小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中尺規(guī)作圖的價(jià)值及教學(xué)策略

■浙江省杭州市臨平區(qū)育才實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)新荷小學(xué) 張 彬

數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究過(guò)程離不開(kāi)工具的輔助和應(yīng)用。尺規(guī)作圖源于古希臘，是研究數(shù)學(xué)幾何的一種尤為重要的方法，也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下文簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）中針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”課程教學(xué)的新增內(nèi)容。小學(xué)階段的學(xué)生沒(méi)有太強(qiáng)的邏輯思維能力，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)難以在沒(méi)有外部工具輔助的情況下通過(guò)想象構(gòu)建具體的圖形與模型。在此階段采用尺規(guī)作圖法，既可以幫助小學(xué)生更加直觀地感受和理解課本知識(shí)，也可以在鍛煉小學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手操作能力時(shí)促進(jìn)小學(xué)生邏輯思維的形成，為他們?nèi)蘸蟮臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

一、尺規(guī)作圖的誕生與發(fā)展

從字面意義理解，尺規(guī)作圖指借助直尺和圓規(guī)進(jìn)行幾何圖形繪制的一種輔助學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，它在“幾何與圖形”課程教學(xué)與學(xué)習(xí)中具有重要意義。《課標(biāo)（2022年版）》將尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)從中學(xué)階段提前到了小學(xué)階段，文件要求教師通過(guò)尺規(guī)作圖培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和幾何直觀能力，逐步提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，此舉引起了教育行業(yè)的廣泛關(guān)注。在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，每一種輔助研究的方式都是在歷史的不斷發(fā)展中誕生和完善。尺規(guī)作圖的誕生和發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)主要的歷史階段。

第一個(gè)階段是雅典時(shí)期，也是尺規(guī)作圖興起的時(shí)期，它最初在希臘數(shù)學(xué)史中出現(xiàn)。尺規(guī)作圖主要的兩個(gè)工具是沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)，前者可以畫(huà)出無(wú)限延長(zhǎng)的直線，后者可以在確定定點(diǎn)后畫(huà)出不同大小的圓，二者結(jié)合則可以畫(huà)出多種不受限制的結(jié)合圖形。在這一階段，尺規(guī)作圖憑借要求低和能進(jìn)行智力訓(xùn)練的特點(diǎn)廣受歡迎。

第二個(gè)階段主要以歐幾里得在《幾何原本》中提出的有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容為主，他提出了五條尺規(guī)作圖公設(shè)，即過(guò)兩個(gè)不相交的點(diǎn)可以確定一條線段；延長(zhǎng)線段可以確定一條直線；一個(gè)圓心和一條半徑可以確定一個(gè)圓；直角相等以及有關(guān)三條直線相交的平行公設(shè)。

第三個(gè)階段是尺規(guī)作圖的三大難題。一是在有一已知圓的基礎(chǔ)上做出與之面積相等的正方形；二是只通過(guò)沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)將任意一個(gè)確定的角進(jìn)行三等分；三是在有一已知立方體的基礎(chǔ)上作出體積為其兩倍的另一立方體。這三個(gè)問(wèn)題在古希臘時(shí)期就已經(jīng)被提出，在數(shù)學(xué)史的發(fā)展過(guò)程中又先后被其他數(shù)學(xué)家證明不能用尺規(guī)作圖解決。

目前尺規(guī)作圖成為數(shù)學(xué)教材中的一部分，也成為教師和學(xué)生在日常教學(xué)與學(xué)習(xí)過(guò)程中都會(huì)使用到的教學(xué)工具。從小學(xué)中高年級(jí)開(kāi)始，新知識(shí)依托于舊知識(shí)，有關(guān)尺規(guī)作圖的相關(guān)知識(shí)在教材中的難度呈逐步上升并環(huán)環(huán)相扣的趨勢(shì)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程中不斷鞏固、深化新舊知識(shí)。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)引入尺規(guī)作圖的價(jià)值

小學(xué)階段是數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的奠基階段，教師在教學(xué)過(guò)程中引用尺規(guī)作圖的方法能夠讓學(xué)生更加直觀地觀察幾何圖形的本質(zhì)，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在一定程度上能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。尺規(guī)作圖可以在數(shù)學(xué)幾何圖形學(xué)習(xí)中鍛煉學(xué)生的多項(xiàng)個(gè)人能力，因?yàn)槊恳淮巫鲌D時(shí)的推理、分析、思考過(guò)程都是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的一次綜合性鍛煉。

