“三讀”教材 助推數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)

【摘 要】數(shù)學(xué)閱讀一般步驟是先“粗讀”，知其然；再“細(xì)讀”，知其所以然；最后“精讀”，知何以知其所以然。數(shù)學(xué)閱讀需要問題來引領(lǐng)，讓學(xué)生帶著問題邊閱讀邊思考，在探究問題的過程中不斷思考、不斷理解、不斷深入。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)閱讀；三讀；平面

閱讀是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)基本技能，數(shù)學(xué)閱讀能力已經(jīng)成為高考評(píng)價(jià)的核心指標(biāo)，對(duì)學(xué)生未來的可持續(xù)發(fā)展具有重要的影響。那么如何開展數(shù)學(xué)閱讀，使數(shù)學(xué)閱讀成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種有效途徑，本文以此進(jìn)行探究，以期給大家一些啟發(fā)。

一、數(shù)學(xué)閱讀，從教材起步

教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要工具，是教與學(xué)的橋梁，是知識(shí)呈現(xiàn)的途徑與載體。經(jīng)過一輪又一輪的教材改革，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教材內(nèi)容日趨豐富，在體現(xiàn)思想性、科學(xué)性、時(shí)代性、系統(tǒng)性和引領(lǐng)性的同時(shí)，融入了大量與生產(chǎn)生活、社會(huì)發(fā)展、高新科技相關(guān)的知識(shí)，開辟了數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模等拓展欄目，因此，學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)要從閱讀教材開始。

（一）教材提供了豐富的閱讀素材

在數(shù)學(xué)教材中，閱讀材料無處不在。一方面，閱讀材料大量散布在概念、定理、公式的生成環(huán)節(jié)中，通常以“情境”的形式呈現(xiàn)；另一方面，閱讀材料集中在教材的拓展欄目中，以高中人教A版（2019年版）為例，“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術(shù)應(yīng)用”“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”等四個(gè)拓展欄目包含了大量的閱讀材料，其中“閱讀與思考”與“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”專門為數(shù)學(xué)閱讀量身打造。“閱讀與思考”中的內(nèi)容基本上是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展延伸，例如，“中外歷史上的方程求解”“中國古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和的方法”“歐幾里得《原本》與公理化方法”等，這些材料凝聚著豐富的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)拓寬學(xué)生的知識(shí)視野和豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)具有不可替代的作用?！拔墨I(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”在拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)文化視野的同時(shí)，其實(shí)也在發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力。這些閱讀材料不僅對(duì)教材內(nèi)容起到了很好的補(bǔ)充作用，使教材構(gòu)成了一個(gè)完整的知識(shí)體系，展示了數(shù)學(xué)的完整性，而且還為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力提供了豐富的素材。

（二）閱讀教材促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)語言的理解

數(shù)學(xué)閱讀材料通常是利用文字語言、圖形語言、符號(hào)語言這三種數(shù)學(xué)語言，以歸納或演繹的方式來呈現(xiàn)具體的內(nèi)容，學(xué)生能否讀懂的關(guān)鍵取決于能否熟練地對(duì)這三種語言進(jìn)行相互轉(zhuǎn)譯，從而把抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)轉(zhuǎn)化為易于自己理解的形式。數(shù)學(xué)教材通常是文字和符號(hào)的結(jié)合，語言精準(zhǔn)、嚴(yán)謹(jǐn)，有著較強(qiáng)的邏輯性。在閱讀教材中，學(xué)生不僅需要仔細(xì)研讀數(shù)學(xué)教材，查找相關(guān)概念、定理、公式等，而且還需要進(jìn)行大量的推理、分析和判斷，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)文字和符號(hào)的深入理解，達(dá)成有效的轉(zhuǎn)換，最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力和語言理解能力。不僅如此，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，教師還可以通過有針對(duì)性的閱讀教材來幫助學(xué)生提高對(duì)于數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化能力。例如，當(dāng)學(xué)生不理解向量方程[（c-a）][?]（c-b）=k（k[≠]0）的含義時(shí)，教師可以先組織學(xué)生閱讀教材中向量的數(shù)量積運(yùn)算內(nèi)容，然后借助數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)向量方程表示為[（c-a）][?]（c-b）=c2-[（a+b）][?]c+[a?b]=（[c-][a+b2]）2-（[a-b2]）2=k，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為[c-a+b2]=[k+（a-b2）2]；再引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系教材中“向量模的幾何意義”，畫出方程所表示的圖象，那么向量方程所表示的含義就一目了然了。

