一次函數(shù)與方程聯(lián)袂演繹行程問題

張賀

例題呈現(xiàn)

例1 甲、乙兩人分別從A，B兩地相向而行，勻速行進(jìn)，甲先出發(fā)且先到達(dá)B地，他們之間的距離s（km）與甲出發(fā)的時(shí)間t（h）的關(guān)系如圖1所示，則乙由B到A用了? ? ? ?h.

分析：首先分析題意中的變量含義，明確s表示甲、乙之間的距離，t表示甲出發(fā)的時(shí)間. 結(jié)合圖象分析，A，B兩地的距離為36 km，甲先出發(fā)2小時(shí)，4.5小時(shí)相遇時(shí)乙行進(jìn)2.5小時(shí)，6小時(shí)甲到達(dá)B地. 根據(jù)以上條件，可設(shè)出甲、乙兩人的速度，然后建立方程組解決問題，還可以用算術(shù)法求解.

解：方法1：設(shè)甲的速度為x km/h，乙的速度為y km/h，列方程組得[4.5x+2.5y=36，6x=36，]

解得[x=6，y=3.6，]所以乙行進(jìn)的時(shí)間為36 ÷ 3.6 = 10（h）. 故應(yīng)填10.

方法2：甲行進(jìn)的速度為36 ÷ 6 = 6（km/h），乙行進(jìn)的速度為[36-4.5×64.5-2? ][ =3.6] （km/h），

所以36 ÷ 3.6 = 10（h）. 故應(yīng)填10.

例2 甲、乙兩人沿筆直公路勻速由A地到B地，甲先出發(fā)30分鐘，到達(dá)B地后原路原速返回與乙在C地相遇. 甲的速度比乙的速度快35 km/h，甲、乙兩人與A地的距離y（km）和乙行駛的時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則B，C兩地的距離為__________km（結(jié)果精確到1 km）.

分析：根據(jù)題意結(jié)合圖象可得甲行駛的速度及A，B兩地之間的距離，進(jìn)而得出乙行駛的速度，然后求出兩人相遇的時(shí)間，即可求出B，C兩地的距離. 也可借助畫線段圖（圖3）解決問題，如此更加直觀.

解：方法1：設(shè)乙行駛的時(shí)間為x h，根據(jù)題意得25 + 50 × 2 = 15x + 50（x - 2），

解得[x=4513]，[則BC=50×4513-2≈73]（km）. 故應(yīng)填73.

方法2：設(shè)甲返回的時(shí)間為y h，根據(jù)題意得15（y + 2） + 50y = 25 + 50 × 2，

解得[y=1913]，則[BC=50×1913≈73]（km）. 故應(yīng)填73.

反思：數(shù)形結(jié)合思想在分析問題時(shí)至關(guān)重要，同學(xué)們不僅要理解特殊點(diǎn)、變量的實(shí)際意義，還要畫線段圖，把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀圖形，再利用方程解決問題.

真題演練

例3（2022·遼寧·阜新）快遞員經(jīng)常駕車往返于公司和客戶之間. 在快遞員完成某次投遞業(yè)務(wù)時(shí)，他與客戶的距離 s （km）與行駛時(shí)間 t （h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖4所示（因其他業(yè)務(wù)，曾在途中有一次折返，且快遞員始終勻速行駛），那么快遞員的行駛速度是__________km/h .

分析：在實(shí)際問題中，要明確客戶是靜止的，這是求解的前提. 找到快遞員直接到達(dá)的時(shí)間是求解的關(guān)鍵，t = 0.2 - 0.15 + 0.2 = 0.25（h），則快遞員的速度為8.75 ÷ 0.25 = 35（km/h）. 還可以利用線段圖（圖5）直觀地體現(xiàn)折返路程，建立方程求解.

解：設(shè)快遞員的行駛速度是x km/h，

根據(jù)題意得0.2x - 0.15x + 0.2 x = 8.75，解得x = 35. 故應(yīng)填35.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時(shí)間：15分鐘

1. 育紅學(xué)校七年級(jí)學(xué)生步行到郊外旅行. 七（1）班出發(fā)1 h后，七（2）班才出發(fā)，同時(shí)七（2）班派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩班隊(duì)伍之間進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，聯(lián)絡(luò)員和七（1）班的距離s（km）與七（2）班行進(jìn)時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖6所示. 若已知聯(lián)絡(luò)員用了[23] h第一次返回到自己班級(jí)，則七（2）班需要__________h才能追上七（1）班.

2. A，B兩地相距的路程為240千米，甲、乙兩車沿同一線路從A地出發(fā)到B地，分別以一定的速度勻速行駛，甲車先出發(fā)40分鐘后，乙車才出發(fā). 乙車追上甲車時(shí)恰好發(fā)生故障，修車耗時(shí)20分鐘，隨后，乙車仍以原速前行. 甲、乙兩車相距的路程（千米）與甲車行駛時(shí)間（小時(shí)）之間的關(guān)系如圖7所示，乙車修好后再次追上甲車時(shí)，兩車距B地還有千米.

（作者單位：阜新市第一中學(xué)）

答案

1. 2 2. 60