基于“概念圖” 的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與思考*
——以“圓的對稱性”第1課時為例

?江蘇省運河中學(xué) 袁 健

近日,筆者應(yīng)邀赴外地參加同課異構(gòu)課堂教學(xué)活動,課題是“圓的對稱性”第1課時.拿到課題后,筆者先鉆研教材,吃透教材,進而了解學(xué)情,研究教法.本人多年來對使用“概念圖”組織教學(xué)進行了大量的實踐探索,本節(jié)課也可以使用“概念圖”開展教學(xué).

“概念圖”是由約瑟夫·D·諾瓦克提出的,是一種知識以及知識之間的關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)圖形化表征,也是思維可視化的表征.一幅概念圖一般由“節(jié)點”“鏈接”和“有關(guān)文字標(biāo)注”組成.“概念圖”作為教學(xué)設(shè)計的工具,有利于教師從一堂課的整體角度入手備課,幫助教師整體把握知識框架和教學(xué)思路,增強教師的教學(xué)技能.

圍繞怎樣才能上好這節(jié)課進行教學(xué)設(shè)計,筆者先找到了相關(guān)“節(jié)點”:圓心角定理及其推論,疊合法,轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想,三種語言,等等.相關(guān)的“標(biāo)注”:知識準(zhǔn)備、方法準(zhǔn)備、知識方面、技能方面、數(shù)學(xué)思想等.用箭頭“鏈接”各“節(jié)點”.緊接著,設(shè)計了一個本節(jié)課的鏈?zhǔn)礁拍顖D[1](如圖1).

圖1

下面從教材研究、“學(xué)生”研究、教法研究三方面來闡述筆者借助概念圖在開展教學(xué)設(shè)計中的應(yīng)用、實踐與思考.

1 基于概念圖的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的實踐

1.1 教材研究

教師獨立開展教學(xué)設(shè)計,在教學(xué)設(shè)計中揣摩教材的編寫意圖,把握教材,對教學(xué)內(nèi)容進行精選和有效整合,合理選擇教學(xué)策略,編擬教學(xué)設(shè)計,從而增強自我研究能力.本節(jié)課是“圓的對稱性”第一節(jié)新授課,通過鉆研教材,筆者發(fā)現(xiàn)中心對稱性的知識與疊合的方法是學(xué)習(xí)本節(jié)課的基礎(chǔ).為此,筆者通過概念圖中的知識準(zhǔn)備與方法準(zhǔn)備來設(shè)計教學(xué).

環(huán)節(jié)1：情境創(chuàng)設(shè),提出問題.

(1)摩天輪繞固定軸心旋轉(zhuǎn)180°,它都與初始位置重合嗎?摩天輪繞固定軸心旋轉(zhuǎn)任意角度,它都與初始位置重合嗎?(2)回顧上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,什么是等弧?用什么方法驗證兩條弧是等弧?

設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)中心對稱圖形為本節(jié)課內(nèi)容作鋪墊.接著通過圓繞圓心的旋轉(zhuǎn)感受它的旋轉(zhuǎn)不變性.在此過程中使用疊合的方法,為本節(jié)課的學(xué)法指導(dǎo)作了鋪墊.

環(huán)節(jié)2：第一個實踐探索——操作、猜想、證明.

(1)在兩張透明紙片上,分別作半徑相等的⊙O和⊙O′.(2)在⊙O和⊙O′中,分別作相等的圓心角∠AOB,∠A′O′B′,連接AB,A′B′.(3)將兩張紙片疊在一起,使⊙O與⊙O′重合(如圖2).(4)固定圓心,將其中一個圓旋轉(zhuǎn)某個角度,使得OA與OA′重合.你發(fā)現(xiàn)了什么?請與同學(xué)們交流.

圖2

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“操作—觀察—猜想—說理”的過程,旨在讓學(xué)生通過自主探究和合作交流探索圓心角定理,感受圓心角、弧、弦之間的關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生用三種語言掌握,尤其是符號語言.

