考點“五明確”,題型“齊薈萃”
——基于集合知識的考查

■江蘇省泰興市第三高級中學(xué) 顧德勝

集合知識是歷年全國各省高考的必考內(nèi)容之一。雖然高考還是考查集合的初步知識,但由于集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言之一,因此考查的內(nèi)涵極其豐富,考查的背景更是多彩多姿。考查集合的試題仍以客觀題為主,加以單獨知識點或多個知識點之間的整合,呈現(xiàn)的方式也各有特色。下面結(jié)合2023年全國高考試卷中的集合相關(guān)試題,從“五個明確”對集合知識的考查加以評析。

一、明確集合的表示

集合的表示是集合語言當(dāng)中的重要內(nèi)容,為了一目了然地表示一個集合的構(gòu)成,要求準確把握各種集合的表示方法的特點,以及根據(jù)實際情況選擇確切的方法表示集合,同時還要加大對各表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換。

例1(2023 年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科·1)設(shè)集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U為整數(shù)集,則?U(A∪B)=( )。

A.{x|x=3k,k∈Z}

B.{x|x=3k-1,k∈Z}

C.{x|x=3k-2,k∈Z}

D.?

分析：根據(jù)題設(shè)條件,明確集合A與集合B所表示的集合內(nèi)涵,結(jié)合整數(shù)中除以3余數(shù)分別為0,1,2的三類加以分析,為進一步的集合運算提供條件。

解：依題知,集合A={x|x=3k+1,k∈Z}表示的是除以3余1的整數(shù)構(gòu)成的集合,集合B={x|x=3k+2,k∈Z}表示的是除以3余2 的整數(shù)構(gòu)成的集合,則?U(A∪B)表示的是除以3余0的整數(shù)構(gòu)成的集合,所以?U(A∪B)={x|x=3k,k∈Z}。故選A。

點評:涉及集合的表示問題,要充分挖掘集合的內(nèi)涵,同時注意各集合的表示方法之間的等價轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,這往往是解決集合問題或綜合交匯問題的關(guān)鍵所在,為進一步集合的應(yīng)用提供條件。

二、明確元素的屬性

利用描述法表示集合時,必須正確判斷集合中元素的屬性,利用集合中元素的屬性來確定對應(yīng)的集合,再加以分析與應(yīng)用。

例2(2023 年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科·10)已知等差數(shù)列{an}的公差為,集合S={cosan|n∈N*},若S={a,b},則ab=( )。

分析：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合等差數(shù)列的公差及對應(yīng)的余弦函數(shù)的特點,確定集合S中的元素所構(gòu)建數(shù)列的周期,只要在一個周期內(nèi),借助特殊值的計算來分析與確定集合S中元素的屬性與相關(guān)值,即可達到目的。

點評:在處理集合的相關(guān)問題時,要充分理解并把握對應(yīng)集合中的元素屬性,有時可以用來直接求解,有時可以進行選項排除等,而這都離不開對應(yīng)集合中的元素屬性的理解與應(yīng)用,要加以重視。

三、明確元素的特征

非空集合中的元素具備的特征是:確定性、互異性、無序性等。集合是由元素組成的,認清集合中元素的特征,并從元素入手是解決集合問題最常見的方法,也是關(guān)鍵所在。因此,需要我們明確集合中的元素的特征,根據(jù)相關(guān)的知識加以求解。

例3(2023年高考數(shù)學(xué)上海卷·13)已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P且x?Q},則M=( )。

A.{1} B.{2}

C.{1,2} D.{1,2,3}

分析：根據(jù)題目條件,集合M中的元素同時滿足:x∈P且x?Q,結(jié)合題設(shè)集合P與集合Q中的元素,逐個分析與判斷,注意抓住集合中元素的特征,做到不重復(fù)不遺漏。

解：依題意,集合M={x|x∈P且x?Q},則M={1}。故選A。

點評:此類以創(chuàng)新定義的形式給出集合中元素的特征問題,關(guān)鍵是充分理解并把握創(chuàng)新定義的內(nèi)涵與實質(zhì),抓住創(chuàng)新定義中元素具備的特征,充分考查考生的閱讀理解、邏輯推理及創(chuàng)新應(yīng)用等能力。

四、明確集合的運算

集合之間的交、并運算的方法主要有:定義法、韋恩圖法、數(shù)軸法等。選擇適當(dāng)?shù)募线\算方法,結(jié)合相關(guān)知識加以求解。注意在集合的運算中,一般應(yīng)把參與運算的各個集合化到最簡形式,再進行運算。

例4(2023 年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},則M∩N=( )。

A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}

C.{-2} D.{2}

分析：根據(jù)題設(shè)條件,先對集合N中的一元二次不等式加以求解,再利用兩集合的交集運算來分析與求解。

解：依題意,可得N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2}。故選C。

點評:涉及集合的運算問題,往往離不開一些不等式的求解、函數(shù)的定義域或值域的確定等相關(guān)問題,在此基礎(chǔ)上,正確區(qū)分不同集合中元素的屬性與特征,結(jié)合集合的運算加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用。

五、明確集合的關(guān)系

判斷兩個集合之間的關(guān)系——子集、真子集或補集等,就是要判斷一個集合的元素是否是另一個集合的元素,從而加以判斷幾個集合之間的包含或相等關(guān)系。有時也通過符號法、數(shù)軸法、韋恩圖法等加以分析與求解,特別是針對一些抽象集合問題。

例5(2023 年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·2)設(shè)集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A?B,則a=( )。

分析：根據(jù)題設(shè)條件,由兩集合之間的包含關(guān)系A(chǔ)?B入手,結(jié)合集合A、B中元素的差異性,構(gòu)建對應(yīng)的方程,結(jié)合不同情況加以分類討論,并結(jié)合參數(shù)值情況加以反饋,進而判斷是否滿足條件。

解：依題意,由于A?B,則a-2=0 或2a-2=0。當(dāng)a-2=0時,解得a=2,此時A={0,-2},B={1,0,2},不滿足條件A?B,舍去;當(dāng)2a-2=0時,解得a=1,此時A={0,-1},B={1,-1,0},滿足條件A?B。綜上分析,可得a=1。故選B。

點評:在解決相關(guān)集合的關(guān)系問題時,根據(jù)題設(shè)條件加以全面細致分析,同時要注意對不同情況加以分類討論,并結(jié)合所求結(jié)論加以合理反饋與驗證。特別要注意集合之間的包含(或真包含)關(guān)系、補集思維或其運算性質(zhì),需要同學(xué)們在實際解題時加以靈活運用。

通過以上的“五個明確”,以及相關(guān)的2023年高考考題分析,集合部分考題通常表現(xiàn)在以下幾個方面:用列舉法或描述法給出集合后,考查空集或全集的概念;元素與集合,集合與集合之間的關(guān)系;集合的交、并、補運算;集合的有關(guān)術(shù)語和符號,如∈、?、∪、∩、?、等。以集合的運算為載體,廣泛應(yīng)用于函數(shù)、不等式、三角、立體幾何、解析幾何等知識中,充分體現(xiàn)同學(xué)們對數(shù)學(xué)語言的理解和轉(zhuǎn)化能力。