轉(zhuǎn)化思維在小學數(shù)學解題中的有效運用

☉善忠學

在解決數(shù)學問題時，對于一些復雜問題運用常規(guī)解法，學生往往會出現(xiàn)解題效率不高、解題過程繁瑣、解題結(jié)果準確性無法保證的問題，更有甚者會陷入思維困境，無法順利完成問題解答。針對這一客觀問題，數(shù)學教師應如何引導學生高效率、高質(zhì)量地解決問題呢？筆者認為，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化思維十分必要。在解題時應用轉(zhuǎn)化思維能將復雜問題簡單化，困難問題容易化，未知條件已知化，啟發(fā)學生轉(zhuǎn)化思路去解決問題，保證問題高效解決，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、在計算問題中運用轉(zhuǎn)化思維

計算是數(shù)學課程的主要構(gòu)成內(nèi)容，貫穿于數(shù)學學習的全過程。計算能力是學生必備的一項基本能力。有些學生雖然掌握了計算法則，但是缺乏良好的解題思維，在計算問題中仍然會陷入解題僵局。為了提高學生的計算能力，教師要加強培養(yǎng)其轉(zhuǎn)化思維，引導學生在解答復雜的計算題時靈活轉(zhuǎn)化，逐步形成運用轉(zhuǎn)化思維解決計算問題的習慣，做到化繁為簡，準確解答，增進對數(shù)學概念、運算定律、計算法則的掌握，提高思維活力［1］。在計算題目轉(zhuǎn)化時，應啟發(fā)學生仔細觀察，善于發(fā)現(xiàn)算式規(guī)律，基于其中規(guī)律切入轉(zhuǎn)化思維，合理轉(zhuǎn)化算式并組織高效解題。

以人教版五年級《小數(shù)除法》為例，前期數(shù)學課上已學習了小數(shù)加減法、小數(shù)乘法，學完小數(shù)除法便可進行小數(shù)四則混合運算。因此，在培養(yǎng)學生計算能力的目標下，教師需根據(jù)小數(shù)混合運算的算法組織學生進行計算練習，利用簡單的計算題積累經(jīng)驗，利用復雜的計算題培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思維。

【例題】計算：15.32×28+153.2×2.5+1.532×360 ＝

【解題思路】這個算式表面看起來十分復雜，但只要細心觀察就會發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間隱含的規(guī)律。倘若學生按照常規(guī)算法先乘除后加減，一一計算“15.32×28”“153.2×2.5”“1.532×360”的積，再把各項積相加，計算過程必然會耗費大量時間且容易出現(xiàn)錯誤。此時，教師需啟發(fā)學生探索簡便算法，先引導他們觀察算式，有些學生迅速發(fā)現(xiàn)了數(shù)字15.32、153.2、1.532 存在的規(guī)律，以此為切入點進行算式轉(zhuǎn)化，即：

15.32×28 + 153.2×2.5 +1.532×360

＝15.32×28+15.32×10×2.5+15.32×0.1×360

＝15.32×28 + 15.32×25+15.32×36

此算式將153.2 寫成15.32×10，將1.532 寫成15.32×0.1，再根據(jù)乘法結(jié)合律讓2.5×10 ＝25，讓360×0.1 ＝36，通過算式轉(zhuǎn)化，復雜的計算題變得有規(guī)律可循，根據(jù)乘法分配律便可快速計算，即：15.32×28 + 15.32×25+15.32×36 ＝15.32×（28+25+36）＝15.32×89 ＝1363.48。

顯然，轉(zhuǎn)化后的計算過程簡潔明了，學生無需再費勁進行先乘法后加法，打開了解決計算問題的新思路，培養(yǎng)了他們認真讀題、析題的習慣，且有助于提高其轉(zhuǎn)化意識，培養(yǎng)解題思維。

二、在幾何問題中運用轉(zhuǎn)化思維

《圖形與幾何》是小學數(shù)學課程又一項關(guān)鍵內(nèi)容，這部分內(nèi)容的抽象性更為顯著，解決此類問題極為考驗學生的數(shù)學思維。正因為如此，幾何知識也是眾多小學生的學習難點，或因為概念、公式理解不到位導致基礎不扎實，或因為缺乏空間觀念與邏輯思維導致解題過程頻頻出錯?？傊岣邘缀螁栴}解題質(zhì)量尤為重要。教師需在日常解題教學中融入培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化思維的目標，有目的地創(chuàng)新教學方式，積極滲透數(shù)學思想方法，合理運用教學工具，如多媒體、幾何模型等，將抽象的幾何問題具象化、動態(tài)化，讓學生直觀感受圖形變化的過程，進而將一些未知問題轉(zhuǎn)化為已知條件，確定突破口解決問題［2］。通過應用此方法，不但能鍛煉學生的空間觀念，使其學會轉(zhuǎn)化圖形，而且可以滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學生突破幾何問題解答障礙，提高解題效率。