說明：概念圖可以使教師從整體上把握所教內(nèi)容.但上課時每個環(huán)節(jié)之間的過渡只有通過精細化的預(yù)設(shè),才能更好地啟發(fā)學(xué)生進行下一環(huán)節(jié).例如,情境創(chuàng)設(shè)之后的引入語——下面我們用圓的中心對稱性和疊合法來探究本節(jié)課的內(nèi)容.完成實踐探索之后的引入語——借助“蛋筒模型”來感受,在同圓或等圓中,等弧、等弦、相等的圓心角之間可以相互轉(zhuǎn)化.相等的圓心角轉(zhuǎn)化為相等的弧.于是可以得到“在同圓或等圓中,圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等”.小結(jié)反思環(huán)節(jié)后的引入語——本節(jié)課我們用圓的旋轉(zhuǎn)不變性和疊合法來探究了相關(guān)性質(zhì),下節(jié)課我們用軸對稱性和疊合法共同探究圓的垂徑定理.

過渡性語言起到承上啟下的作用,引導(dǎo)學(xué)生體會前后知識的聯(lián)系,對于概念圖教學(xué)發(fā)揮著重要作用.

1.2 “學(xué)生”研究

上課不是簡單地將教材內(nèi)容傳授給學(xué)生,也不是學(xué)生配合教師完成任務(wù),而是引導(dǎo)學(xué)生進行經(jīng)驗改造,用教材所體現(xiàn)的經(jīng)驗來豐富、發(fā)展學(xué)生的已有經(jīng)驗.在備課時,筆者會設(shè)身處地站在學(xué)生的角度來思考怎樣學(xué)習(xí)才能更有效.只有關(guān)注學(xué)生需要的教學(xué),才有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性及增強學(xué)生學(xué)習(xí)的責(zé)任感,促進學(xué)生自主發(fā)展.圍繞概念圖中知識方面、技能方面、數(shù)學(xué)思想,筆者精心設(shè)計問題導(dǎo)入.

環(huán)節(jié)3：第一個實踐探索環(huán)節(jié)的變式.

(1)在同圓或等圓中,如果圓心角所對的弧相等,那么它們所對的弦相等嗎?這兩個圓心角相等嗎?為什么?(2)在同圓或等圓中,如果圓心角所對的弦相等,那么它們所對的弧相等嗎?這兩個圓心角相等嗎?為什么?

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“操作—觀察—猜想—說理”的過程,旨在讓學(xué)生通過自主探究和合作交流探索圓心角、弧、弦之間的關(guān)系.為探索圓心角、弧、弦之間的關(guān)系,共提出兩個問題,學(xué)生在解決第一個問題后,會積累一定的經(jīng)驗與方法,為后面問題的解決提供幫助.在探究過程中,采用“疊合法”說明兩條弧相等.通過思考、探索,得出相應(yīng)的結(jié)論并嘗試說理,鼓勵學(xué)生用多種方法和手段進行探究.圓心角定理及其推論生成之后引導(dǎo)學(xué)生用三種語言掌握,尤其是符號語言.另外,通過“蛋筒模型”引導(dǎo)學(xué)生更形象地理解、記憶和掌握等弧、等弦、等圓心角的相互轉(zhuǎn)化.

這樣引導(dǎo)學(xué)生自主探索,激發(fā)思維,前后銜接緊密.學(xué)生也會因為探索目標(biāo)明確而動力十足.

以問題為切入點的設(shè)置符合學(xué)生的認知規(guī)律,但是如果只是簡單地將問題擺出,而沒有提示學(xué)生后面的問題與第一個問題之間的關(guān)系,學(xué)生的探索過程難免會割裂整個知識生成過程的完整性.為此,筆者在第一個問題提出后先設(shè)置這樣的問題:如果將問題(1)中的條件與其中一個結(jié)論互換位置,得到的命題正確嗎?你能寫出推理過程嗎?史寧中教授曾經(jīng)說過:“幾何教學(xué)要注重原型啟發(fā).”為了能讓學(xué)生更好地使用這三個定理,自如轉(zhuǎn)化“弧、弦、角”三個等量.筆者預(yù)設(shè)了“蛋筒模型”的圖片,引導(dǎo)學(xué)生借助生活中的圖片來形象理解數(shù)學(xué)概念及相關(guān)轉(zhuǎn)化,觀察模型中對應(yīng)的弧、弦、圓心角,感受在同圓或等圓中,等弧、等弦、等圓心角可以相互轉(zhuǎn)化.