（一）培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力

動(dòng)手操作是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必不可少的環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)課程中所有已知的公式和定理都是通過(guò)歷史上許多數(shù)學(xué)家反復(fù)實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證后才被整理和總結(jié)出來(lái)的。小學(xué)生的年齡小，思維能力處在培養(yǎng)和發(fā)展的階段。呈現(xiàn)在教材上的知識(shí)點(diǎn)大都語(yǔ)言簡(jiǎn)練，雖然便于學(xué)生記憶，但在理解上通常會(huì)存在一些困難，往往需要通過(guò)更加直觀的觀察和實(shí)際的動(dòng)手操作展開(kāi)思考。

以“矩形周長(zhǎng)”相關(guān)知識(shí)為例，直尺可以畫(huà)出一條直線，圓規(guī)可以確定兩個(gè)點(diǎn)之間的距離，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中可以利用直尺和圓規(guī)將不在一條直線上的多條線段準(zhǔn)確移植到同一條直線上，以更加直觀的視覺(jué)觀察了解矩形的展開(kāi)和周長(zhǎng)的意義。學(xué)生在實(shí)際操作過(guò)程中能對(duì)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)形成更加深刻的記憶，也鍛煉了自己的實(shí)際動(dòng)手操作能力。

（二）增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀能力

數(shù)學(xué)幾何圖形的學(xué)習(xí)離不開(kāi)用眼睛觀察，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中既要學(xué)會(huì)抽象的數(shù)學(xué)概念，也要知道抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)在直觀的構(gòu)圖中擁有怎樣的表現(xiàn)形式。以直觀的模型為支撐展開(kāi)教學(xué)，對(duì)小學(xué)生而言至關(guān)重要，教師在教學(xué)過(guò)程中可以通過(guò)尺規(guī)作圖的方法繪制更加精確的圖形，減少因?yàn)樽鲌D和測(cè)量差異而對(duì)圖形數(shù)據(jù)造成的誤差，引導(dǎo)學(xué)生從視覺(jué)觀察入手對(duì)圖形進(jìn)行探索和思考，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

尺規(guī)作圖還有利于讓學(xué)生形成幾何直觀思維，使其在學(xué)習(xí)的過(guò)程中了解尺規(guī)作圖這種方式能作出哪些具體的圖形，繼而在自己動(dòng)手用尺規(guī)進(jìn)行作圖的過(guò)程中明確作圖有哪些步驟，每一個(gè)步驟能夠帶來(lái)什么樣的結(jié)果，培養(yǎng)空間想象能力。

以人教版四年級(jí)下冊(cè)“三角形”教學(xué)為例，教師可以給定能夠組成一個(gè)三角形的三條線段，讓學(xué)生運(yùn)用直尺和圓規(guī)兩種工具，通過(guò)畫(huà)圓弧找交點(diǎn)的方式將這三條線段組合到一起，得到一個(gè)三角形，以此了解線段和圖形之間的互相轉(zhuǎn)化。在這個(gè)過(guò)程之中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探究什么樣的三條線段組合到一起能夠形成一個(gè)三角形，自行歸納總結(jié)這三條線段之間的關(guān)系并找尋其中的規(guī)律，以對(duì)三角形的組成和特點(diǎn)擁有更加深刻的認(rèn)識(shí)。

（三）鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力

數(shù)學(xué)具有邏輯性和思維性特點(diǎn)，于學(xué)生的邏輯思維能力有一定要求。尺規(guī)作圖并非單純繪制圖形即可，還需要學(xué)生能夠根據(jù)自己繪制的圖形來(lái)探索和解決實(shí)際的問(wèn)題。在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教會(huì)學(xué)生如何思考、如何獨(dú)立推理是教師教學(xué)任務(wù)的一項(xiàng)重要目標(biāo)。

以人教版六年級(jí)上冊(cè)“圓”教學(xué)為例，該單元內(nèi)容有讓學(xué)生利用尺規(guī)作圖在圓內(nèi)繪制一些圖形的章節(jié)。在作圖之前，學(xué)生需要先在腦海中構(gòu)思大概的形狀，再確定作圖的每一個(gè)步驟，最后在確定圖形具體的位置和大小后才能真正開(kāi)始動(dòng)手繪制。此過(guò)程存在循序漸進(jìn)的關(guān)系，具有一定的邏輯性。在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師在教會(huì)學(xué)生正確利用尺規(guī)進(jìn)行作圖的同時(shí)，也可以引導(dǎo)學(xué)生一同探討為什么要按照這樣的模式進(jìn)行作圖，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理和思考，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和邏輯思維能力。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)現(xiàn)狀

