向量柯西不等式在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用探究

施宏昌，白麗艷

（1.玉溪市第一中學(xué)，云南 玉溪653100；2.玉溪師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，云南 玉溪653100）

柯西不等式將兩個(gè)數(shù)列中各項(xiàng)“積的和”與“和的積”巧妙地結(jié)合在一起，結(jié)構(gòu)整齊，形式多樣，主要有向量形式、積分形式、數(shù)學(xué)期望形式等．柯西不等式是指下面的定理．

定理[1]設(shè)a1,a2,…,an,b1,b2,… ,bn是實(shí)數(shù)，則

1 最值問題

1.1 平方和為常數(shù)

例1[2]求函數(shù)的最大值．

分析本題實(shí)際上是求函數(shù)y的最大值，則需把y看作（2）式的左邊，即把看作是，或，觀察到，則就可構(gòu)造出向量，又，即“平方和”為常數(shù)，放在（2）式的右邊，則可求最大值．

解析設(shè)，由條件可得0 ≤x2≤ 1．根據(jù)，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為．

例2[3]若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=20，則xy+8x+y的最大值是_____．

分析x2+y2=20是常數(shù)，xy+8x+y可以看成是“各項(xiàng)積的和”的形式，則可以構(gòu)造向量．

解析設(shè)，， 根據(jù)， 得·，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)xy+8x+y的最大值42．

例3[4]若對于所有的正數(shù)x,y，均有，則實(shí)數(shù)k的最小值為______．

分析此題實(shí)際上就是求的最大值，則把它看作是．

解析設(shè)，，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=y時(shí)，的最大值，實(shí)數(shù)k的最小值為．

1.2 積的和為常數(shù)

例4[2]已知x,y＞ 0，且x+2y= 2，則的最小值為_____．

分析要求的最小值，則需把看作（1）式右邊的，則可以構(gòu)造向量．又由于x+2y= 2，即“積的和”為常數(shù)，把x+2y看作是，則．

解析設(shè)，，由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，，即x=1，時(shí)，的最小值為2．

2 不等式證明問題

例5[6]設(shè)x1,x2, … ,xn為正數(shù)，求證：

解析轉(zhuǎn)換不等式的方向，即要證，可把x1+x2+ …+xn看作，則可構(gòu)造，．

例6[7]已知：a1,a2,… ,an為互不相等的正整數(shù)．

求證：對于任意的正整數(shù)n，有不等式．

解析設(shè)，，由，得，即，又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼麛?shù)，故其中最小的數(shù)不小于1，次小的數(shù)不小于2，最大的不小于n，有，即．

3 范圍問題

例7[7]已知a,b,c,d,e是實(shí)數(shù)，滿足a+b+c+d+e= 8，a2+b2+c2+d2+e2= 16，試確定e的最大值．

分析此題實(shí)際上就是求a+b+c+d的最大值，形式太明顯，直接用向量柯西不等式即可．

解析設(shè)，由，得4 ( 16 -e2)，即(8 -e)2≤4(16-e2)，得．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，e取最大值．

例8[8]設(shè)，證明不等式．

分析看到此題，最先可能想到設(shè)，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，此時(shí)無解，則，但．說明此思路的證法結(jié)果被放得過大，需進(jìn)行修正，觀察，考慮，把看作（2）式左邊的，或，從而有如下證法．

解析由題意，知，設(shè)．由，得

4 總 結(jié)

一般來說，解數(shù)學(xué)競賽試題的難度較大，需要靈活的技巧方法進(jìn)行處理，應(yīng)用向量柯西不等式解題，關(guān)鍵是找到三個(gè)式子，，及其所對應(yīng)的向量形式，，，從而構(gòu)造出向量→→，，這也是利用向量柯西不等式的解題技巧和難點(diǎn)．應(yīng)用柯西不等式解題時(shí)，盡量觀察已知條件和結(jié)果，把其轉(zhuǎn)化成柯西不等式的形式．

從本文可看出，在許多問題中，如果我們能夠利用柯西不等式去解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新．利用向量柯西不等式來解決相關(guān)問題具有極大的簡捷性，解題過程宛若行云流水，一氣呵成，給人以美的享受，值得我們細(xì)細(xì)領(lǐng)悟和回味．