學(xué)程重構(gòu):指向發(fā)展初中生數(shù)學(xué)高階思維的實(shí)踐研究*
——以“函數(shù)”單元教學(xué)起始課為例

?江蘇省鹽城市鹿鳴路初級(jí)中學(xué) 陸麗萍

史寧中教授認(rèn)為,數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵在于發(fā)展思維,尤其是高層次的思維,培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的思維思考世界的素養(yǎng).高階思維不是教師“教”出來的,而是學(xué)生自己“學(xué)”出來的.只有把“灌輸”“填鴨”式的教學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的“學(xué)”,通過自我建構(gòu),深度學(xué)習(xí)才會(huì)發(fā)生,高階思維才能形成.

以課堂教學(xué)為主線,以學(xué)生的學(xué)習(xí)過程為核心,注重學(xué)習(xí)建構(gòu)理論的精煉,建立一個(gè)完整的單元式教學(xué)架構(gòu),并探索如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考,讓學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)去理解知識(shí),發(fā)展高階思維.注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)中的問題意識(shí),構(gòu)建互動(dòng)生成的學(xué)本課堂,把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生,讓師生、生生的互動(dòng)貫穿課堂.伴隨著這種“互動(dòng)”,學(xué)生的問題意識(shí)會(huì)愈來愈強(qiáng)烈,創(chuàng)新意識(shí)也會(huì)得到進(jìn)一步培養(yǎng),進(jìn)而核心素養(yǎng)也會(huì)得到發(fā)展.

筆者在蘇科版數(shù)學(xué)教材“函數(shù)”單元起始課的教學(xué)中,對(duì)學(xué)程重構(gòu)有一些收獲與思考,在此總結(jié)出來,希望對(duì)初中數(shù)學(xué)同行能夠起到拋磚引玉的作用.

1 以“問”為先,發(fā)展高階思維的深度

1.1 創(chuàng)設(shè)情境

教師到學(xué)校之前,先到加油站加油.

情境1:在加油站拍攝的畫面如圖1,在加油機(jī)給汽車加油的過程中,涉及幾個(gè)量?哪些量保持不變?哪些量是變化的?

圖1

情境2:加完油,在汽車行駛的過程中,哪些量保持不變?哪些量是變化的?

情境3:汽車油箱中原有油40 L,行駛過程中每小時(shí)耗油5 L,若行駛的時(shí)間為xh,油箱中剩余的油量為QL.行駛過程中哪些量是變化的?哪些量沒有變化?

在以上三個(gè)情境中出現(xiàn)的量,有些量保持不變,有些量發(fā)生變化,為了區(qū)別這兩種量,我們把它們分別叫做常量和變量.在某一變化過程中,數(shù)值保持不變的量叫做常量.在某一變化過程中,可以取不同數(shù)值的量叫做變量.

找一找:(1)在圓的周長(zhǎng)公式C=πd中,常量是,變量是.

(2)若彈性測(cè)力儀原來的長(zhǎng)度為10 cm,每1 kg的重物使彈簧伸長(zhǎng)0.5 cm,則含重物質(zhì)量m(單位:kg)的彈簧測(cè)力儀的長(zhǎng)度為l(單位:cm),常量是,變量是.

師:判斷一個(gè)量是常量還是變量,需要看兩個(gè)方面.①看它是否存在于一個(gè)變化過程中;②看它在這個(gè)過程中的取值情況.

說一說:你能舉出生活中某些變化的例子嗎?并指出其中的常量和變量.

1.2 探索活動(dòng)一:感受新知

探究1：生活中存在許多常量和變量,例如,水庫(kù)蓄水的問題.

已知水庫(kù)(如圖2)的水位與蓄水量情況如表1所示:

表1

圖2

表1中有哪些量?它們是常量還是變量?水位高低與水庫(kù)的蓄水量有什么關(guān)系?

這些數(shù)據(jù)已讓我們更清楚地感受到這兩個(gè)量的變化.根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以判斷當(dāng)水位高度一定時(shí)蓄水量確定嗎?

對(duì)于給定的每一個(gè)水位,蓄水量都有幾個(gè)值與它對(duì)應(yīng)?

對(duì)于給定的每一個(gè)水位,蓄水量都有唯一的值與它對(duì)應(yīng).因此,工作人員可以根據(jù)測(cè)得的水位,及時(shí)報(bào)告水庫(kù)蓄水量.

探究2：老師看到水庫(kù)里小魚游來游去,想到一個(gè)搭小魚的游戲.

如圖3,搭一條小魚需要幾根火柴棒?搭兩條呢?搭三條呢?你有什么發(fā)現(xiàn)?

圖3

你能說出我們搭小魚過程中的常量和變量嗎?

火柴的根數(shù)s與小魚的條數(shù)n這兩個(gè)變量間有什么關(guān)系?這兩個(gè)變量有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢?