二、“三讀”法閱讀教材

蘇東坡在《又答王庠書》提出了“每一書皆作數(shù)過盡之”的閱讀觀點(diǎn)，認(rèn)為書要“三讀”，即“粗讀”“細(xì)讀”“精讀”［1］。把它引申到數(shù)學(xué)閱讀當(dāng)中，所謂“粗讀”，就是學(xué)生粗讀一遍教材內(nèi)容，了解教材內(nèi)容大意；“細(xì)讀”，就是要求逐段逐句逐字閱讀教材內(nèi)容，認(rèn)真鉆研教材，能理解并標(biāo)出教材中的重難點(diǎn)及關(guān)鍵內(nèi)容；“精讀”，就是要求學(xué)生在教師講完該課后進(jìn)行的再次閱讀，認(rèn)真反復(fù)揣摩，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，舉一反三，觸類旁通。下面筆者以“平面”一課為例談?wù)剬?duì)“三讀”法的看法。

（一）“粗讀”教材，知其然

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)有的教師不主張甚至反對(duì)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)教材，因?yàn)槿绻麑W(xué)生事先已經(jīng)知道了教材的內(nèi)容，就會(huì)過早地暴露教師的教學(xué)設(shè)計(jì)意圖，從而無形中削弱數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“神秘感”。實(shí)際上，這種擔(dān)心是多余的，課前閱讀教材不僅能夠讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)的目標(biāo)，初步感知學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而且能夠讓學(xué)生積累更多的先前經(jīng)驗(yàn)。奧蘇伯爾曾說過，如果要我將全部教育心理學(xué)歸納為一句話的話，那我將一言以蔽之，那就是弄清學(xué)生已經(jīng)知道了什么并據(jù)此進(jìn)行教學(xué)［2］。數(shù)學(xué)建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一個(gè)被動(dòng)的吸收過程，而是一個(gè)以已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過程。由此可見先前經(jīng)驗(yàn)就是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的起點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)思維的生長點(diǎn)，而閱讀恰恰是獲取先前經(jīng)驗(yàn)的重要手段。不僅如此，有些數(shù)學(xué)內(nèi)容恰恰需要以數(shù)學(xué)閱讀的方式展開教學(xué)。

例如，“平面”這節(jié)課是研究立體幾何的“空間位置關(guān)系”的起始課，其中的“三大基本事實(shí)”與“三大推論”是后續(xù)進(jìn)一步研究空間平行與垂直等位置關(guān)系，以及求空間角等問題的基礎(chǔ)。這節(jié)課一般的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：教師首先類比平面幾何中點(diǎn)、線的定義與性質(zhì)來引導(dǎo)學(xué)生獲得平面的定義和性質(zhì)；然后，介紹用圖形語言、符號(hào)語言來表示平面；最后，通過借助三角架的穩(wěn)定性、直尺與桌面的無縫接觸、三角尺與桌面相交等生活現(xiàn)象引出三大基本事實(shí)與推論。教學(xué)實(shí)踐表明，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)能夠達(dá)成讓學(xué)生記住并運(yùn)用這些基本事實(shí)與推論的教學(xué)目標(biāo)，但是無法揭示知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系與研究空間位置關(guān)系的一般路徑，無法幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系。

既然“教師教”無法達(dá)到預(yù)期效果，那么不妨讓學(xué)生“自己學(xué)”。當(dāng)然，數(shù)學(xué)閱讀并不是簡單的放手讓學(xué)生自己去閱讀，而是以問題為引領(lǐng)進(jìn)行閱讀。

問題1-1 平面有什么特征？

問題1-2 如何表示一個(gè)平面？

問題1-3 三大基本事實(shí)是什么？有什么用？

問題1-4 確定一個(gè)平面有哪些方法？

這些問題指向的都是陳述性知識(shí)，旨在引導(dǎo)學(xué)生初步感知教材，形成對(duì)數(shù)學(xué)概念、表示方法、定理性質(zhì)的初步認(rèn)識(shí)，學(xué)生只需要初步瀏覽教材，就能獲得現(xiàn)成的答案。

雖然在上述問題的引領(lǐng)下，學(xué)生經(jīng)歷了“粗讀”教材的過程，對(duì)教材內(nèi)容有了感性認(rèn)識(shí)，比如，知道了平面的“平”和“無限延展”的特性，知道可以用圖形語言與符號(hào)語言來表示平面，能夠復(fù)述三大基本事實(shí)與推論，但要把感性認(rèn)識(shí)上升為理性刻畫，還需要經(jīng)歷同化與順應(yīng)的過程，促使學(xué)生把這些知識(shí)納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，因此還需要再次“細(xì)讀”教材。

