雙曲拋物面的直紋性質(zhì)及其應(yīng)用

王成強(qiáng)，趙向青，呂志偉，趙士銀

（宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800）

雙曲拋物面，亦稱馬鞍面，其形狀優(yōu)美、性質(zhì)豐富，在工程實踐、理論研究等多個領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.

定義1設(shè).若，，且，則方程在空間直角坐標(biāo)系中的軌跡稱為雙曲拋物面，其中，.

性質(zhì)1[1]對任何雙曲拋物面，都存在適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，使得雙曲拋物面在該坐標(biāo)系下的方程為.

定義2在空間直角坐標(biāo)系中，可描述為動直線軌跡的曲面稱為直紋面.

性質(zhì)2[1]雙曲拋物面的是直紋面.

運動而形成直紋面的直線稱為（直）母線. 除雙曲拋物面外，常見的直紋面還有平面、二次錐面、二次柱面、單葉雙曲面.

性質(zhì)3[1-2]雙曲拋物面含有兩族直母線，同族中的任何兩條直母線異面，同族中的所有直母線平行于同一平面.

與雙曲拋物面類似，單葉雙曲面含有兩族直母線，同族中的任何兩條直母線也異面，但與前者不同的是，不存在平面，使得單葉雙曲面的同族直母線平行于該平面[1-2]．與雙曲拋物面、單葉雙曲面都不同，平面有無窮多族直母線[3]，二次錐面的所有直母線都過定點[4]（稱為錐面的頂點），二次柱面的所有直母線平行于定直線[5-6]．從這些分析可知，雙曲拋物面的顯著特點是，同族直母線平行于同一平面，然而，平行于同一平面、且兩兩異面的一族直線所形成的幾何圖形是否就是雙曲拋物面？為此，本文通過研究得出該問題的回答.

1 主要結(jié)果及證明

定理給定相互異面的直線1L：與2L：，及平面P：．若1L與2L都與平面P相交，則與平面P平行，且分別與直線1L，2L共面的動直線L的軌跡是雙曲拋物面，其方程為，其中，

證明任意選取動直線L上一點(x,y,z) ，并設(shè)直線L的參數(shù)方程為（t∈R 是參數(shù)）．“直線L與直線1L相交”等價于“存在t∈R，使得，或等價于“存在t∈R，使得，或進(jìn)一步等價于：m，n，p滿足下述線性方程

同理可證，“直線L與直線2L相交” 等價于：m，n，p滿足下述線性方程

借助Cramer 法則，求解方程組（1）-（2），得

因直線L與平面P平行，故mA+nB+pC= 0．代入（3），（4），并整理得

借助行列式的計算性質(zhì)進(jìn)一步處理便發(fā)現(xiàn)，上式等價于

展開（5）并對展開結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步處理，便能得到動直線L的軌跡方程. 接下來進(jìn)一步分析動直線L軌

因直線1L與2L異面，直線1L與2L都同平面P相交，故

再次，因直線1L與2L異面，直線1L與2L都同平面P相交，故

綜上，直線L的軌跡是雙曲拋物面．

2 應(yīng)用舉例

例1[7]在空間直角坐標(biāo)系中，給定直線1L與2L．設(shè)，直線2L通過( -1,0,0)與(0,1,1)兩點．動直線L分別與直線1L和2L共面，且與平面z=0 平行．（i）求動直線L形成的軌跡S的方程；（ii）判斷S是什么曲面.

解（i）從定理的證明過程可發(fā)現(xiàn)，軌跡S的方程為

化簡經(jīng)整理，便得軌跡S的方程：yz-zx-y= 0.（ ii）由定理得，軌跡S是雙曲拋物面.