請(qǐng)同學(xué)們用剛才分析問題的方法思考一下!

按這樣的方式,如果想搭4條小魚,需要多少根火柴棒?你有什么發(fā)現(xiàn)?

在搭小魚的過程中,當(dāng)小魚條數(shù)確定時(shí),所需火柴的根數(shù)確定嗎?

設(shè)小魚條數(shù)為n,火柴根數(shù)為s.n=1時(shí),s=8;n=2時(shí),s=14;n=3時(shí),s=20;小魚條數(shù)為n時(shí),s=8+6(n-1).

給定小魚的條數(shù),所需火柴根數(shù)對(duì)應(yīng)幾個(gè)值?小魚條數(shù)每取一個(gè)值時(shí),所需火柴的根數(shù)就有唯一的值與它對(duì)應(yīng).

探究3：波紋問題.如圖4,在平靜的水面上擲一枚石子,會(huì)形成波紋.變化中的波紋可看作是一個(gè)不斷向外擴(kuò)展的圓.

圖4

這個(gè)過程中,變量有哪些?請(qǐng)你嘗試描述變化中圓的面積與其半徑大小之間的關(guān)系.

如果圓的半徑是10 cm,那么圓的面積確定嗎?唯一確定嗎?圓的面積隨半徑的變化而變化,當(dāng)半徑確定時(shí),圓的面積也隨之確定.當(dāng)半徑每取一個(gè)值時(shí),圓的面積就有唯一的值與它對(duì)應(yīng).

2 以“學(xué)”為本,重構(gòu)高階思維的學(xué)程體系

2.1 歸納變化過程中的共同特征,抽象出函數(shù)概念

小組交流:回顧上述幾個(gè)生活實(shí)例,盡管它們反映的實(shí)際問題不一樣,但是具有一些共同點(diǎn),你能找出來嗎?這些變化過程有哪些共同之處?(和小組同伴交流,共同完成.)

上述三個(gè)實(shí)際問題的共同點(diǎn):都有兩個(gè)變量,可用x,y來表示;其中一個(gè)變量隨另一個(gè)的變化而變化;當(dāng)x取定一個(gè)值時(shí),y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).

當(dāng)一個(gè)變化過程中兩個(gè)變量具有上述基本特征時(shí),我們就說它們之間具有函數(shù)關(guān)系.

抽象得到函數(shù)的概念:一般地,如果在一個(gè)變化的過程中有兩個(gè)變量x和y,并且對(duì)于變量x的每一個(gè)值,變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng),那么我們稱x是自變量,y是x的函數(shù).

回頭看前面的實(shí)例,現(xiàn)在可以用函數(shù)的思想來理解其中兩個(gè)變量間的關(guān)系了嗎?

在水庫(kù)蓄水過程中,蓄水量是水位的函數(shù);在搭小魚的過程中,所用火柴根數(shù)是小魚條數(shù)的函數(shù);在波紋逐漸變化的過程中,圓的面積是半徑的函數(shù).

2.2 探索活動(dòng)活動(dòng)二:鞏固新知

同學(xué)們的思維真活躍,說明大家對(duì)函數(shù)已有了一定的認(rèn)識(shí),讓我們?cè)谑煜さ膯栴}中進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的理解.

探究4：觀察圖5中的程序,當(dāng)x=1時(shí),對(duì)應(yīng)y的值是?當(dāng)x=2時(shí),y的值是?當(dāng)x=-1時(shí),y的值是?這個(gè)變化過程中,有幾個(gè)變量?是哪幾個(gè)變量?

圖5

輸入一個(gè)實(shí)數(shù)x,便可輸出一個(gè)相應(yīng)的實(shí)數(shù)y,請(qǐng)問y是x的函數(shù)嗎?

如何判斷呢?要看是不是兩個(gè)變量,一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化,當(dāng)一個(gè)變量確定時(shí),另一個(gè)變量也隨之確定.

3 以“創(chuàng)”為準(zhǔn),實(shí)施高階思維的育人策略

小組活動(dòng):如圖6,用10 m長(zhǎng)的繩子圍成長(zhǎng)方形.在這個(gè)背景下,你能設(shè)計(jì)出存在函數(shù)關(guān)系的問題嗎?

圖6

上述每個(gè)問題中的兩個(gè)變量都是互相聯(lián)系的,當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí),另外一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).

小結(jié)提升:學(xué)習(xí)了本節(jié)課,你對(duì)函數(shù)有怎樣的認(rèn)識(shí)?你還有哪些疑惑?

我們生活在變化的世界里,函數(shù)揭示了變量之間的關(guān)系.世間萬(wàn)物皆相通,事件前后皆因果.希望同學(xué)們能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.學(xué)好函數(shù),用好函數(shù).將使我們一生受益.