（二）“細(xì)讀”教材，知其所以然

“細(xì)讀”教材有三層含義：一是閱讀要聚焦于細(xì)微處，尤其是教材中的關(guān)鍵字詞，以及難以理解、容易混淆的地方；二是細(xì)心，慢慢讀，仔細(xì)體會(huì)其中的內(nèi)涵；三是思維要細(xì)密，數(shù)學(xué)閱讀不僅是從背景、數(shù)據(jù)等材料中獲取信息的心理過程，還是對(duì)材料的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析、綜合、歸納、推理、猜想等思維過程［3］。相對(duì)于“粗讀”，“細(xì)讀”更加關(guān)注材料的深入理解，能否用自己的語言對(duì)材料做出個(gè)性化的解讀是判斷“細(xì)讀”是否取得成效的標(biāo)志。當(dāng)然，“細(xì)讀”也需要通過問題來引領(lǐng)。

例如，揭示“三大基本事實(shí)”的內(nèi)在聯(lián)系，以及它們與平面基本特征的邏輯關(guān)系是“平面”這節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。實(shí)際上對(duì)于這個(gè)問題，教材已經(jīng)給出了明示，在教材中能夠找到下面這樣的描述：“基本事實(shí)2表明，可以用直線的‘直刻畫平面的‘平，用直線的‘無限延伸刻畫平面的‘無限延展”；“組成這個(gè)‘直線網(wǎng)的直線的‘直和向各個(gè)方向無限延伸，說明了平面的‘平和‘無限延展”；“兩個(gè)平面相交成一條直線的事實(shí)，使我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了平面的‘平和‘無限延展”。因此，可以得出這樣的結(jié)論：“三個(gè)基本事實(shí)”都是為了說明平面的“平”和“無限延展”這一本質(zhì)屬性，即分別用“點(diǎn)”“線”“面”三個(gè)幾何對(duì)象來刻畫平面的“平”和“無限延展”。遺憾的是，在平時(shí)教學(xué)中，這些提示并沒有引起廣大師生的足夠關(guān)注，因此，筆者建議教師應(yīng)讓學(xué)生通過“細(xì)讀”教材，從而讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、提煉和領(lǐng)悟。

仔細(xì)閱讀教材中“基本事實(shí)”這部分內(nèi)容，回答下面問題。

問題2-1 在基本事實(shí)2中，為什么說可以用直線的“直”刻畫平面的“平”，用直線的“無限延伸”刻畫平面的“無限延展”？

問題2-2 如果平面不“平”，無法“無限延展”，三大基本事實(shí)還成立嗎？

問題2-3 能否用自己的語言描述三大基本事實(shí)與平面基本特征之間的關(guān)系？

閱讀是極具個(gè)性化的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在上述問題的引領(lǐng)下，閱讀主體自己分析、篩選、吸收信息，通過類比與聯(lián)想的思維過程，主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)之間的聯(lián)系，能將較大范圍內(nèi)分散的知識(shí)和事實(shí)聯(lián)結(jié)為有結(jié)構(gòu)、有系統(tǒng)的整體。

（三）“精讀”教材，知何以知其所以然

“精讀”教材有兩層含義：一是指精思，南宋理學(xué)家朱熹曾說，大抵讀書，須先熟讀，使其言皆若出于吾之口；繼以精思，使其言皆若出于吾之心，然后可以省得爾。熟讀而精思，不僅要知曉材料字面意思及深刻含義，而且還要感受所蘊(yùn)含的思想方法，說出其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所發(fā)揮的作用。二是透過材料本身理解數(shù)學(xué)的精神，包括理性精神、創(chuàng)新精神、鍥而不舍的精神等?！熬x”是對(duì)“細(xì)讀”的補(bǔ)充與深化，是數(shù)學(xué)閱讀的最高形式，數(shù)學(xué)閱讀能力也是在精讀中得到升華的。

例如，通過“細(xì)讀”，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三個(gè)基本事實(shí)”分別是平面“平”與“無限延展”本質(zhì)屬性的表征，那么如何驗(yàn)證這一“發(fā)現(xiàn)”？筆者讓學(xué)生“精讀”教材中“三個(gè)基本事實(shí)的提出”內(nèi)容，并思考以下問題。

