凸顯運(yùn)算本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算一致性
——以“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”單元為例

江蘇省邳州市運(yùn)河高等師范學(xué)校附屬小學(xué) 高 杰

新課標(biāo)中“數(shù)與代數(shù)”部分指出，初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算在本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生要接觸的數(shù)包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等。教師如何在課堂上凸顯運(yùn)算的本質(zhì)，讓學(xué)生感受到整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)在加、減、乘、除四則混合運(yùn)算中的一致性呢？

一、理解運(yùn)算本質(zhì)

學(xué)生從學(xué)習(xí)整數(shù)的加、減、乘、除到分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除，再到小數(shù)的加、減、乘、除，雖然數(shù)的類(lèi)型在變化，但是其運(yùn)算本質(zhì)是一致的。

（一）數(shù)的概念一致性

無(wú)論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中都是先學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)單位，再通過(guò)計(jì)數(shù)單位的累加來(lái)認(rèn)識(shí)更大、更復(fù)雜的數(shù)。讀數(shù)或?qū)憯?shù)時(shí)，學(xué)生是基于計(jì)數(shù)單位的劃分進(jìn)行運(yùn)算的；比較數(shù)的大小時(shí)，學(xué)生是通過(guò)比較這個(gè)數(shù)有多少個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行運(yùn)算的。

（二）運(yùn)算一致性

1.加、減法運(yùn)算一致性

整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的加、減法，有的是口算，有的是列豎式計(jì)算，從計(jì)算形式上看各不相同，但它們的運(yùn)算本質(zhì)是一致的。整數(shù)加、減法，要求末尾對(duì)齊相加、減，當(dāng)末尾對(duì)齊了，也就是相同數(shù)位對(duì)齊了。分?jǐn)?shù)加、減法，要求先通過(guò)通分轉(zhuǎn)變?yōu)橥帜阜謹(jǐn)?shù)再加、減。小數(shù)加、減法，要求小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，當(dāng)小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊了，也就是相同數(shù)位對(duì)齊了。因此，整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的加、減法的共性就是相同數(shù)位對(duì)齊后再加、減。

2.乘法運(yùn)算一致性

乘法運(yùn)算是對(duì)幾個(gè)相同加數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)便。整數(shù)乘法運(yùn)算就是把每個(gè)乘數(shù)先根據(jù)計(jì)數(shù)單位進(jìn)行拆分，再利用乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律，把計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘、計(jì)數(shù)單位上的數(shù)與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相乘，最后得到結(jié)果。基于演繹推理，分?jǐn)?shù)乘法和小數(shù)乘法也是“計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位、計(jì)數(shù)單位上的數(shù)乘計(jì)數(shù)單位上的數(shù)”。

3.除法運(yùn)算一致性

乘法和除法互為逆運(yùn)算，除法運(yùn)算根據(jù)乘法口訣來(lái)計(jì)算。整數(shù)除法運(yùn)算把被除數(shù)以不同的計(jì)數(shù)單位分成幾部分，這幾個(gè)部分分別除以除數(shù)，每一次的商總是要小于或等于9個(gè)計(jì)數(shù)單位?；谘堇[推理，分?jǐn)?shù)除法和小數(shù)除法運(yùn)算都是根據(jù)“整數(shù)除法可以表示成分?jǐn)?shù)形式”，也是“計(jì)數(shù)單位除以計(jì)數(shù)單位、計(jì)數(shù)單位上的數(shù)除以計(jì)數(shù)單位上的數(shù)”。

因此，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的加、減、乘、除，雖然運(yùn)算法則不同，但是運(yùn)算本質(zhì)是一致的。教師在教學(xué)“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”這個(gè)運(yùn)算單元時(shí)，要圍繞“計(jì)數(shù)單位”這個(gè)核心概念，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中深刻感知數(shù)的概念一致性和運(yùn)算一致性。

二、開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)

我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)的概念一致性和運(yùn)算一致性理論的基礎(chǔ)上，嘗試在學(xué)生學(xué)習(xí)整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算和相應(yīng)的估算，不進(jìn)位的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)；不連續(xù)進(jìn)位的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，連續(xù)進(jìn)位的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)；乘數(shù)中間或末尾有0的乘法等知識(shí)后設(shè)計(jì)一節(jié)單元復(fù)習(xí)課，幫助學(xué)生溝通運(yùn)算的數(shù)學(xué)本質(zhì)，感受運(yùn)算的一致性。

（一）我來(lái)編題，理解乘法含義

師：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們來(lái)復(fù)習(xí)一下乘法知識(shí)點(diǎn)?；貞浺幌?，前面我們學(xué)習(xí)了哪幾種乘法？

