建數(shù)學(xué)模型 抓數(shù)學(xué)本質(zhì) 現(xiàn)生活原型*
——以“銷(xiāo)售中的盈虧”教學(xué)為例

?山東省淄博市臨淄區(qū)淄江中學(xué) 戴佳珉

?山東省淄博市臨淄區(qū)教學(xué)研究室 單熙文

1 課前分析

1.1 學(xué)情分析

七年級(jí)階段,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)和整式的有關(guān)知識(shí),也學(xué)習(xí)了一元一次方程的簡(jiǎn)單列法和解法.由于學(xué)生的思維剛剛從經(jīng)驗(yàn)型向理論型發(fā)展,對(duì)于如何用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題,即如何將實(shí)際問(wèn)題抽象概括為數(shù)學(xué)中的方程問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),因此培養(yǎng)其模型意識(shí)與模型思想是本節(jié)課的重點(diǎn).

1.2 教學(xué)思路分析

本節(jié)課基于整體設(shè)計(jì)思路,通過(guò)創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境,在學(xué)生樂(lè)學(xué)的過(guò)程中,也滲透了人文關(guān)懷,知識(shí)和建模兩條主線(xiàn)并舉前行,實(shí)現(xiàn)最終的教學(xué)目的.

知識(shí)主線(xiàn)(明線(xiàn)):通過(guò)建立利潤(rùn)問(wèn)題的應(yīng)用模型和用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的模型,學(xué)生可以解決銷(xiāo)售中的盈虧問(wèn)題.

思想主線(xiàn)(暗線(xiàn)):通過(guò)問(wèn)題情境導(dǎo)入新課,讓學(xué)生在情境中建立利潤(rùn)問(wèn)題的應(yīng)用模型、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的模型、用方程解決實(shí)際問(wèn)題的模型,使模型真正成為一種思想,成為學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的有力抓手.

2 課堂簡(jiǎn)錄

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,鳳舉鸞翔

師:中國(guó)隊(duì)在2022年北京冬奧會(huì)上,拿到了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌,一共15塊獎(jiǎng)牌,創(chuàng)造了單屆冬奧會(huì)奪金紀(jì)錄、單屆冬奧會(huì)奪牌紀(jì)錄,而且這一屆冬奧會(huì),中國(guó)隊(duì)也創(chuàng)造了亞洲國(guó)家最好的成績(jī).圖1是奧運(yùn)健兒的領(lǐng)獎(jiǎng)服,若超市中吊牌價(jià)是500元,為了促進(jìn)銷(xiāo)量,如果你作為商店老板,遇到這種情況應(yīng)該如何處理?

圖1

生1:商店老板應(yīng)該打折處理商品.

引入課題：銷(xiāo)售中的盈虧

教學(xué)說(shuō)明：數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、實(shí)施素質(zhì)教育的功能[1].建立此情境一是培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感,把育人通過(guò)情境潛移默化地滲透,同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;二是讓學(xué)生體會(huì)隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)越來(lái)越密切,讓學(xué)生置身于解決問(wèn)題的情境中,使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待世界.

2.2 探索新知,群鳳和鳴

2.2.1 探究1:我們也當(dāng)一回老板

作為老板,如果這件標(biāo)價(jià)為500元的領(lǐng)獎(jiǎng)服打七折.

問(wèn)題1這件領(lǐng)獎(jiǎng)服賣(mài)了多少錢(qián)?

生2:500×70%=350(元).

文字語(yǔ)言:標(biāo)價(jià)×折扣率=售價(jià).

問(wèn)題2領(lǐng)獎(jiǎng)服進(jìn)價(jià)300元,賺了多少錢(qián)?

生3:350-300=50(元).

文字語(yǔ)言:售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤(rùn).

問(wèn)題3你賣(mài)這件領(lǐng)獎(jiǎng)服的利潤(rùn)率是多少?

在此過(guò)程中,讓學(xué)生明確“進(jìn)價(jià)”即“成本”,“標(biāo)價(jià)”即“原價(jià)”“定價(jià)”,“售價(jià)”即“成交價(jià)”“買(mǎi)價(jià)”,“利潤(rùn)”分“盈利”與“虧損”等.

教學(xué)說(shuō)明：學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往會(huì)被各種名稱(chēng)所困擾,因此這一環(huán)節(jié)顯得尤為重要.教學(xué)中,要讓學(xué)生從紛繁復(fù)雜的世界中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的表達(dá)形式,從實(shí)際問(wèn)題中抽象出符號(hào)語(yǔ)言,再?gòu)姆?hào)語(yǔ)言到文字語(yǔ)言的總結(jié),讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程.通過(guò)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言,可以簡(jiǎn)約、精確地描述自然現(xiàn)象、科學(xué)情境和日常生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式;能夠在現(xiàn)實(shí)生活與其他學(xué)科中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型,表達(dá)和解決問(wèn)題;形成數(shù)學(xué)的表達(dá)與交流能力,發(fā)展應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力[1].由此讓學(xué)生能夠更加理解數(shù)學(xué),建立利潤(rùn)問(wèn)題的模型.

