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    雙曲拋物面的直紋性質(zhì)及其應(yīng)用

    2023-09-14 05:40:10王成強(qiáng)趙向青呂志偉趙士銀
    玉溪師范學(xué)院學(xué)報 2023年3期
    關(guān)鍵詞:同族拋物面異面

    王成強(qiáng),趙向青,呂志偉,趙士銀

    (宿遷學(xué)院 文理學(xué)院,江蘇 宿遷 223800)

    雙曲拋物面,亦稱馬鞍面,其形狀優(yōu)美、性質(zhì)豐富,在工程實踐、理論研究等多個領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.

    定義1設(shè).若,,且,則方程在空間直角坐標(biāo)系中的軌跡稱為雙曲拋物面,其中,.

    性質(zhì)1[1]對任何雙曲拋物面,都存在適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,使得雙曲拋物面在該坐標(biāo)系下的方程為.

    定義2在空間直角坐標(biāo)系中,可描述為動直線軌跡的曲面稱為直紋面.

    性質(zhì)2[1]雙曲拋物面的是直紋面.

    運動而形成直紋面的直線稱為(直)母線. 除雙曲拋物面外,常見的直紋面還有平面、二次錐面、二次柱面、單葉雙曲面.

    性質(zhì)3[1-2]雙曲拋物面含有兩族直母線,同族中的任何兩條直母線異面,同族中的所有直母線平行于同一平面.

    與雙曲拋物面類似,單葉雙曲面含有兩族直母線,同族中的任何兩條直母線也異面,但與前者不同的是,不存在平面,使得單葉雙曲面的同族直母線平行于該平面[1-2].與雙曲拋物面、單葉雙曲面都不同,平面有無窮多族直母線[3],二次錐面的所有直母線都過定點[4](稱為錐面的頂點),二次柱面的所有直母線平行于定直線[5-6].從這些分析可知,雙曲拋物面的顯著特點是,同族直母線平行于同一平面,然而,平行于同一平面、且兩兩異面的一族直線所形成的幾何圖形是否就是雙曲拋物面?為此,本文通過研究得出該問題的回答.

    1 主要結(jié)果及證明

    定理給定相互異面的直線1L:與2L:,及平面P:.若1L與2L都與平面P相交,則與平面P平行,且分別與直線1L,2L共面的動直線L的軌跡是雙曲拋物面,其方程為,其中,

    證明任意選取動直線L上一點(x,y,z) ,并設(shè)直線L的參數(shù)方程為(t∈R 是參數(shù)).“直線L與直線1L相交”等價于“存在t∈R,使得,或等價于“存在t∈R,使得,或進(jìn)一步等價于:m,n,p滿足下述線性方程

    同理可證,“直線L與直線2L相交” 等價于:m,n,p滿足下述線性方程

    借助Cramer 法則,求解方程組(1)-(2),得

    因直線L與平面P平行,故mA+nB+pC= 0.代入(3),(4),并整理得

    借助行列式的計算性質(zhì)進(jìn)一步處理便發(fā)現(xiàn),上式等價于

    展開(5)并對展開結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步處理,便能得到動直線L的軌跡方程. 接下來進(jìn)一步分析動直線L軌

    因直線1L與2L異面,直線1L與2L都同平面P相交,故

    再次,因直線1L與2L異面,直線1L與2L都同平面P相交,故

    綜上,直線L的軌跡是雙曲拋物面.

    2 應(yīng)用舉例

    例1[7]在空間直角坐標(biāo)系中,給定直線1L與2L.設(shè),直線2L通過( -1,0,0)與(0,1,1)兩點.動直線L分別與直線1L和2L共面,且與平面z=0 平行.(i)求動直線L形成的軌跡S的方程;(ii)判斷S是什么曲面.

    解(i)從定理的證明過程可發(fā)現(xiàn),軌跡S的方程為

    化簡經(jīng)整理,便得軌跡S的方程:yz-zx-y= 0.( ii)由定理得,軌跡S是雙曲拋物面.

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