一類時(shí)滯造血模型周期解的指數(shù)穩(wěn)定性

李 華,龍志文

(1.安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 安徽 淮南 232001; 2.湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院, 湖南 婁底 417000 )

Mackey和Glass在文獻(xiàn)[1]中提出了如下非線性時(shí)滯微分方程

(1)

眾所周知,現(xiàn)實(shí)世界中,環(huán)境的變化如:天氣、繁殖、食物供應(yīng)、資源可用性等季節(jié)性因素對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)起著重要作用[7-14].又由于生態(tài)系統(tǒng)在波動(dòng)環(huán)境中的選擇性與在穩(wěn)定環(huán)境中的選擇性不同,特別地,周期性變化的環(huán)境對(duì)模型的動(dòng)力學(xué)影響十分重要[15-16].因此,在生物種群模型中,考慮生物參數(shù)的周期性是合理且有意義的.

基于上述討論,我們進(jìn)一步考慮如下非自治造血模型

(2)

其中:n是一個(gè)正常數(shù).我們綜合運(yùn)用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理,研究模型(2)正周期解的存在性,然后通過運(yùn)用一些新穎的數(shù)學(xué)分析技巧和方法進(jìn)一步研究該周期解的指數(shù)穩(wěn)定性.

為建立本文的主要結(jié)果,對(duì)模型(2)的生物參數(shù)做如下假設(shè):(H1)c(t),d(t),τ(t)是正的連續(xù)ω-周期函數(shù).

本文中給出一些記號(hào),對(duì)于有界函數(shù)f∈C(R,R+),記f+和f-為

其中:R+=[0,+∞),C=C([-τ+,0],R)是連續(xù)函數(shù)空間,定義C+=C([-τ+,0],R+).

根據(jù)模型(2)的生物學(xué)解釋,實(shí)際應(yīng)用只有正解才有意義,因此,當(dāng)-τ+≤s≤0時(shí),我們賦予模型(2)如下的初始條件:

x(s)=ψ(s),ψ∈C+,ψ(0)>0

1 預(yù)備知識(shí)

本小節(jié)將給出如下一些基本定義和引理.首先,類似于文獻(xiàn)[2]中的引理3.1,我們可以得到如下結(jié)果:

引理1[2]假設(shè)(H1)成立,存在兩個(gè)正常數(shù)Q2

那么,對(duì)于ψ∈C0={ψ|ψ∈C+,Q2<ψ(s)

Q2

進(jìn)一步,模型(2)每一個(gè)解的存在區(qū)間為[t0,+∞).

定義1 設(shè)x*(t)是模型(2)的周期解.對(duì)于模型(2)的任意解x(t),如果存在正數(shù)ε,使得

|x(t)-x*(t)|=O(e-εt),t≥0

則稱x*(t)是指數(shù)穩(wěn)定的.

h(n)|x-y|,

其中:α是位于x和y之間的數(shù),且

(3)

2 主要結(jié)果

本小節(jié)將建立模型(2)ω-周期解的存在性及指數(shù)穩(wěn)定性.

定理1 在引理1的條件下,進(jìn)一步假設(shè)如下條件成立:

-c-+d+h(n)<0

(4)

其中:h(n)的定義如式(3),則模型(2)存在一個(gè)唯一的ω-周期解x*(t)且是指數(shù)穩(wěn)定的.

證明首先,根據(jù)式(4)可知,存在一個(gè)正常數(shù)μ滿足

-c-+d+h(n)≤-μ<0

(5)

Ω={ψ(s)∈C+:|ψ(s)|≤M1,|ψ′(s)|≤M2,-τ+≤s≤0}

易見,Ω是一個(gè)緊凸集.

定義一個(gè)從Ω到C的映射Γ:

Γ:ψ(s)→x(s+ω,ψ)

其中:x(t)=x(t,ψ)為模型(2)的解,其初始條件為

x(s)=ψ(s), -τ+≤s≤0

下面將證明ΓΩ?Ω,即證,如果ψ∈Ω,那么x∈Ω.定義如下輔助函數(shù)

容易看出|x(t)|≤K1(t).

