靈活運(yùn)用基本不等式，快速求解雙變量最值問題

汪蓮川

雙變量最值問題中往往含有兩個(gè)變量，無法直接利用函數(shù)的圖象和單調(diào)性來求最值，常常需要用基本不等式[a+b≥2ab]（[a、b>0]）及其變形式來求解.而運(yùn)用基本不等式求最值，往往需將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，以配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值.那么如何進(jìn)行配湊呢？

一、整體代換

若已知或可求出某個(gè)式子等于一個(gè)常數(shù)，就可將其化為“1”，然后把等于“1”的式子看作一個(gè)整體代入目標(biāo)式中進(jìn)行代換，以得到兩個(gè)正數(shù)的和或積，且此時(shí)兩式的和或積為定值，那么就可以直接運(yùn)用基本不等式來求最值.

我們根據(jù)目標(biāo)式的特征，引入兩個(gè)新元，令[x+1=m，y+2=n]，即可將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m、n的式子.再通過化簡，將整式和分式分離，并進(jìn)行常數(shù)代換，就能配湊出兩式的和式，且使其積式為定值，運(yùn)用基本不等式即可求得最值.

總之，運(yùn)用基本不等式求解雙變量最值問題，需要注意以下幾點(diǎn)：（1）將已知關(guān)系式和目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來；（2）通過常數(shù)代換、消元、局部換元，將已知關(guān)系式和目標(biāo)式進(jìn)行合理的變形；（3）進(jìn)行合理的恒等變換，以配湊出基本不等式中的和式與積式.