以人教版五年級上冊《多邊形的面積》為例，常見題型為求陰影部分的面積，有些題目中陰影部分為不規(guī)則圖形，面對這類題型就需要應用轉(zhuǎn)化思維，將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，根據(jù)已知條件求解陰影部分的面積。

【例題】如圖1，大正方形的邊長是10cm，小正方形的邊長是6cm，求陰影部分的面積。

【解題思路】通過觀察組合圖形可以看出，陰影部分是個不規(guī)則圖形，有些學生面對不規(guī)則圖形直接犯了難，而有些學生則采取了如下方法：

第一步，計算大正方形面積與小正方形面積之和：10×10+6×6 ＝136（平方厘米）；

第二步：計算非陰影部分兩個三角形的面積之和：10×10÷2 ＝50（平方厘米），（10 + 6）×6÷2 ＝48（平方厘米），50+48 ＝98（平方厘米）；

第三步：用兩個正方形面積之和減去兩個三角形面積之和得出陰影部分面積：136-98 ＝38（平方厘米）。

這種解題思路十分正確，但解題過程相對復雜。教師先對學生的解題思路做出肯定，緊接著進行生成性引導：“同學們，你們有沒有發(fā)現(xiàn)，這種解題過程十分繁瑣，我們能不能直接求出陰影部分的面積？”利用此問題啟發(fā)學生的解題思維，引導他們展開新的探索，應用轉(zhuǎn)化思維將題目中的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，即添加一條輔助線，把陰影部分分成兩個三角形，如圖2所示：

針對以上轉(zhuǎn)化過程，教師可以利用多媒體進行動態(tài)分割演示，形成圖3 和圖4 兩個三角形，圖3 三角形的底為（10-6）cm，圖4 三角形的底和高都是6cm，分別求出兩個三角形的面積再相加便可直接得出陰影部分的面積，即：（10-6）×10÷2 ＝20（平方厘米），6×6÷2 ＝18（平方厘米），20+18 ＝38（平方厘米）。

此幾何問題解題過程應用了轉(zhuǎn)化思維，采用分割法進行不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化，將一個不規(guī)則圖形通過添加輔助線分割為兩個規(guī)則的三角形，按照三角形面積計算公式快速計算，簡化了計算過程，也規(guī)避了解題過程的失誤。

三、在植樹問題中運用轉(zhuǎn)化思維

植樹問題是小學數(shù)學的主要題型之一，與之相似的還有木頭問題、爬樓梯問題及敲鐘問題，這些題型的解題思路大致相同，學生學會解決植樹問題，便能很好地運用同一種解題思路去解答其他問題。在植樹問題解題教學中，教師往往會引導學生采取化歸方法解答此類問題，根據(jù)不同題型總結(jié)相對應的解題方法，學生在解題時套用公式即可。但是，根據(jù)學生解答此類問題的實際結(jié)果來看，各種各樣的問題層出不窮，有些學生無法準確判斷到底求的是樹的數(shù)量還是樹的間隔，導致公式套用受阻；有些學生缺乏變通思維，只會原原本本地套用公式，題目稍作變動便不能準確解題。面對此客觀現(xiàn)狀，促使學生應用轉(zhuǎn)化思維進行題目轉(zhuǎn)化十分必要。

在植樹問題教學時，教師先選擇不同類型的題目組織學生實踐練習，通過對比與解答樹與間隔二者之間的關(guān)系，分析不同題型之間的異同點，以此作為轉(zhuǎn)化思維的切入點。隨后組織探究學習，分析樹與間隔之間靈活轉(zhuǎn)化的條件，并利用例題反復演示，讓學生自主完成樹與間隔的合理轉(zhuǎn)化，梳理出“樹比間隔多1”的規(guī)律，進而明確題目到底是求樹的棵數(shù)還是求間隔數(shù)。通過思維轉(zhuǎn)化，逐步形成一個清晰的解題思路，即：求樹的數(shù)量在間隔數(shù)上加1，求間隔數(shù)則在樹的數(shù)量上減1。這個思路適用于各種植樹問題的題型，便于學生記憶和解題。教師還可舉一反三，讓學生合理轉(zhuǎn)化木頭問題、爬樓梯問題、敲鐘問題，形成解題思路，掌握解題方法。

