基于粒子群算法的GM(1,1)模型優(yōu)化＊

王魯欣

（江蘇航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，江蘇南通 226010）

0 引言

灰色系統(tǒng)理論是由我國(guó)著名學(xué)者鄧聚龍教授首創(chuàng)的一門(mén)系統(tǒng)科學(xué)理論，其產(chǎn)生與發(fā)展為人們科學(xué)認(rèn)識(shí)和解決不確定的系統(tǒng)問(wèn)題提供了一個(gè)新的視角[1]。GM(1,1)模型作為經(jīng)典的灰色預(yù)測(cè)模型，具有所需原始數(shù)據(jù)量少、計(jì)算簡(jiǎn)便、適用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、經(jīng)濟(jì)管理、工程技術(shù)等領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。然而傳統(tǒng)GM(1,1)模型也存在一定的局限性，當(dāng)發(fā)展系數(shù)越大時(shí)，GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度越低。為提升傳統(tǒng)GM(1,1)模型的精度，擴(kuò)大適用范圍，學(xué)者們進(jìn)行了大量的研究，結(jié)果表明，模型背景值構(gòu)造以及初始值選取極大程度上影響了預(yù)測(cè)精度。背景值優(yōu)化方面，一是優(yōu)化傳統(tǒng)的背景值公式，如蔣詩(shī)泉[2]利用復(fù)化梯形公式優(yōu)化背景值，王曉佳等[3]將分段線(xiàn)性插值函數(shù)與Newton 插值公式相結(jié)合，改進(jìn)了背景值的構(gòu)造方法。背景值公式優(yōu)化方法盡管在一定程度上提升了模型精度，但是背景值計(jì)算均較為復(fù)雜?；诖?，張可[4]結(jié)合非線(xiàn)性?xún)?yōu)化的粒子群算法對(duì)背景值參數(shù)直接進(jìn)行尋優(yōu)，提升了預(yù)測(cè)精度，擴(kuò)大了模型使用范圍；楊孝良[5]提出三參數(shù)背景值構(gòu)造的新方法，提升了背景值的平滑效果；徐寧[6]基于誤差最小化對(duì)GM(1,1)模型背景值進(jìn)行優(yōu)化，該方法改善了發(fā)展系數(shù)較大時(shí)建模精度低的不足，保持了較好的無(wú)偏性，計(jì)算過(guò)程也很簡(jiǎn)便，但是證明基于原始序列有齊次指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律的前提，限制了模型的適用范圍。初始條件優(yōu)化方面，熊萍萍[7]針對(duì)非等間距 GM(1,1) 模型的預(yù)測(cè)問(wèn)題，提出以非等間距一階累加生成序列各分量的加權(quán)平均數(shù)作為優(yōu)化的初始值，通過(guò)算例驗(yàn)證了所提出的非等間距優(yōu)化模型的有效性和可行性；張彬[8]將背景值優(yōu)化公式和邊值修正相結(jié)合對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)；鄭雪平[9]借鑒徐寧和張彬的思路，將初值優(yōu)化方法和背景值優(yōu)化結(jié)合起來(lái)進(jìn)行模型優(yōu)化,使近似齊次指數(shù)序列擬合效果得到明顯提升。

為提升模型的適應(yīng)性，本文利用智能算法實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)尋優(yōu)的目的，采用平均相對(duì)誤差最小準(zhǔn)則，構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)，將傳統(tǒng)GM(1,1)模型的背景值系數(shù)與初始條件同時(shí)優(yōu)化后，運(yùn)用粒子群算法得到最優(yōu)值，通過(guò)算例對(duì)優(yōu)化后GM(1,1)模型的適用范圍和有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 傳統(tǒng)GM(1,1)模型

2 GM(1,1)模型優(yōu)化

2.1 背景值優(yōu)化

2.2 初始值優(yōu)化

2.3 背景值系數(shù)α 的確定

3 實(shí)例分析

為驗(yàn)證提出的優(yōu)化模型對(duì)齊次指數(shù)序列的適應(yīng)性，選取齊次指數(shù)函數(shù)xi(0)(k)=e-ak，k= 0,1,2,3,4,5，發(fā)展系數(shù) -a=0.1,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0,6.0。生成齊次指數(shù)序列，如表1 所示。

表1 不同發(fā)展系數(shù)生成的齊次指數(shù)序列

將表1 中的每行序列作為初始序列，分別采用傳統(tǒng)模型和提出的經(jīng)過(guò)背景值粒子群算法優(yōu)化與初始值最小誤差修正的GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，每個(gè)序列所得的平均相對(duì)誤差見(jiàn)表2，平均相對(duì)誤差計(jì)算公式為：

由表2 可知，傳統(tǒng)GM(1,1)模型誤差隨著發(fā)展系數(shù)的增大迅速增加，新的模型精度均高于99%，且隨著發(fā)展系數(shù)增加，誤差不斷減少，這說(shuō)明模型能夠高度擬合齊次指數(shù)增長(zhǎng)序列。

表2 模型精度對(duì)比

在實(shí)際應(yīng)用方面，選取2017～2021 年我國(guó)新能源汽車(chē)保有量（見(jiàn)表3）為原始序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，將本文模型的預(yù)測(cè)結(jié)果分別與傳統(tǒng)模型（模型一）、文獻(xiàn)[6]提出的基于誤差最小化的背景值優(yōu)化GM(1,1)預(yù)測(cè)模型（模型二）和文獻(xiàn)[9]提出的對(duì)初值條件及背景值進(jìn)行綜合優(yōu)化的預(yù)測(cè)模型（模型三）進(jìn)行對(duì)比（見(jiàn)表4）。

表3 我國(guó)2017—2021年新能源汽車(chē)保有量 （單位：萬(wàn)輛）

表4 4種模型精度對(duì)比

從表4 中4 種模型的模擬值、相對(duì)誤差以及平均相對(duì)誤差可知，模型一、模型二、模型三所得模擬數(shù)據(jù)的平均相對(duì)誤差分別為4.3777%、4.9543%、3.9476%，模型的平均相對(duì)誤差為 3.4036%，綜合優(yōu)化模型的預(yù)測(cè)精度優(yōu)于其他模型。

4 結(jié)語(yǔ)

采用平均相對(duì)誤差最小準(zhǔn)則，構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)，結(jié)合粒子群算法動(dòng)態(tài)有效尋優(yōu)的特性，實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)GM(1,1)模型的背景值系數(shù)和初始值同時(shí)優(yōu)化。通過(guò)對(duì)齊次指數(shù)序列的模擬分析可知，當(dāng)發(fā)展系數(shù)α接近6 時(shí)，接近完全擬合，這說(shuō)明提出的模型可用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，其適用范圍較傳統(tǒng)GM(1,1)模型有了較大的擴(kuò)展。實(shí)例驗(yàn)證可知，該模型在預(yù)測(cè)精度上優(yōu)于已有的背景值和初始條件綜合優(yōu)化的GM(1,1)模型。