下證對(duì)所有的t>0,都有K1(t)≤M1.假設(shè)存在時(shí)刻t1使得

|x(t1)|=K1(t1)=M1,且|x(t)|≤M1,t

(6)

根據(jù)式(3)、(5)和式(6)可得

D+|x(t)||t=t1≤-c-|x(t1)|+

-c-|x(t1)|+d+h(n)|x(t1-τ(t1))|+d+≤

[-c-+d+h(n)]K1(t1)+d+≤

-μK1(t1)+d+=-μM1+d+<0

因此,對(duì)于所有的t>t1,有|x(t)|≤K1(t)≤M1.

另一方面,通過直接計(jì)算可知|x′(s+ω)|≤M2,因而有ΓΩ?Ω.根據(jù)Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理,可知存在ψ*∈Ω,使得Γψ*=ψ*,因此

x(t,ψ*)=x(t,Γψ*)

即

x(t,ψ*)=x(t+ω,ψ*)

綜上所述,模型(2)存在一個(gè)ω-周期解.

下面證明該周期解的指數(shù)穩(wěn)定性.

假設(shè)x*(t)為模型(2)的ω-周期解,x(t)為模型(2)的任一解,設(shè)

z(t)=x(t)-x*(t)

(7)

則有

(8)

根據(jù)式(4)以及連續(xù)性理論可知,存在一個(gè)足夠小的數(shù)ε>0,使得

-c-+ε+eετ+d+h(n)<0

(9)

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

我們斷言K2(t)是有界的,進(jìn)而V(t)也是有界的.實(shí)際上,對(duì)于任意t2>0,有如下兩種情況成立:

情形Ⅰ:|V(t2)|0,對(duì)于任意的t∈(t2,t2+σ),有|V(t)|

情形Ⅱ:|V(t2)|=K2(t2),由式(3)、式(8)和式(9),我們有

D+|V(t)||t=t2=sign{V(t2)}εeεt2z(t2)+

[-c-+ε]|V(t2)|+eεt2d+h(n)|x(t2-τ(t2))-

x*(t2-τ(t2))|≤[-c-+ε]|V(t2)|+

{[-c-+ε]+eετ+d+h(n)}K2(t2)<0

這說明存在一個(gè)σ1>0,當(dāng)t∈(t2,t2+σ1)時(shí),有V(t)≤V(t2).因此,當(dāng)t∈(t2,t2+σ1)時(shí),K2(t)=K2(t2).

總之,對(duì)于任意的t>0,我們有K2(t)=K2(0),這意味著|V(t)|≤K2(0),因此

|x(t)-x*(t)|=O(e-εt),t>0

(10)

所以模型(2)的ω-周期解x*(t)是指數(shù)穩(wěn)定的.證畢.

注記2 在文獻(xiàn)[2]中,作者借助于對(duì)角線法則研究了一類具有非光滑造血模型概周期解的存在性和指數(shù)穩(wěn)定性問題,由于周期解是概周期解的特殊情形,其同樣蘊(yùn)含了周期動(dòng)力學(xué)的相關(guān)判據(jù).通過比較發(fā)現(xiàn),本文方法與文獻(xiàn)[2]中的方法是完全不同的.因此,本文所建立的結(jié)果是新穎的.

3 數(shù)值仿真

本小節(jié)將用一個(gè)例子來說明所得結(jié)果的有效性.

例1 考慮如下時(shí)滯造血模型:

(11)

當(dāng)n=2時(shí),有

-c-+ε+2eετ+d+≈-7+0.01+2×1.023 6×2.5=-1.872<0

圖時(shí),模型(11)具有指數(shù)穩(wěn)定的周期解Figure 1 When model(11)has a exponential stability periodic solution

圖2 n=2時(shí),模型(11)具有指數(shù)穩(wěn)定的周期解Figure 2 When n=2, model(11)has a exponential stability periodic solution

4 結(jié) 語(yǔ)

本文利用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理證明了一類非自治時(shí)滯造血模型周期解的存在性,并運(yùn)用一種新的分析方法,得到了所研究模型正周期解指數(shù)穩(wěn)定性的充分判據(jù).推廣了文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)果.