學(xué)習(xí)是要學(xué)會(huì)利用學(xué)習(xí)到的知識(shí)來(lái)探索世界，解決生活中可能遇到的相關(guān)問(wèn)題，將學(xué)習(xí)與生活結(jié)合起來(lái)，讓書(shū)本知識(shí)不只是一種書(shū)本上的形式。尺規(guī)作圖是一種相對(duì)來(lái)說(shuō)比較容易理解的實(shí)驗(yàn)方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引入尺規(guī)作圖不僅是《課標(biāo)（2022年版）》對(duì)小學(xué)生提出的要求，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和獨(dú)立思考能力有助于其成為社會(huì)所需的創(chuàng)新型人才，順應(yīng)未來(lái)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展趨勢(shì)，符合當(dāng)前社會(huì)發(fā)展的需要。

（一）新課標(biāo)中對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖的要求

《課標(biāo)（2022年版）》明確了義務(wù)教育階段對(duì)人才培養(yǎng)的要求，也對(duì)具體課程的實(shí)施要求進(jìn)行細(xì)化，以培養(yǎng)學(xué)生各項(xiàng)素質(zhì)為本確定了多項(xiàng)具體要求?！墩n標(biāo)（2022 年版）》要求小學(xué)中段的學(xué)生學(xué)會(huì)使用直尺和圓規(guī)作與已知線段等長(zhǎng)的線段、在給定邊長(zhǎng)的情況下作出等邊三角形、將三角形的三條邊畫(huà)到同一直線上研究三角形周長(zhǎng)；還要求小學(xué)高段的學(xué)生學(xué)會(huì)利用圓規(guī)畫(huà)圓、在利用尺規(guī)作三角形的過(guò)程中探索三角形三條邊長(zhǎng)之間的關(guān)系。

相較于之前，《課標(biāo)（2022 年版）》在對(duì)小學(xué)階段的尺規(guī)作圖學(xué)習(xí)方面，不僅強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生在學(xué)會(huì)如何作圖的同時(shí)了解其背后的依據(jù)，讓學(xué)生一邊動(dòng)手一邊學(xué)習(xí)，重視學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，也更加注重小學(xué)與初中階段知識(shí)之間的銜接性，旨在為學(xué)生初中階段的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中尺規(guī)作圖的難點(diǎn)

限于小學(xué)生的邏輯思維發(fā)展和認(rèn)知水平的發(fā)展，小學(xué)生認(rèn)知社會(huì)的方式主要處于觀察和分析階段，對(duì)于年級(jí)相對(duì)較低的學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖是一種挑戰(zhàn)。這種挑戰(zhàn)主要在于低年級(jí)的學(xué)生對(duì)一些已經(jīng)確定了的數(shù)學(xué)概念還不了解，在學(xué)習(xí)過(guò)程中缺乏一定的常識(shí)基礎(chǔ)，使用直尺和圓規(guī)時(shí)無(wú)法發(fā)揮工具的作用。同時(shí)，低年級(jí)的小學(xué)生的精力旺、思維比較跳脫和活躍，課堂上容易走神，跟不上課堂節(jié)奏，有時(shí)候還可能出現(xiàn)把工具當(dāng)玩具的情況，對(duì)自身學(xué)習(xí)和理解課堂知識(shí)起不到幫助。

四、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中尺規(guī)作圖的教學(xué)策略

學(xué)生是教學(xué)的主體，教師則是課堂的引導(dǎo)者，肩負(fù)引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展學(xué)習(xí)的重要任務(wù)。學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)是對(duì)具體和抽象概念的理解，尺規(guī)作圖能夠幫助學(xué)生積累將抽象的概念在腦海中構(gòu)建具體模型的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)空間想象能力和邏輯思維能力。

（一）將問(wèn)題的提出和解決融入實(shí)際教學(xué)過(guò)程

小學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中最大的問(wèn)題就是缺乏主動(dòng)性，需要教師在課前提出指導(dǎo)、課時(shí)拋出問(wèn)題、課后解決問(wèn)題，讓學(xué)生能夠跟著老師的思路開(kāi)展思考和歸納總結(jié)。雖然學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖的重點(diǎn)是要讓學(xué)生進(jìn)行自主探究，自己動(dòng)手實(shí)際操作，但教師仍然不能將課堂主導(dǎo)權(quán)完全交到學(xué)生手里，而是要在以學(xué)生為主體的基礎(chǔ)上調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生成為課堂主人的同時(shí)潛移默化地為學(xué)生指明探究方向。提出問(wèn)題和解決問(wèn)題向來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中主要的教學(xué)方式，無(wú)論是在培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力層面還是鍛煉學(xué)生邏輯思維能力層面，都離不開(kāi)這兩個(gè)過(guò)程。學(xué)生在通過(guò)尺規(guī)作圖解決問(wèn)題的過(guò)程中，可以獲得一定的成就感和滿足感這種獲得感能反向激起自身的學(xué)習(xí)熱情和思考動(dòng)力。

