數(shù)學(xué)高考中恒成立題型的剖析及對(duì)策

魏勇

【摘要】近年廣東高考數(shù)學(xué)試題形式多樣，解答題的難度區(qū)分度逐步拉大，旨在考查學(xué)生的知識(shí)掌握和運(yùn)用能力。尤其是改革后的新課標(biāo)下的高考考查越來(lái)越注重學(xué)生的綜合素質(zhì)，恒成立問(wèn)題便是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它主要涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)密不可分。

【關(guān)鍵詞】創(chuàng)新意識(shí) 恒成立問(wèn)題 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）12-0129-02

新課標(biāo)下的高考數(shù)學(xué)逐步重視對(duì)學(xué)生知識(shí)掌握和運(yùn)用的考查，因此，設(shè)計(jì)新題是選拔人才的必然要求。而且數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，解題是它的一個(gè)核心環(huán)節(jié)，解題素養(yǎng)的高低，解題策略的優(yōu)劣，將會(huì)直接反映到數(shù)學(xué)考試的成績(jī)上，它是評(píng)判一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的客觀標(biāo)尺。在當(dāng)下的高考環(huán)境中，不僅再是簡(jiǎn)單的運(yùn)用公式加以計(jì)算，而是需要學(xué)生能夠理解課堂中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，把知識(shí)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為知識(shí)的掌握能力，而連續(xù)出現(xiàn)的恒成立題型就是一個(gè)對(duì)學(xué)生是否掌握的很好檢測(cè)。

本文通過(guò)對(duì)近幾年數(shù)學(xué)高考恒成立題型的分析、研究，選擇有效的方法和手段對(duì)恒成立題型的信息進(jìn)行剖析研究，發(fā)現(xiàn)高考恒成立題型可以劃分成四類(lèi)：①一次函數(shù)型；②二次函數(shù)型；③變量分離型；④直接根據(jù)函數(shù)的圖像。

一、一次函數(shù)型

對(duì)于比較熟悉的一次函數(shù)y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]內(nèi)恒有f（x）>0，則根據(jù)函數(shù)的圖像（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于

（1） a>0f（m）>0或（2） a<0f（n）>0亦可合并成f（m）>0f（n）>0

同理，若在[m，n]內(nèi)恒有f（x）<0，則有f（m）<0f（n）<0

例1：對(duì)于滿足|p|≤2的所有實(shí)數(shù)p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及p，關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在[-2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題。

解：不等式即（x-1）p+x2-2x+1>0，設(shè)f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，則f（p）在[-2，2]上恒大于0，故有：

f（-2）>0f（2）>0即x2-4x+3>0x2-1>0解得：x>3或x<1x>1或x<-1

∴x<-1或x>3.

二、二次函數(shù)型

若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，則有a>0△<0

若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。

例2：關(guān)于x的方程9x+（4+a）3x+4=0恒有解，求a的范圍。

分析：題目中出現(xiàn)了3x及9x，故可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)型求解。

解法1（利用韋達(dá)定理）：

設(shè)3x=t，則t>0.則原方程有解即方程t2+（4+a）t+4=0有正根。

∴△≥0x1+x2=-（4+a）x1·x2=4>0>0 即（4+a）2-16≥0a<-4 ∴ a≥0或a≤-8a<-4

解得a≤-8.

解法2（利用根與系數(shù)的分布知識(shí)）：

即要求t2+（4+a）t=0有正根。設(shè)f（x）= t2+（4+a）t+4.

（1）△=0，即（4+a）2-16=0，∴a=0或a=-8.

a=0時(shí)，f（x）=（t+2）2=0，得t=-2<0，不合題意；

a=-8時(shí)，f（x）=（t-2）2=0，得t=2>0，符合題意。

∴a=-8.

（2）△>0，即a<-8或a>0時(shí)，

∵f（0）=4>0，故只需對(duì)稱(chēng)軸- >0，即a<-4.

∴a<-8

綜合可得a≤-8.

三、變量分離型

若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解。

例3：已知當(dāng)x∈R時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx+ 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（x∈R），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。

解：原不等式即：4sinx+cos2x< -a+5

要使上式恒成立，只需 -a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值問(wèn)題。

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

∴ -a+5>3即 >a+2

上式等價(jià)于a-2≥05a-4≥05a-4>（a-2）2或a-2<05a-4≥0

解得 ≤a<8.

注：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx換元成t，則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類(lèi)型。

四、直接根據(jù)圖像判斷

若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫(huà)出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖像，則可以通過(guò)畫(huà)圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

例4：設(shè)f（x）= ，g（x）= x+1-a，若恒有f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出f（x）及g（x） 的圖像

如圖所示，f（x）的圖像是半圓（x+2）2+y2=4（y≥0）

g（x）的圖像是平行的直線系4x-3y+3-3a=0。

要使f（x）≤g（x）恒成立，

則圓心（-2，0）到直線4x-3y+3-3a=0的距離滿足d= ≥2

解得a≤-5或a≥ （舍去）

例5：當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2

分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖像是拋物線，右邊為常見(jiàn)的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，故可以通過(guò)圖像求解。

解：設(shè)y1=（x-1）2，y2=logax，則y1的圖像為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x∈（1，2），y11，并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。

故loga2>1，a>1，∴1

在與時(shí)俱進(jìn)的時(shí)代理念下，高考數(shù)學(xué)的發(fā)展勢(shì)在必然。恒成立題型并不可怕，可怕的是面對(duì)恒成立題型我們卻無(wú)所作為。通過(guò)這篇文章，我自己感受到以下幾點(diǎn)：

（1）更新教學(xué)理念，激發(fā)有效課堂，注重通過(guò)多種形式與途徑在課堂中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；

（2）要拓寬視域，研究高考恒成立題型的題型、解法和走勢(shì)，從中摸索到一些規(guī)律性的東西來(lái)指導(dǎo)創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)；

（3）要關(guān)注生活，將生活引入數(shù)學(xué)課堂，讓數(shù)學(xué)課堂關(guān)注生活問(wèn)題，通過(guò)暗示、誘導(dǎo)、逆向啟發(fā)等多種手段訓(xùn)練并培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題的思維與能力。

參考文獻(xiàn)：

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