【例題】（1）馬路一側(cè)有23根電線桿，每兩根電線桿中間有一棵樹。一共有多少棵樹？（2）假如每兩棵樹中間有一根電線桿，一共有多少棵樹？

【解題思路】此題目為常見的植樹題型，倘若采用常規(guī)方法，學生需判斷題目類型，確定題目求解的是什么，再選擇解題方法去解答問題。在解題過程中，有意識地啟發(fā)學生的轉(zhuǎn)化思維，使其知道第一個問題看似求樹的數(shù)量，其實是求電線桿間隔數(shù)；第二個問題中電線桿的數(shù)量＝間隔數(shù)，再根據(jù)間隔數(shù)求樹的數(shù)量。通過樹與間隔巧妙轉(zhuǎn)化，學生可以利用“樹比間隔多1”的思路依次解題，解題思路簡潔清晰，解題過程不再繞來繞去，不但能快速得出結(jié)果，而且可以強化學生解答植樹問題的能力。

四、在方程問題中運用轉(zhuǎn)化思維

小學高年級開始學習方程知識，即要求學生學會運用方程思維去解答應用題。解答方程問題一般需要從題目中確定等量關(guān)系與未知量，通過設未知量的方法構(gòu)建方程式，再進行解方程。對于數(shù)學經(jīng)驗薄弱的小學生而言，尋找等量關(guān)系存在一定難度，學生需要聯(lián)系所學概念、公式及題目已知條件確定等量關(guān)系，假設未知量，這個過程相對復雜［3］。那么，在方程問題教學時，必須注重轉(zhuǎn)化思維的滲透，引導學生學會從未知條件中探尋等量關(guān)系，準確假設未知量，進而構(gòu)建方程式并求解方程。

【例題】甲、乙兩車從相距272 千米的兩地同時相向而行，3小時后兩車還相隔17 千米。甲每小時行45 千米，乙每小時行多少千米？

【解題思路】此題型為簡單的行程問題，解答本題主要依據(jù)為“速度＝路程÷時間”等量關(guān)系式。部分學生采用常規(guī)計算方法進行解題。

【學生1】解題思路：根據(jù)行駛的路程＝總路程-17 千米，求出兩車行駛的路程，再計算甲車3 小時行駛的路程，用兩車行駛的路程減去甲車行駛的路程就是乙車行駛的路程，最后依據(jù)“速度＝路程÷時間”，用乙車行駛的路程除以3 就是乙車的時速。

列式：272-17 ＝255（千米）

甲行：45×3 ＝135（千米），乙行：255-135 ＝120（千米）

乙時速：120÷3 ＝40（千米）

答：乙車每小時行40 千米。

【學生2】解題思路：根據(jù)行駛的路程＝總路程-17 千米，求出兩車行駛的路程，再依據(jù)“速度＝路程÷時間”，求出兩車的速度和，最后減甲車的速度即可求出乙車的時速。

列式：（272-17）÷3-45

＝255÷3-45

＝85-45

＝40（千米）

答：乙車每小時行40 千米。

上述兩種方法均運用算術(shù)思維分析各數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，解題思路正確，但對于小學高年級學生而言，解答應用題理應從算術(shù)思維轉(zhuǎn)化到方程思維，根據(jù)找等量關(guān)系的思路列方程求解。因此，教師可引導學生找出題目中的等量關(guān)系，將“速度＝路程÷時間”的等量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為“時間×速度＝路程”，將乙車的時速設為未知量，則可把題目中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化。如此，根據(jù)題目確定等量關(guān)系，再把等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，解題過程簡單，根據(jù)方程按步驟求解，順利得出未知量，實現(xiàn)了解題目的。通過這種有意識的轉(zhuǎn)化引導，讓學生形成方程意識，在解題時學會列方程求解。

五、結(jié)束語

轉(zhuǎn)化思維是解決數(shù)學問題的必備思維，體現(xiàn)了學生的數(shù)學思維素質(zhì)，既能加深對數(shù)學知識的理解，又能促進數(shù)學知識與數(shù)學思想方法的合理運用。教師應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，并在解題中引導學生應用數(shù)學思維，通過轉(zhuǎn)化題目、轉(zhuǎn)化解題思路，確保解題的效率和正確性，真正做到高效準確解題。