生：整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算和估算，不進(jìn)位的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，不連續(xù)進(jìn)位的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，連續(xù)進(jìn)位的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，乘數(shù)中間或末尾有0的乘法……

師：真好！你們能根據(jù)算式“12×3”編一道題目嗎？

生1：每幢有12戶(hù)人家，3幢一共有多少戶(hù)人家？

生2：長(zhǎng)方形長(zhǎng)12分米、寬3分米，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少平方分米？

生3：紅紅坐一次碰碰車(chē)要3元，坐12次碰碰車(chē)要多少元？

生4：紅花有12朵，黃花的朵數(shù)是紅花的3倍，黃花有多少朵？

師：同學(xué)們，大家編的題目都不一樣，為什么都是用“12×3”這個(gè)算式呢？

生5：因?yàn)樯?、生2、生4是在計(jì)算3個(gè)12是多少，生3是在計(jì)算12個(gè)3是多少，因此都可以用算式“12×3”來(lái)計(jì)算。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出自己學(xué)了哪幾種乘法、用算式“12×3”編一道題目等，充分展示了學(xué)生對(duì)乘法的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，為后面的復(fù)習(xí)乘法運(yùn)算做好鋪墊。

（二）我來(lái)說(shuō)理，溝通乘法聯(lián)系

師：接下來(lái)，我們來(lái)計(jì)算“12×3”“12×9”“108×3”“120×3”這四道題目，并在點(diǎn)子圖上結(jié)合豎式中每一個(gè)數(shù)的由來(lái)圈一圈。

1.在豎式中理解運(yùn)算一致性

師：在用豎式計(jì)算的過(guò)程中，你們發(fā)現(xiàn)有什么相同之處？

生1：我們都是用一位數(shù)分別去乘多位數(shù)的個(gè)位、十位、百位上的數(shù)。

師：你們能具體說(shuō)說(shuō)每道題目計(jì)算時(shí)是怎么去乘的？

生2：“12×3”，我把12拆成10和2，先算3個(gè)2等于6，再算3個(gè)十等于30，最后算6加30等于36?！?2×9”，我把12拆成10和2，先算9個(gè)2等于18，再算9個(gè)十等于90，最后算18加90等于108?！?08×3”，我把108拆成100和8，先算3個(gè)8等于24，再算3個(gè)100等于300，最后算24加300等于324?！?20×3”，我把120拆成100和20，先算3個(gè)20等于60，再算3個(gè)100等于300，最后算60加300等于360。

生3：“120×3”，我是這樣算的——我把120看成12個(gè)十，“120×3”就是12個(gè)十乘3，因?yàn)?2乘3等于36，所以12個(gè)十乘3就是36個(gè)十，也就是360。

2.在點(diǎn)子圖中溝通乘法聯(lián)系

師：算出了每道題目的答案，你們能結(jié)合點(diǎn)子圖說(shuō)說(shuō)你們的計(jì)算過(guò)程嗎？

生1：（指著“12×3”的點(diǎn)子圖）左邊圈起來(lái)的點(diǎn)表示3個(gè)十，右邊圈起來(lái)的點(diǎn)表示3個(gè)2。

師：我們?cè)邳c(diǎn)子圖上把“12×3”轉(zhuǎn)變成了幾個(gè)十和幾個(gè)一。我們?cè)谟?jì)算“12×9”時(shí)，先算什么，再算什么？

生2：（指著“12×9”的點(diǎn)子圖）左邊圈起來(lái)的點(diǎn)表示9個(gè)十，右邊圈起來(lái)的點(diǎn)表示9個(gè)2。

師：我們第一步計(jì)算9個(gè)2，得到1個(gè)十和8個(gè)一；第二步計(jì)算9個(gè)十；最后把1個(gè)十、9個(gè)十和8個(gè)一加起來(lái)，就是108。

生3：（指著“108×3”的點(diǎn)子圖）上面圈起來(lái)的點(diǎn)表示3個(gè)100，下面圈起來(lái)的點(diǎn)表示3個(gè)8。我們第一步計(jì)算3個(gè)8，得到2個(gè)十和4個(gè)一；第二步計(jì)算3個(gè)100；最后把3個(gè)100、2個(gè)十和4個(gè)一合起來(lái)，就是324。（指著“120×3”的點(diǎn)子圖）上面圈起來(lái)的點(diǎn)表示3個(gè)100，下面圈起來(lái)的點(diǎn)表示3個(gè)20。我們第一步計(jì)算3個(gè)20，得到6個(gè)十；第二步計(jì)算3個(gè)100；最后把3個(gè)100、6個(gè)十合起來(lái)，就是360。

