……,所以P3n(n,0).

當(dāng)n=20時(shí),P60(20,0).

故填答案:(20,0).

解法評析：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律,仔細(xì)觀察圖形,分別求出n=3,6,9時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

3 方法總結(jié)

通過上面幾道例題的分析和解法評析不難發(fā)現(xiàn),利用圖形的平移解決規(guī)律探索題,既有趣又探究意義十足,是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要方法.下面對利用圖形的平移解決規(guī)律探索題的方法作如下總結(jié):

首先,利用圖形的平移解決規(guī)律探索題一定會(huì)應(yīng)用圖形的平移知識(shí),其中主要涉及點(diǎn)的平移規(guī)律[3].所以,在教學(xué)中需幫助學(xué)生不斷鞏固和強(qiáng)化圖形平移中點(diǎn)的平移規(guī)律.筆者建議,教師可通過例題變式或舉一反三的形式,讓學(xué)生接觸各種點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方式,如例1、例2的“旋轉(zhuǎn)式”或例3的“S式”等.這樣一來,學(xué)生就會(huì)不斷積累相應(yīng)的分析與解題經(jīng)驗(yàn),更有利于問題的解決.

其次,奠定知識(shí)基礎(chǔ)后,接著通過圖形觀察點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).通常點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)蘊(yùn)藏著一定規(guī)律,這個(gè)規(guī)律不僅呈現(xiàn)出周期變化,而且往往與點(diǎn)的角標(biāo)規(guī)律有關(guān).所以,結(jié)合序號(hào)分析點(diǎn)的角標(biāo)的變化規(guī)律對解決這類問題非常關(guān)鍵.但是,有時(shí)候角標(biāo)的規(guī)律可能比較難分析,這就需要教師補(bǔ)充規(guī)律探索中的數(shù)字式規(guī)律,從而幫助學(xué)生彌補(bǔ)這一不足.

最后,在找到點(diǎn)的角標(biāo)規(guī)律后,將題中要求的點(diǎn)的角標(biāo)與該規(guī)律聯(lián)系起來,并進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算即可求解.這種計(jì)算往往比較簡單,但仍需學(xué)生多加注意.

綜上所述,盡管規(guī)律探究題的難度不小,且其中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程需用心分析,但并非意味著學(xué)生遇到此類問題時(shí)可“繞道而行”,相反應(yīng)“迎難而上”.因此,作為一線初中數(shù)學(xué)教師要善于從題中總結(jié)出解題方法,幫助學(xué)生解決疑難問題[4].只有這樣,學(xué)生的探究能力和問題解決能力才會(huì)得到提高.