問題3-1 三個(gè)基本事實(shí)分別借助什么生活實(shí)例或者現(xiàn)象提出？

問題3-2 三個(gè)基本事實(shí)中所涉及的生活物品，分別表示哪些幾何對(duì)象？

問題3-3 能否設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證平面的“平”或“無限延展”？

問題3-1讓學(xué)生再次感受數(shù)學(xué)與生活中的聯(lián)系，初步體會(huì)立體幾何中的公理、定理、性質(zhì)源自生活，又高于生活；問題3-2讓學(xué)生知道如何把生活中的實(shí)物抽象為數(shù)學(xué)對(duì)象，比如，直尺表示直線、三角尺表示平面等；問題3-3具有一定的開放性與發(fā)散性，看似難度很高，但“精讀”基本事實(shí)3后，發(fā)現(xiàn)它是通過“三角尺的一個(gè)角立在課桌面上”這個(gè)現(xiàn)象來進(jìn)行驗(yàn)證的，稍作改進(jìn)就可以成為一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：把三角尺立起來，用其中一個(gè)尖角插入到地面（想象地面是軟的），如果插口呈現(xiàn)的都是直線的話，說明地面是平的，反之就不平。對(duì)于基本事實(shí)2，教材是借助“如果一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)在桌面上，那么直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上”這一生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行說明的，同樣也可以改造為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：在地面上任意位置放置直尺，如果地面不平、不能無限延展，那么直尺應(yīng)該與地面有縫隙，直尺不能完全落在地面上；反過來說，如果地面是平的且無限延展，只要保證直尺兩端緊貼地面，直尺就貼緊地面。

對(duì)于基本事實(shí)1，教材是直接觀察“三角架的穩(wěn)定性”來引出“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”，而物理的“穩(wěn)定性”與“平面的確定性”并不是兩個(gè)等價(jià)概念，要達(dá)到穩(wěn)定并非要形成確定的平面，而平面也并非意味著穩(wěn)定。因此，教師在教學(xué)中不能照搬教材設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，還需要學(xué)生能夠觸類旁通、舉一反三。在實(shí)際教學(xué)中，有的學(xué)生提出，可以借助“四條腿”的凳子來設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)：如果凳子會(huì)搖晃，說明凳子的四只腳不在同一平面內(nèi)，地面不平；反過來說，如果地面是平的，凳子的四只腳中有三只腳在地面上，那么另一只也一定在地面上。把凳腳抽象為點(diǎn)，由此就可以發(fā)現(xiàn)“基本事實(shí)1”。因此，“精讀”開拓了學(xué)生的思維，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造力。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)是一項(xiàng)長期的系統(tǒng)工程，學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)閱讀的技能就相當(dāng)于掌握了打開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大門的鑰匙。如今的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)已經(jīng)不再是單純的教授式的教學(xué)模式，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)更加重要，而數(shù)學(xué)閱讀無疑是培養(yǎng)學(xué)生自主探究等學(xué)習(xí)能力的重要支撐［4］。教師要自覺改進(jìn)教學(xué)方法，主動(dòng)將數(shù)學(xué)閱讀納入課堂的教學(xué)環(huán)節(jié)中去，與講授、練習(xí)等有機(jī)地結(jié)合在一起，讓數(shù)學(xué)閱讀成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，成為知識(shí)建構(gòu)的必要手段，共同構(gòu)筑課堂教學(xué)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)。

參考文獻(xiàn)：

［1］郎杰斌，阮海紅，吳蜀紅，等. 生活化：蘇軾閱讀觀的特質(zhì)［J］. 圖書館，2022（6）：79-85.

［2］奧蘇伯爾. 教育心理學(xué)：認(rèn)知觀點(diǎn)［M］. 佘星南，宋鈞，譯. 北京：人民教育出版社，1994.

［3］任子朝，陳昂，趙軒. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀能力考查展現(xiàn)邏輯思維功底［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（7）：8-13.

［4］顧衛(wèi)峰，汪曉勤. 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)閱讀［J］.基礎(chǔ)教育課程，2022（3/4）：95-100.

（責(zé)任編輯：陸順演）

【作者簡介】呂增鋒，正高級(jí)教師，主要研究方向是大概念教學(xué)、數(shù)學(xué)閱讀與寫作教學(xué)。

【立項(xiàng)課題】2023年度寧波市教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題“‘讀寫共生理念下高中數(shù)學(xué)閱讀課探索”（2023YZD088）