（二）注重推理和思考的過(guò)程

學(xué)習(xí)的過(guò)程、思路和方法不具備唯一性，受學(xué)生個(gè)人思維水平的影響較深。學(xué)生在使用尺規(guī)作圖的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，受個(gè)人綜合能力影響會(huì)呈現(xiàn)不同的作圖方法，這種“不唯一性”體現(xiàn)了學(xué)生之間在推理和思考過(guò)程中的差異。推理和思考不是學(xué)生腦海中與生俱來(lái)的能力，而是在后期的學(xué)習(xí)和生活中通過(guò)各項(xiàng)活動(dòng)鍛煉得來(lái)。

作為一名小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)時(shí)不應(yīng)僅關(guān)注最后的結(jié)果和答案是否正確，而是注重學(xué)習(xí)過(guò)程，分析學(xué)生的計(jì)算過(guò)程是否存在問(wèn)題和遺漏，用加強(qiáng)過(guò)程分析反作用于最后結(jié)果。在尺規(guī)作圖教學(xué)過(guò)程中，教師可以將多種作圖方式按照從隨意到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捻樞虺尸F(xiàn)，重點(diǎn)寫(xiě)出各種作圖方式的推理過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生思考這幾種作圖方式各自的優(yōu)勢(shì)和不足，進(jìn)一步理解為什么要按照已定的步驟進(jìn)行作圖、為什么不能省略推理過(guò)程，讓學(xué)生在思考的同時(shí)加深對(duì)知識(shí)的印象，進(jìn)而提升課堂教學(xué)效果。同時(shí)，教師對(duì)尺規(guī)作圖的認(rèn)識(shí)也不能只停留在一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的表象上，而是要把尺規(guī)作圖當(dāng)作一種探究數(shù)學(xué)魅力的方法，將具體過(guò)程“揉碎”后再教給學(xué)生，便于學(xué)生理解和消化。

（三）根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容

教師要以學(xué)生為本，在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)方面遵循整體性和循序漸進(jìn)性原則，讓學(xué)生在實(shí)踐操作中不斷夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。學(xué)生的認(rèn)知能力和思維水平隨著年級(jí)增長(zhǎng)逐步發(fā)展，不同年級(jí)對(duì)于相同或類似的知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和理解能力各有不同。

教師在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)方面根據(jù)學(xué)生認(rèn)知能力和思維能力發(fā)展的規(guī)律，大致可以分為三個(gè)階段：一是從經(jīng)驗(yàn)積累出發(fā)，先讓學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)和熟悉工具的基礎(chǔ)應(yīng)用；二是讓學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖產(chǎn)生初步的了解和探索，主動(dòng)嘗試思考；三是拓展和應(yīng)用。鼓勵(lì)學(xué)生在作圖時(shí)能夠發(fā)揮想象力，體會(huì)和理解不同圖形所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)有深入的認(rèn)識(shí)。死記硬背的知識(shí)容易在時(shí)間的流逝中逐漸被遺忘，但在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)會(huì)的方法和養(yǎng)成的習(xí)慣不容易被遺忘，這也是用尺規(guī)作圖培養(yǎng)學(xué)生綜合素養(yǎng)的一種印證。

（四）注重給予學(xué)生反饋和評(píng)價(jià)

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師的評(píng)價(jià)和反饋能夠?qū)W(xué)生最后的學(xué)習(xí)效果產(chǎn)生影響，尺規(guī)作圖這種需要學(xué)生積極參與實(shí)踐操作的教學(xué)方式更需要教師的不斷激勵(lì)和認(rèn)可。教師的評(píng)價(jià)和反饋能夠代表教師對(duì)學(xué)生的關(guān)注度，對(duì)于學(xué)習(xí)主動(dòng)性不強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種關(guān)注能夠誘導(dǎo)他們參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中，幫助他們養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。除此之外，同學(xué)之間的互相評(píng)價(jià)既能加強(qiáng)學(xué)生之間的互動(dòng)和交流，也能獲得同齡人的認(rèn)可，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種滿足感和獲得感是他人無(wú)法給予的，對(duì)小學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性能產(chǎn)生積極的影響。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，小學(xué)階段是夯實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)、培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力和個(gè)人邏輯思維能力的重要階段。尺規(guī)作圖于學(xué)生個(gè)人能力的培養(yǎng)、思維和認(rèn)知能力的發(fā)展而言有所裨益。在圖形與幾何教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)充分挖掘尺規(guī)作圖的教育價(jià)值，將其應(yīng)用于日常教學(xué)活動(dòng)中，時(shí)刻謹(jǐn)記自身作為引導(dǎo)者的身份，為學(xué)生提供一定的指導(dǎo)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)正確運(yùn)用尺規(guī)作圖法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和生活問(wèn)題，以達(dá)到提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)。