求函數(shù)值域問(wèn)題研究

陳曉明

(安徽省寧國(guó)中學(xué))

函數(shù)的值域是函數(shù)概念的三要素之一,用初等方法求函數(shù)值域是一個(gè)傳統(tǒng)的重要課題.求函數(shù)的值域也是對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步研究的基礎(chǔ),在試題中它常常以求函數(shù)的最值、求參數(shù)的取值范圍以及恒成立問(wèn)題等形式進(jìn)行考查.因?yàn)榍蠛瘮?shù)值域方法的靈活多變,所以學(xué)生在此類(lèi)問(wèn)題中經(jīng)常出錯(cuò).因此,筆者認(rèn)為有必要對(duì)求函數(shù)值域問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的研究,讓學(xué)生抓住此類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)、掌握解決此類(lèi)問(wèn)題的通性通法,從而更好地進(jìn)行備考.

1 確定函數(shù)值域的原則

由函數(shù)的不同表示方法,可得到下列不同的原則.

1)當(dāng)函數(shù)y＝f(x)用表格給出時(shí),函數(shù)的值域是指表格中y的值的集合.

2)當(dāng)函數(shù)y＝f(x)用圖像給出時(shí),函數(shù)的值域是指圖像在y軸上的投影對(duì)應(yīng)的y的值的集合.

3)當(dāng)函數(shù)y＝f(x)用解析式給出時(shí),函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定.

4)當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí),函數(shù)的值域應(yīng)結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義確定.

2 基本初等函數(shù)的值域

要求解一些復(fù)雜函數(shù)的值域,首先要清楚基本初等函數(shù)的值域.

1)一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(x∈R,k≠0)的值域?yàn)镽.

4)指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(x∈R,a＞0且a≠1)的值域?yàn)?0,＋∞).

5)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(x＞0,a＞0且a≠1)的值域?yàn)镽.

3 求函數(shù)值域的方法

3.1 轉(zhuǎn)化與化歸思想

例1求下列函數(shù)的值域.

那天田銘在大早上的雪地里遇見(jiàn)趴車(chē)的女孩就是范青青，范青青就此和他認(rèn)識(shí)并迅速?zèng)Q定追他，說(shuō)是因?yàn)樗L(zhǎng)得帥個(gè)子高，心還善良。田銘不屑，一個(gè)人能這么快忘記上段感情，只能說(shuō)明這樣的女孩不可信，薄情。

因此該函數(shù)的值域?yàn)?－1,1].

推廣運(yùn)用類(lèi)似解法可求函數(shù)0)的值域(通過(guò)換元可轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)的值域問(wèn)題).

(3)令t＝8－2x－x2＝9－(x－1)2∈(0,9],則y＝log3t,因此該函數(shù)的值域?yàn)?－∞,2].

因此該函數(shù)的值域?yàn)?－∞,1].

推廣運(yùn)用類(lèi)似解法可求函數(shù)y＝ax＋b±的值域(通過(guò)換元可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問(wèn)題).

點(diǎn)評(píng)本例主要通過(guò)“換元”使問(wèn)題得以解決,即通過(guò)引入“中間變量t”,將問(wèn)題分解為基本初等函數(shù)的值域,實(shí)現(xiàn)由復(fù)雜到簡(jiǎn)單、由高級(jí)到低級(jí)的轉(zhuǎn)化與化歸,形式和途徑可能不同,但思想層面本質(zhì)一致,關(guān)鍵是使學(xué)生感受轉(zhuǎn)化與化歸思想.特別提醒,利用換元法解題一定要注意換元后新元的取值范圍.

圖1

f(x)的值域表示直線z＝m＋n經(jīng)過(guò)橢圓弧上的點(diǎn)時(shí)在縱軸(即n軸)上的截距的最值問(wèn)題.平移直線m＋n＝0,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)橢圓弧上短軸上的頂點(diǎn)它在縱軸(即n軸)上的截距的最小,最小截距為所以.平移直線m＋n＝0,當(dāng)直線與橢圓弧相切于點(diǎn)C時(shí),令直線方程為m＋n＝z,它在縱軸(n軸)上的截距最大,最大截距為z,把n＝－m＋z代入橢圓方程并整理得

點(diǎn)評(píng)借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象,有助于探索解決問(wèn)題的思路、預(yù)測(cè)結(jié)果.

3.2 函數(shù)與方程思想

點(diǎn)評(píng)本例所求函數(shù)的值域通常用所謂的“逆求法”“有界性法”“判別式法”等求解,其本質(zhì)就是視函數(shù)關(guān)系式為關(guān)于x的方程,分析方程有解時(shí),y必須滿(mǎn)足的條件,從而得到函數(shù)的值域.

3.3 函數(shù)的性質(zhì)

3.4 數(shù)形結(jié)合思想

例5求下列函數(shù)的值域:

解析該函數(shù)為分段函數(shù),其圖像如圖2 所示,由圖像易知該函數(shù)的值域?yàn)?－∞,2].

圖2

例6求函數(shù)y＝x2－4x＋6(x∈[1,4])的值域.

解析(配方法)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2,其圖像如圖3所示,由圖像易知該函數(shù)的值域?yàn)閇2,6].

圖3

點(diǎn)評(píng)我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微.”“數(shù)”與“形”是同一數(shù)學(xué)對(duì)象的兩種不同的表現(xiàn)形式,用“形”的眼光重新審視數(shù)學(xué)問(wèn)題的代數(shù)推理演算過(guò)程與結(jié)果,有助于解讀出“數(shù)”的幾何意義,找到問(wèn)題的幾何背景,從而認(rèn)清數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).

3.5 基本不等式

例7求函數(shù)y＝log3x＋logx3－1(x∈(0,1))的值域.

綜上,求函數(shù)值域的方法較多,如果從數(shù)學(xué)思想的高度審視有關(guān)解法,抓住問(wèn)題的本質(zhì),淡化技巧和方法,回到源頭,高屋建瓴,將會(huì)有助于學(xué)生從整體上把握問(wèn)題,形成合理的知識(shí)結(jié)構(gòu),從而以不變應(yīng)萬(wàn)變.

(完)