高中數(shù)學(xué)解題中圓的性質(zhì)的應(yīng)用

李雪梅

(安徽省利辛縣第一中學(xué),安徽 亳州 236707)

圓是一個最完美、最簡潔的幾何曲線,屬于圓錐曲線的一種.圓具有旋轉(zhuǎn)不變性,擁有無數(shù)條對稱軸,且都經(jīng)過圓心,所有半徑的長度都一樣,弦、切線、圓心角等也各具特色,有著自身的特殊性質(zhì).在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,部分試題雖然看起來同圓的關(guān)系不大,但是通過對題目信息的認(rèn)真分析發(fā)現(xiàn)可以借助圓的豐富性質(zhì)來解題,教師應(yīng)指引學(xué)生根據(jù)具體題目準(zhǔn)確、靈活地應(yīng)用圓的性質(zhì),提高他們的解題能力.

1 應(yīng)用圓的性質(zhì)解決方程類問題

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,與方程有關(guān)的習(xí)題難度比較大,處理此類試題時要綜合用到多方面的知識,教師可引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用圓的相關(guān)性質(zhì),使其形成清晰、準(zhǔn)確的解題思路,幫助他們順利求出題目結(jié)果[1].

分析本題可以根據(jù)方程的特征構(gòu)造出熟悉且簡單的方程組,再逐層分解,轉(zhuǎn)變成兩個圖形的交點問題,涉及到圓的性質(zhì),即先由數(shù)到形,再由形到數(shù),將復(fù)雜問題變得簡單化.

圖1 例題1曲線圖

2 運用圓的性質(zhì)解決距離類問題

在處理高中數(shù)學(xué)求距離問題中,教師可以指導(dǎo)學(xué)生運用圓的性質(zhì)輔助解決,通過圓的圖象能清晰、直觀地看到空間內(nèi)兩個點之間的距離,以此降低題目的難度,把復(fù)雜問題簡單化,有效提高他們的解題速度[2].

例2 與點A(1,2)距離是1,與點B(3,1)距離是2的直線共有幾條?

分析本題雖然能夠使用代數(shù)法來解答,不過較為復(fù)雜,運用圓的性質(zhì)可以將原題轉(zhuǎn)變成確定兩個圓的公共切線數(shù)量問題.

圖2 例2解析圖

3 采用圓的性質(zhì)解決不等式問題

高中數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)學(xué)生解答不等式問題時,除把握好不等式的性質(zhì)以外,還要學(xué)會運用圓的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行分析,助推他們輕松突破障礙[3].

例3 已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x+6y+11=0,且不等式x-y+m<0,那么實數(shù)m的取值范圍是什么?

分析處理這一問題時可以從幾何視角展開分析,x2+y2+Dx+Ey+F=0所對應(yīng)的圖形就是圓,本題中的式子剛好符合這一特征,故能夠運用圓的性質(zhì)來解題.

圖3 例3解析圖

4 使用圓的性質(zhì)解決坐標(biāo)類問題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,通常會有一些求坐標(biāo)類的試題,這時教師可指引學(xué)生使用圓的性質(zhì)進(jìn)行解題,把圓的知識同坐標(biāo)系的特征聯(lián)系到一起,使其精準(zhǔn)找到解題的突破口,快速確定解題思路,增強解題自信[4].

例4如圖4所示,已知⊙O是以坐標(biāo)原點為圓心、半徑為1的圓,∠AOB=45°,點P(x,0)在x軸上運動,過點P且與OB平行的直線和⊙O有公共點,那么x的取值范圍是什么?

圖4 例4解析圖

分析雖然這是一道坐標(biāo)類試題,但是涉及到圓的相關(guān)知識,所以要使用圓的相關(guān)性質(zhì)來解題.

5 利用圓的性質(zhì)解決最值類問題

高中數(shù)學(xué)教師在最值類解題訓(xùn)練中,可以引導(dǎo)學(xué)生利用圓的性質(zhì)輔助求解,使其根據(jù)題目具體要求找到求最大值、最小值、最長或者最短的解決方法,幫助他們掌握高中數(shù)學(xué)中求最值問題的技巧[5].

分析學(xué)生通過讀題往往會感覺這一題目與圓沒有關(guān)系,其實遇到這類問題時教師需提醒他們樹立“見數(shù)思義”的思想意識,使其根據(jù)題干中的函數(shù)形式聯(lián)系到直線的斜率,再結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行解題.

圖5 例5解析圖

6 借助圓的性質(zhì)解決向量類問題

對于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的向量類試題而言,大部分學(xué)生都是初次接觸,教師可以引領(lǐng)他們借助圓的性質(zhì)進(jìn)行解題,當(dāng)然要以向量的計算法則為基礎(chǔ),使其能綜合運用這些知識準(zhǔn)確、輕松地求解[6].

圖6 例6解析圖

綜上所述,在高中數(shù)學(xué)解題活動中,圓的性質(zhì)可謂是有著相當(dāng)廣闊的應(yīng)用空間,不僅可以用來解決幾何類問題,還有助于處理代數(shù)問題.教師應(yīng)深刻意識到圓的性質(zhì)的作用和優(yōu)勢,且將這一思想觀念傳遞給學(xué)生,使其學(xué)會使用圓的性質(zhì)解答方程、距離、不等式、坐標(biāo)、最值與向量等問題,助推他們能夠創(chuàng)新與優(yōu)化解題思路,從而提高整體解題質(zhì)量.