師:假如你在出售這件奧運(yùn)會(huì)領(lǐng)獎(jiǎng)服時(shí),打了3折,那么售出這件衣服后是盈利還是虧損呢?

生5:判斷是盈利還是虧損需要看利潤(rùn),利潤(rùn)為正是盈利,利潤(rùn)為負(fù)是虧損.

生6:利潤(rùn)為零是既不虧損也不盈利.

生7:于是我們發(fā)現(xiàn)

師:總結(jié)得非常好,把握好這個(gè)規(guī)律之后,請(qǐng)大家打打自己的小算盤(pán)吧.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)對(duì)利潤(rùn)、盈利、虧損三者關(guān)系的再分析,從感性到理性自然地掌握銷(xiāo)售中的等量關(guān)系,并逐步突破重點(diǎn),為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).正所謂“隨風(fēng)潛入夜,潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”.

2.2.2 探究2:打打你的小算盤(pán)

問(wèn)題4(1)進(jìn)價(jià)為80元的籃球,盈利了30%,則售價(jià)為.

(2)進(jìn)價(jià)為80元的籃球,虧損了30%,則售價(jià)為.

問(wèn)題5某商店將電視機(jī)以3 600元的價(jià)格賣(mài)出,其中盈利20%,其成本價(jià)是多少?

除此之外,還應(yīng)注意文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換,以及公式的變形,以上兩個(gè)問(wèn)題就用到了.如,售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤(rùn),利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率,這兩個(gè)公式都是對(duì)原有公式的變形.

師:以上同學(xué)們的展示非常精彩,老師為你們的表現(xiàn)感到高興.上面我們就是用剛剛建立的利潤(rùn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,解決了現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)說(shuō)明：探究1和探究2都是關(guān)于成本價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)等之間的問(wèn)題,題目設(shè)計(jì)有梯度,循序漸進(jìn),為下一環(huán)節(jié)做好鋪墊,從而突出重點(diǎn),分散難點(diǎn).

2.3 提升領(lǐng)學(xué),鳳翔九天

問(wèn)題6某商店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣(mài)出兩件衣服,其中一件盈利25%,另一件虧損25%,分析給出的信息,我們可以猜測(cè)盈虧情況嗎?

根據(jù)學(xué)情猜測(cè),提出新問(wèn)題:兩件商品售出后的盈虧情況是怎樣的?

教學(xué)說(shuō)明：提出這樣的開(kāi)放性問(wèn)題,時(shí)刻提醒學(xué)生不要被表面現(xiàn)象所蒙蔽,培養(yǎng)其創(chuàng)新意識(shí),這樣有助于學(xué)生形成獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度與理性精神.

師:大家的猜測(cè)各有不同,那到底是什么呢?大家需要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題7某商店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣(mài)出兩件衣服,其中一件盈利25%,另一件虧損25%,賣(mài)這兩件衣服總的是盈利還是虧損,或是不盈不虧?

生9:賣(mài)這兩件衣服是盈利還是虧損,取決于這兩件衣服的售價(jià)和進(jìn)價(jià),若售價(jià)大于進(jìn)價(jià),就盈利,反之就虧損.現(xiàn)已知這兩件衣服總售價(jià)為60×2=120(元),需要求出這兩件衣服的進(jìn)價(jià).

本問(wèn)題中,設(shè)盈利25%的那件衣服的進(jìn)價(jià)是x元,則它的利潤(rùn)就是0.25x元.根據(jù)進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)=售價(jià),列方程得x+0.25x=60,解得x=48.

類(lèi)似地,設(shè)另一件衣服的進(jìn)價(jià)為y元,則它的利潤(rùn)是-0.25y元.根據(jù)相等關(guān)系,列方程得y-0.25y=60,解得y=80.

兩件衣服進(jìn)價(jià)共128元,而兩件衣服的售價(jià)和為120元,進(jìn)價(jià)大于售價(jià),由此可知賣(mài)這兩件衣服總的盈虧情況是虧損8元.

師:解方程后得出的結(jié)論與你之前的猜測(cè)一致嗎?

大多學(xué)生會(huì)認(rèn)為一件盈利25%,一件虧損25%,結(jié)果不盈不虧,但是通過(guò)學(xué)生應(yīng)用模型的意識(shí),利用建立的利潤(rùn)問(wèn)題模型透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),正是“盈”與“虧”的矛盾沖突,推動(dòng)了事物的進(jìn)一步發(fā)展,從而獲得解決問(wèn)題的方法——用一元一次方程模型解決現(xiàn)實(shí)生活中的盈虧問(wèn)題.當(dāng)學(xué)生真正拿起數(shù)學(xué)的“武器”驗(yàn)證前面的猜測(cè)時(shí),不管所驗(yàn)證的猜測(cè)正確與否,都能讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)是解決生活中實(shí)際問(wèn)題的有力工具,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,引導(dǎo)學(xué)生批判性地看待問(wèn)題,培養(yǎng)大膽質(zhì)疑解惑的能力.

教學(xué)說(shuō)明：順承猜測(cè),而成本題.

2.4 課堂小結(jié),升華自我

師生共同提煉.

