破解極值點偏移問題的方法與技巧

■安徽省阜陽第一中學 董 曉

極值點偏移問題是近幾年來高考數(shù)學中經常出現(xiàn)的一類熱點與難點問題之一,往往以壓軸題的形式出現(xiàn),難度非常大,很多考生對此類問題無從下手、束手無策。熟練把握極值點偏移問題的基本特征與對應類型,掌握一些基本的破解方法與技巧,可以借助對稱化構造輔助函數(shù)法來分析與處理,也可以借助比值代換法轉化為單變量的函數(shù)不等式法來分析與處理,思維視角多種多樣,切入方式各異,都能有效轉化,巧妙應用,合理破解。

一、對稱化構造輔助函數(shù)

例1已知函數(shù)f(x)=+1。

(1)若曲線y=f(x)在x=1 處的切線與直線x-y=0垂直,求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上的最大值;

(2)當a=1時,設函數(shù)f(x)的兩個零點為x1,x2(x12。

解析:(1)由題意得,函數(shù)f(x)=lnx-的定義域為(0,+∞),f′(x)=-ax。因為曲線y=f(x)在x=1處的切線與直線x-y=0垂直,所以f′(1)=1-a=-1,解得a=2。

點評:對稱化構造輔助函數(shù)來破解極值點偏移問題,往往是用來解決與兩個極值點之和、積等相關不等式的證明問題,結合條件確定函數(shù)并構建對稱函數(shù),將相關不等式加以等價轉化并與函數(shù)加以聯(lián)系,利用函數(shù)的單調性進行判斷,進而比較大小與巧妙轉化,從而實現(xiàn)問題的破解。

二、合理選取函數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=x-ea+x(a∈R)。

(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的圖像在x=0處的切線;

(2)若f(x)有兩個零點x1,x2(x12。

解析:(1)當a=1 時,f(x)=x-e1+x,則f′(x)=1-e1+x,f′(0)=1-e,則函數(shù)f(x)的圖像在x=0處的切線的斜率為1-e。又因為f(0)=-e,所以所求切線的方程為y=(1-e)x-e,即(e-1)x+y+e=0。

(2)設函數(shù)g(x)=x-lnx+a,則函數(shù)g(x)與函數(shù)f(x)具有相同的零點,g′(x)=易知函數(shù)g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,則g(x)≥g(1)=1+a。當x→0時,g(x)→+∞;當x→+∞時,g′(x)→1,g(x)→+∞。要使f(x),即g(x)有兩個零點,只需g(1)<0,即1+a<0,解得a<-1。

設函數(shù)F(x)=g(x)-g(2-x)(1

由題意得02。

點評:合理選取函數(shù)是解決極值點偏移問題時最基本的切入點,不同函數(shù)的選取與應用,往往決定問題破解的難易程度與分析過程,選取最為合適的函數(shù)來處理,可以優(yōu)化運算,簡化過程,提升解題效益。

三、等價轉化結論

例3(2022 年天津市濱海區(qū)高考數(shù)學模擬試卷(5月份)(三模))已知函數(shù)f(x)=lnx,

(1)當a=-1,b=0 時,求曲線y=f(x)-g(x)在x=1處的切線方程;

(2)當b=0 時,若對任意的x∈[1,2],f(x)+g(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

(3)當a=0,b>0 時,若方程f(x)=g(x)有兩個不同的實數(shù)解x1,x2(x12。

點評:等價轉化結論來破解極值點偏移問題,是分析法證明一些不等式成立問題中比較常見的思維方法,通過結論的等價轉化,使得問題的破解更加接近于已知條件或更加吻合思路的歷程,從而通過合理選取函數(shù)來等價轉化與解決問題。

四、比值代換:化雙變量為單變量

點評:比值代換來破解極值點偏移問題,是處理多參數(shù)(一般是兩個)問題中比較常用的一個技巧方法,通過比值代換(有時也借助差值代換)化雙變量為單變量問題,合理消參減元,進而轉化為相應的函數(shù)問題來分析與處理。

熟練理解并把握極值點偏移問題的基本破解方法與技巧策略,抓住以上幾種技巧策略的實質,合理化歸與轉化,以不同的策略巧妙構建函數(shù),利用導數(shù)的運算與應用,以及函數(shù)的單調性、極值與最值等來綜合應用,巧妙破解問題。