師：同學(xué)們，你們發(fā)現(xiàn)在計(jì)算和圈點(diǎn)子過(guò)程中，其實(shí)都是在算什么？

生4：都是在算幾個(gè)幾是多少，得到幾個(gè)百、幾個(gè)十和幾個(gè)一。

3.根據(jù)算式數(shù)字特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律

生：老師，我算出12×3=36，其他幾題我不是直接用豎式計(jì)算得到答案的，都是利用12×3=36來(lái)計(jì)算的。比如，“12×9”，可以看成“12×3×3”，知道了12×3=36，再算36×3=108?！?08×3”，可以看成“12×3×3×3”，再算36×3×3=324。當(dāng)然，這道題目這樣計(jì)算變麻煩了?！?20×3”，可以看成“12×3×10”，再算36×10=360。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師出示了“12×3”“12×9”“108×3”“120×3”這四道題目，讓學(xué)生在用豎式計(jì)算和圈點(diǎn)子圖過(guò)程中發(fā)現(xiàn)都是把結(jié)果轉(zhuǎn)變成幾個(gè)百、幾個(gè)十和幾個(gè)一，也就是去數(shù)有幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位，從而幫助學(xué)生尋找到解決乘法運(yùn)算問(wèn)題的“通法”：計(jì)算計(jì)數(shù)單位的數(shù)量，溝通了乘法之間的聯(lián)系。當(dāng)然，有的學(xué)生并不滿(mǎn)足于乘法運(yùn)算的“通法”，而是“另辟蹊徑”地發(fā)現(xiàn)了乘法算式之間的規(guī)律。

（三）我來(lái)計(jì)算，遷移乘法計(jì)算

師：同學(xué)們，剛才我們?cè)谟?jì)算乘法時(shí)通過(guò)算出幾個(gè)幾是多少，得到幾個(gè)百、幾個(gè)十和幾個(gè)一，其實(shí)就是在計(jì)算計(jì)數(shù)單位的數(shù)量。我們來(lái)挑戰(zhàn)一下兩位數(shù)乘兩位數(shù)“12×18”、三位數(shù)乘兩位數(shù)“108×15”，并說(shuō)一說(shuō)你們是怎么計(jì)算的。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你是怎么計(jì)算這兩道乘法的？

生1：“12×18”，先算8個(gè)12，得到9個(gè)十和6個(gè)一；再算10個(gè)12，得到1個(gè)100和2個(gè)十；最后把1個(gè)100、2個(gè)十、9個(gè)十和6個(gè)一加起來(lái)，就是216。“108×15”，先算5個(gè)108，得到5個(gè)100和4個(gè)十；再算10個(gè)108，得到1個(gè)1000和8個(gè)十；最后把1個(gè)1000、5個(gè)100、4個(gè)十、8個(gè)十合起來(lái)，得到1620。

師：生1的做法都是在計(jì)算計(jì)數(shù)單位的數(shù)量，這是乘法運(yùn)算的“通法”。

生2：我是利用乘法算式之間的規(guī)律計(jì)算的?！?2×18”，我們可以看成“12×9×2”，剛才我們計(jì)算出12×9=108，我再算108×2=216?！?08×15”，我們可以看成“108×3×5”，剛才我們計(jì)算出108×3=324，我再算324×5=1620。

師：生2的做法巧妙地利用了乘法算式之間的規(guī)律，把“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”“三位數(shù)乘兩位數(shù)”轉(zhuǎn)變成我們本單元學(xué)習(xí)的“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”，轉(zhuǎn)化也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種不錯(cuò)的方法。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師拋出了學(xué)生接下來(lái)要學(xué)習(xí)的三位數(shù)乘兩位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的內(nèi)容。學(xué)生自主地實(shí)現(xiàn)了乘法運(yùn)算的正遷移，有的學(xué)生像“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”那樣通過(guò)算幾個(gè)幾，去計(jì)算計(jì)數(shù)單位的數(shù)量，再把相同的計(jì)數(shù)單位相加；有的學(xué)生嘗試?yán)蒙弦唤虒W(xué)環(huán)節(jié)中的乘法規(guī)律進(jìn)行計(jì)算。

總之，學(xué)生對(duì)運(yùn)算一致性的理解是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，教師需要在教學(xué)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的加、減、乘、除四則混合運(yùn)算時(shí)始終以“計(jì)數(shù)單位”為準(zhǔn)繩，以聯(lián)系發(fā)展的觀(guān)點(diǎn)看待不同階段的運(yùn)算，溝通不同階段數(shù)的概念的一致性和運(yùn)算的一致性，提升學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力。