模型一：

生10:(1)標(biāo)價(jià)×折扣率=售價(jià);

(2)利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià);

生11:售價(jià)=利潤(rùn)+進(jìn)價(jià);進(jìn)價(jià)=售價(jià)-利潤(rùn).

師:回答得都很正確,看似我們學(xué)習(xí)了很多知識(shí),實(shí)際上都是由一個(gè)公式變形而來(lái)的.學(xué)習(xí)的時(shí)候抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)可以做到以不變應(yīng)萬(wàn)變,這樣學(xué)起來(lái)會(huì)很輕松.

生12:生活當(dāng)中有很多盈利與虧損的例子.

師:這就是數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又服務(wù)于生活.

生13:我們要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),一元一次方程會(huì)幫我們解決很多生活中的問(wèn)題.

生14:……

師:你們的回答很精彩.最后,老師也希望大家都能不被生活中的現(xiàn)象所迷惑,都能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)抓住事物的本質(zhì),利用方程解決生活中的問(wèn)題.

進(jìn)而提煉模型二(如圖2)與模型三(如圖3).

圖2

模型二：

模型三：

教學(xué)說(shuō)明：總結(jié)不是簡(jiǎn)單的知識(shí)羅列,而是對(duì)知識(shí)進(jìn)行鞏固、歸納、重新建構(gòu)的過(guò)程.通過(guò)師生共同總結(jié),貫穿整節(jié)課的模型思想也呼之欲出,對(duì)于整個(gè)教學(xué)過(guò)程來(lái)說(shuō),它起到“畫(huà)龍點(diǎn)睛”的作用.

3 教學(xué)思考

3.1 體現(xiàn)建模思想

本節(jié)課是三級(jí)模型逐級(jí)建構(gòu),具體如下:

(1)一級(jí)模型——利潤(rùn)公式模型建構(gòu)

本節(jié)課中2022年北京冬奧會(huì)領(lǐng)獎(jiǎng)服的銷(xiāo)售背景,讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,從數(shù)學(xué)角度思考真實(shí)情境中銷(xiāo)售問(wèn)題的標(biāo)價(jià)、折扣率、售價(jià)、進(jìn)價(jià)、利潤(rùn)率之間的等量關(guān)系,經(jīng)歷運(yùn)用方程解決銷(xiāo)售中盈虧問(wèn)題的過(guò)程,進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型.

(2)二級(jí)模型(如圖2)——用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題模型建構(gòu)

解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,通過(guò)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元一次方程,再通過(guò)解方程、檢驗(yàn)等環(huán)節(jié)得到實(shí)際問(wèn)題的解.

因此,解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟為:審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答.從“審”到“列”再到“答”的過(guò)程是從“文字語(yǔ)言”到“符號(hào)語(yǔ)言”再到“文字語(yǔ)言”的過(guò)程,這也是“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活”的真實(shí)寫(xiě)照,讓學(xué)生體會(huì)這一過(guò)程,有助于豐富頭腦,升華模型意識(shí),開(kāi)闊眼界.

(3)三級(jí)模型(如圖3)——用方程解決實(shí)際問(wèn)題模型建構(gòu)

站到更高的高度再來(lái)看本節(jié)課,二級(jí)模型中的“一元一次方程”,放到整個(gè)初中數(shù)學(xué)視域可將其替換為“方程”,方程不僅包括初一所學(xué)的一元一次方程,還包括將來(lái)要學(xué)習(xí)的二元一次方程組與一元二次方程,更包括未來(lái)學(xué)習(xí)的其他方程.

在此過(guò)程中,筆者從整體建構(gòu)本節(jié)課,讓學(xué)生經(jīng)歷“建?！薄坝媚！薄吧A模型”的過(guò)程,使“模型”不再是簡(jiǎn)單的公式,而是一種思想——模型思想;同時(shí),培養(yǎng)學(xué)生客觀公正看待事物的習(xí)慣,使得學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

“建模”“用?！薄吧A模型”的過(guò)程是思維升級(jí)的過(guò)程,是以小見(jiàn)大的過(guò)程,是既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)森林的過(guò)程,也是解決實(shí)際問(wèn)題的有力抓手.

3.2 體現(xiàn)育知育人

一節(jié)好課不僅是一節(jié)妙趣橫生的課,更是一節(jié)拔節(jié)生長(zhǎng)的課,它不僅能教會(huì)學(xué)生知識(shí),更能起到育人之效.通過(guò)創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境,激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義熱情,培養(yǎng)學(xué)生永不放棄、勇于探索的精神,連續(xù)提問(wèn),持續(xù)引發(fā)學(xué)生思考,提升思考力,讓學(xué)生養(yǎng)成知其然并知其所以然的習(xí)慣;通過(guò)本節(jié)課的情境與探究2高潮部分,學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)銷(xiāo)售中的盈虧模型,并學(xué)會(huì)辯證地看待周?chē)氖挛?用好方程這一有力的數(shù)學(xué)模型,在現(xiàn)實(shí)生活中能夠不被表面現(xiàn)象所迷惑,學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì).