擺線：從數(shù)學之美到室內設計之靈

顧 駿

1 擺線原理與曲面造型物應用難點

一個圓沿一條直線緩慢滾動，則圓上固定一點所經(jīng)過的軌跡被稱為擺線，其原理圖如圖1 所示。擺線又稱最速降線，在中國古建筑屋脊中就有其影子（圖2），展現(xiàn)了古代建筑師對美妙曲線的巧妙運用[1]。另外，東北冰雪文化中的速降滑道也是1 種擺線。這些圖形均能通過嚴謹?shù)臄?shù)學公式來呈現(xiàn)完美的造型曲線，體現(xiàn)了數(shù)學與美學的完美結合[2]。

圖1 擺線原理圖（來源：作者自繪）

圖2 屋脊線擺線（來源：網(wǎng)絡）

著名的最速降線問題被瑞士數(shù)學家約翰伯努利于1696 年解決。該問題涉及一個球從斜面頂端滾動到最低點的軌跡問題，即支撐球滾動的軌道應為怎樣的形狀，才能讓球以最快的速度到達底部速降線示意圖，如圖3 所示。經(jīng)過多位數(shù)學家的共同努力，最終證明了圓形并非最速降線，在不考慮摩擦力的情況下，最速降線是擺線，而擺線也是數(shù)學層面最完美的曲線之一。

圖3 速降線示意圖（來源：作者自繪）

世界知名建筑大師扎哈·哈迪德曾說過：“沒有曲線就沒有未來?！边@句話充分表達了曲線在建筑設計中的重要性。隨著現(xiàn)代主義和解構主義的出現(xiàn)，越來越多的設計師開始嘗試利用曲線來打破傳統(tǒng)的平直造型，讓整個空間更加富有動感和藝術感。除了美學價值，曲面造型物也具備較高的功能性。

例如，在聲學設計上，采用曲面造型物可以緩解聲波反射和回聲，提高音效質量。在曲面造型物的應用中，最為困難的和科技是制作工藝。大多數(shù)曲面造型物都需要采用高精度的數(shù)控加工設備進行制作，制作難度和成本也相對較高。隨著時代和科技的進步，目前可將數(shù)字化技術和傳統(tǒng)工藝相結合，探索各種可能的創(chuàng)新方法。

在曲面造型物的設計過程中，除了需要深入了解其結構力學原理，還要在曲線設計中充分考慮材料的選擇，以及相關的制作工藝，以保證結構的穩(wěn)定性和安全性。同時，需要特別注意與人體的比例關系，避免出現(xiàn)過于夸張或不自然的造型。如果曲面造型物可以分解成為數(shù)學公式進行計算，這樣不僅可以解決造型美觀性的問題，還能為實際制作工藝提供更為便捷、可控的操作方法。通過將設計方法可計算化，能夠讓整個設計過程更加科學與合理，并且能夠使每一個細節(jié)都得到了精細的推敲和考慮。

2 案例分析—東北某銀行大堂云屏

在東北某銀行大堂的云屏設計中，核心部分就是擺線的應用。這座建筑原是省內某機關的辦公樓，后來被東北某銀行購入并改建成總行大樓。大堂規(guī)模巨大，長寬均達40 m，高度為20 m，由4 根立柱支撐，空間十分宏大，極具震撼力。

2.1 概念設計

設計不能流于表面，要具有永恒感，不能僅用裝飾的手法。裝飾不僅與藝術有關，與材料和氛圍的聯(lián)系更為密切，很難產(chǎn)生永恒感。在一般的室內設計過程中，往往會有許多不同的設計方案，最終采用的方案取決于評判者的品位和眼光。

東北某銀行在大堂設計中并未將大堂內部6 個面的刻畫放在首位，而是在大廳的中央構建出具有自生成邏輯，并且能夠反映力學結構合理性的裝置物，這樣更能體現(xiàn)其自身存在的意義與價值。

以此裝置物為主體，將室內6 個面的裝修設計作為第二層次的設計輔體，圍繞主體展開。主體和輔體相互襯托與呼應，最終形成一個整體。這也是創(chuàng)造室內空間時經(jīng)常采用的一種方法，使得設計更具有主次之分，能夠為室內空間帶來更豐富的層次感，既符合莊重氛圍空間場景的需求，又創(chuàng)造出具有永恒感的場景。

最終方案決定在大堂的中央以吊裝的形式植入一個能奪人眼球又具有科技感的電子屏，該屏被稱為云屏。云屏既在空間中占據(jù)合適的比例，又給人以非常輕盈的感覺，而輕盈感往往可以使人聯(lián)想到科技感。

2.2 建立數(shù)學模型

根據(jù)空間尺度確定云屏的直徑，并以此為起始尺寸，利用最小作用量原理打造屏幕結構。將云屏的剖面設計成擺線的一部分，然后將其旋轉形成單葉雙曲面的形狀，如圖4 所示。結合實際施工工藝，如果雙曲面線中的每根法線都為曲線，那么無論是施工難度還是受力狀況，都將面對非常大的挑戰(zhàn)。

線性最優(yōu)控制下跟蹤電流波形對比如圖7所示。注入到變壓器二次側的電流緊跟隨流過變壓器一次側的系統(tǒng)電流變化，因此滿足磁通補償?shù)臈l件，此時，接入系統(tǒng)中所呈現(xiàn)的阻抗僅為變壓器一次側阻抗，不影響系統(tǒng)的正常工作。

圖4 云屏生成原理分析圖（來源：作者自繪）

2.3 設計計算過程

利用擺線和單葉雙曲面的數(shù)學性質，構建一個直線交錯的穩(wěn)定造型物，既美觀又輕盈，符合受力合理性，展現(xiàn)了數(shù)學與建筑的完美結合。在此項設計中，運用微積分來計算它的表面積、重量和受力情況，證明其科技感和地域文化內涵。

雙曲面是一種二次曲面，可以用公式表達：

單葉雙曲面在x0z平面上為雙曲線，方程式為：

由此得到雙曲線的漸近線方程：

在MATLAB 中畫出計算好的單葉雙曲面：

云屏雙曲漸近線如圖5 所示。從圖5 中可以看到，設計點在雙曲面上，驗證了計算結果的正確性。

圖5 云屏雙曲漸近線（來源：作者自繪）

2.4 數(shù)據(jù)分析

通過上述計算過程可得到云屏各部件的數(shù)據(jù)，如上方固定環(huán)、下方固定環(huán)和單根構件等。通過嚴謹?shù)臄?shù)學公式，可推導出最終的云屏表面積為112 m2，其中純顯示部分為97 m2。與傳統(tǒng)鋼結構骨架吊裝發(fā)光二極管（Light Emitting Diode，LED）透明屏幕相比，云屏具有更合理完善的固定結構、更大的顯示面積以及更完美的造型感，無論是否顯示內容，都將是大堂的視覺焦點。

2.5 制作工藝研究

運用LED 透明屏的模塊化組件，并結合參數(shù)化造型構件使云屏擁有更大的顯示面積。運用點陣顯示的透明屏技術，即使在非顯示時間段，屏幕本體也不再是黑色面板，具有極強的雕塑感[4]。

2.5.2 材料運用

基于整個設計的數(shù)字化特性，選用碳纖維3D 打印的方式制作云屏支架是一個順理成章的選擇。這種制造方式可以根據(jù)屏幕線束的需求進行深化設計，預留相應穿線孔洞，方便表面屏幕的安裝。碳纖維是最佳的輕量化材料，它可以在保證結構穩(wěn)定性的前提下減輕云屏對原土建結構的負擔。

2.5.3 重量計算方面

根據(jù)云屏各部位的材質及屏幕的單位重量計算出云屏的總重量。與傳統(tǒng)純鋼結構造型相比，采用碳纖維3D打印的云屏支架不僅在結構穩(wěn)定性上表現(xiàn)出色，而且極大減輕了云屏的總重量，降低了對原建筑的新增荷載壓力。這種輕量化的設計方法能夠產(chǎn)生輕盈完美的視覺效果。大堂正面效果圖如圖6 所示。

圖6 大堂正面效果圖（來源：作者自繪）

3 未來發(fā)展趨勢

隨著計算機技術的進步以及人工智能的飛速發(fā)展，設計中的創(chuàng)新手法也日益豐富，引入了參數(shù)化算法和模擬軟件插件，使建筑室內設計能夠更精準地模擬自然和生物的形態(tài)。借助ChatGPT-4 的自然語言處理能力，從語言邏輯的角度分析建筑與室內的問題。通過實際應用，并通過Stable Diffusion和Midjourney 等軟件可以生成各種可能的設計場景，包括建筑室內設計方案。在人工智能時代，設計就是決策，只要有更多的參數(shù)，就會產(chǎn)生更多的類型和迭代的可能性。因此，要通過算法學習和比較對無限的造型進行迭代。在今后的方案中應以大自然為靈感，利用計算機技術加速方案優(yōu)化的過程，提升建筑室內設計的品質。

4 結語

云屏是一種利用云計算技術和網(wǎng)絡技術實現(xiàn)遠程控制和顯示的智能終端設備，它可以提供身臨其境的視覺體驗和極為直觀的溝通效果[5]。

在云屏設計中充分利用微積分的概念，對曲線造型物的形態(tài)進行量化分析，從而優(yōu)化了設計方案和制作工藝。同時，最小量作用原理，可以幫助設計師在盡可能節(jié)省材料的情況下，實現(xiàn)最佳的空間造型，使得整個設計過程更科學，為最后的施工提供了可靠技術依據(jù)。采用這種方式不僅提高了室內設計的技術含量，還可以使設計更加精確和高效。

通過此次嘗試，相信可以在未來的設計中，更加深入地運用數(shù)學知識和科學方法，從而創(chuàng)造出更具實用性和美感的建筑空間。