1.3 教法研究

古代教育家孔子將啟發(fā)式教學(xué)概括為“不憤不啟,不悱不發(fā)”.教師的“啟”是為了促進學(xué)生的“思”.圖1中圓心角定理及其推論的三種語言的表達要借助于數(shù)學(xué)活動來實現(xiàn),而數(shù)學(xué)活動的開展要依賴于小組合作.為了能讓學(xué)生更好地參與到數(shù)學(xué)活動中去,備教法時,筆者在設(shè)計過程中堅持啟發(fā)式的教學(xué)方法,通過設(shè)計問題、解決問題,進行師生互動、生生交流,啟發(fā)學(xué)生感悟知識的生成過程.

上課時,若教師處理不當(dāng),往往會出現(xiàn)如下情況:如學(xué)生被動的參與多,主動的參與少,即學(xué)生的參與只是對教師要求的應(yīng)對,而不是自主的表現(xiàn).學(xué)生的淺層性參與多,深層性參與少,即學(xué)生的參與主要基于教材的知識與答案,而不是基于自己個性化思考的質(zhì)疑,這種參與沒有帶來智慧,更談不上學(xué)會深度學(xué)習(xí).深度學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者以高階思維的發(fā)展和實際問題的解決為目標(biāo),以整合的知識為內(nèi)容,積極主動地、批判地學(xué)習(xí)新的知識和思想,并將它們?nèi)谌氲皆械恼J知結(jié)構(gòu)中,且能將已有的知識遷移到新的情境中的一種學(xué)習(xí).

下面結(jié)合本節(jié)課的授課片斷,體現(xiàn)筆者是如何開展學(xué)生的深度學(xué)習(xí)的.

師:下面我們小結(jié)一下,在同圓或等圓中,相等的兩弧所對的兩弦、兩圓心角相等嗎?(大多數(shù)同學(xué)躍躍欲試.)

生1:相等.

師:真棒!在同圓或等圓中,相等的兩弦所對的圓心角相等嗎?兩等弦所對的劣弧相等嗎?

生2:相等.(大多數(shù)學(xué)生先用手比劃.)

生3:我們還能得到:在同圓或等圓中,兩個相等的圓心角所對的兩條弧、兩條弦相等.

師:太棒了!兩等弧、兩等弦、兩等圓心角在同圓或等圓中是可以相互轉(zhuǎn)化的.為了更好地理解、記憶,你能否用生活中的實物模型來展示它們呢?

學(xué)生先是沉默,但眼珠在轉(zhuǎn)動,手指在比劃,接著聲音就大起來了.

生4:蛋筒.(投影展示)這是我剛畫出的兩個蛋筒模型,下面部分可以看作兩圓心角……

師:你真有數(shù)學(xué)眼光,想象力很豐富.

為了能讓學(xué)生更主動地參與,更主動地進行高階思維、深度思考,即進行自主性、探究性學(xué)習(xí)及合作性學(xué)習(xí),教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生“有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”,這也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提出的要求.衡量教學(xué)是否采用了先進的教法,關(guān)鍵看是否啟發(fā)了學(xué)生的思維,讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.

環(huán)節(jié)4：第二個實踐探索環(huán)節(jié).

如圖3所示,1°的圓心角對應(yīng)1°的弧,n°的圓心角對應(yīng)n°的弧,n°的弧對應(yīng)n°的圓心角.思考:圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等嗎?

圖3

設(shè)計意圖：鞏固圓心角定理,在同圓或等圓中,把相等的圓心角轉(zhuǎn)化為相等的弧是圓心角定理的應(yīng)用和內(nèi)化.在學(xué)習(xí)過程中,將剛學(xué)過的定理遷移到新的情境中,引導(dǎo)學(xué)生自主、探究性地深度學(xué)習(xí),積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

2 基于概念圖開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的思考

2.1 整體把握教學(xué)設(shè)計

使用概念圖可以幫助教師從整體上把握本節(jié)課的知識要點、脈絡(luò)、框架,對教材進行深度分析;超越教材從“雙基”到“四基”,培養(yǎng)學(xué)生從“二能”到“四能”;從多個維度把握教材的完整內(nèi)涵.從文字到符號的理解建構(gòu),讓學(xué)生從知識到素養(yǎng)內(nèi)化提升,真是“會當(dāng)凌絕頂,一覽眾山小”.利用概念圖,可以提示教師在上課時使用過渡性語言的時機,進而更自信、更淡定地面對每個學(xué)生,同時會讓學(xué)生感受到教師清晰的上課思路.

2.2 充分考慮學(xué)生學(xué)情

美國著名心理學(xué)家奧蘇泊爾指出:“影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素,就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么.”學(xué)生學(xué)情的深度分析主要從以下三個方面入手:一是學(xué)生的前理解.分析學(xué)生的先知、先驗,從中定位學(xué)生有可能存在的困難之處,進而尋找解決策略.二是學(xué)生的內(nèi)源性.分析學(xué)生的興趣、思維、情感的需要,從中定位學(xué)生興趣的引發(fā)處、思維的生長點和情感的共鳴處.三是學(xué)生的發(fā)展區(qū).分析學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),從中定位學(xué)生的發(fā)展層次水平,進而選擇例題、習(xí)題及講授方式.上節(jié)課,學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的基本概念,已經(jīng)運用疊合的操作活動探究了軸對稱、中心對稱等知識,積累了相關(guān)的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗.本節(jié)課的設(shè)計在此基礎(chǔ)上,主要讓學(xué)生充分動手操作、觀察、猜想、驗證、說理,發(fā)展學(xué)生的語言表達能力和思維能力.

2.3 創(chuàng)“模型圖”,助力“三會”

設(shè)計教學(xué)時,筆者創(chuàng)造了“蛋筒”這個模型圖.這個模型很形象,它便于學(xué)生理解弧、弦、角三者間的相互轉(zhuǎn)化,而且深化了記憶;助推學(xué)生形象思維向抽象思維的過渡,讓推理過程可視化,加深了知識概念圖的生成.創(chuàng)造性地使用模型圖,可以降低知識應(yīng)用的難度.使用模型圖,學(xué)生“想圖形、說推理”,更容易用符號有條理地表達,進而逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語言表達世界”.

2.4 設(shè)問題串,遷移經(jīng)驗

蘇格拉底曾說:“最好的教學(xué)方法不是給他們成功的答案,而是向他們提問題.”指向?qū)W生關(guān)鍵能力和必備品格的問題一定是有價值的問題,它關(guān)聯(lián)著教材的核心概念.

課后專家們的評課也印證了筆者的一些預(yù)設(shè):本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)清楚,教師語言過渡自然;教師從實際生活中的場景入手,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,再通過有目的的操作探究、合作交流、成果展示,啟發(fā)學(xué)生推導(dǎo)、直觀體驗圓心角定理及其推論;注重數(shù)學(xué)思考和問題解決,教師設(shè)計了一連串的問題,通過不斷的提問,問思路、問道理,及時組織學(xué)生交流思維過程,提供思考問題的方法,展現(xiàn)解決問題的途徑.

因此,分析教材、學(xué)情、教法,巧用過渡性語言及設(shè)置問題串是使用“概念圖”開展教學(xué)設(shè)計要考慮的要素.創(chuàng)造實物模型輔助學(xué)生形象地理解,因而突破了重難點,體現(xiàn)了深度教學(xué)設(shè)計的理念.嘗試使用“概念圖”備課,啟發(fā)學(xué)生深入挖掘知識“節(jié)點”的內(nèi)涵及知識“節(jié)點”間的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生從符號學(xué)習(xí)走向?qū)W科思想和意義系統(tǒng)的建構(gòu),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和問題解決的能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).