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    1-奇異變換半群Tn(1)的格林關(guān)系

    2023-08-19 07:51:37盧琳璋游泰杰
    關(guān)鍵詞:子結(jié)構(gòu)等價格林

    徐 波,盧琳璋,游泰杰

    (1.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴安新區(qū) 550025;2.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 廈門 361005)

    1 預(yù)備知識

    設(shè)自然數(shù)n≥4,Xn={1,2,…,n},Tn是Xn上全變換之集,在變換的復(fù)合下作成一個半群.自20世紀(jì)60年代以來,對Tn及其子結(jié)構(gòu)的研究一直是變換半群理論中較為活躍的課題[1 -17].而要有效地對Tn及其子結(jié)構(gòu)展開研究,離不開一類重要的等價關(guān)系——格林關(guān)系.

    設(shè)S是半群,則下列5個關(guān)系

    L={(a,b):a,b∈S,S1a=S1b},

    R={(a,b):a,b∈S,aS1=bS1},

    J={(a,b):a,b∈S,S1aS1=S1bS1},

    D=L○R=R○L,

    H=L∩R,

    統(tǒng)稱為半群S上的格林關(guān)系,這里○表示S上的二元關(guān)系的復(fù)合運算.

    設(shè)α∈Tn,若?x∈Xn1},使得xα=1α,則稱α為1-奇異變換.Xn上所有1-奇異變換構(gòu)成的集合,關(guān)于變換的復(fù)合運算構(gòu)成Tn的子半群,記作Tn(1).它是Tn的一類新的正則右理想.本文給出了Tn(1)上的格林關(guān)系的等價描述,為Tn(1)的后續(xù)研究奠定了重要的基石.

    文中未定義的術(shù)語參見文獻(xiàn)[18].

    2 R與L

    這一部分給出Tn(1)上的格林關(guān)系R與L的等價刻畫.為方便敘述,設(shè)α∈Tn(1),通常用im(α),|im(α)|以及ker(α)分別表示α的象集,α的象集中元素的個數(shù)以及等價關(guān)系α-1○α={(x,y)∈Xn×Xn:xα=yα}.又若|im(α)|=r,1≤r≤n-1,則α可以表示為

    這里,Xn關(guān)于等價關(guān)系ker(α)的商集Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},而Ai在α之下的象為ai,i=1,2,…,r.

    關(guān)于Tn(1)上的格林關(guān)系R有

    定理1設(shè)α,β∈Tn(1),則αRβ?ker(α)=ker(β).

    證明(?)設(shè)α,β∈Tn(1),若αRβ,則存在γ,δ∈(Tn(1))1使得α=βγ,β=αδ.于是對任意(x,y)∈ker(α),由xβ=x(αδ)=(xα)δ=(yα)δ=y(αδ)=yβ,知ker(α)?ker(β).同理可證ker(β)?ker(α),故ker(α)=ker(β)成立.

    (?)若ker(α)=ker(β),則α,β可分別表示為

    其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn關(guān)于等價關(guān)系ker(α)=ker(β)的商集Xn/ker(α)=Xn/ker(β)={A1,A2,…,Ar},而Ai在α,β之下的象分別為ai,bi(i=1,2,…,r).以下分4種情況討論

    情形1 1∈Xn(im(α)∪im(β)).

    此時,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定義γ,δ如下:

    則γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

    情形2 1∈im(β)im(α).

    不失一般性設(shè)1=br,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定義γ,δ如下:

    則γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

    情形3 1∈im(α)im(β).

    不失一般性設(shè)1=ar,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定義γ,δ如下:

    則γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

    情形4 1∈im(β)∩im(α).

    不失一般性設(shè)1=ar,1=br,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定義γ,δ如下:

    則γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

    關(guān)于Tn(1)上的格林關(guān)系L有

    定理2設(shè)α,β∈Tn(1),則αLβ?im(α)=im(β).

    證明(?) 設(shè)α,β∈Tn(1),若αLβ,則存在μ,υ∈(Tn(1))1使得α=μβ,β=υα.一方面im(α)=im(μβ)?im(β),另一方面im(β)=im(υα)?im(α),所以im(α)=im(β);

    (?) 若im(α)=im(β),則α,β可分別表示為

    其中,|im(α) |=|im(β)|=r,且Xn關(guān)于等價關(guān)系ker(α),ker(β)的商集分別為Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象為ai,Bi在β之下的象為bi(i=1,2,…,r).

    接下去,分別取定pi∈Bi,qi∈Ai(i=1,2,…,r),并定義μ,δ如下:

    則μ,υ∈(Tn(1))1且α=μβ,β=υα,得αLβ.

    3 D,H與J

    關(guān)于Tn(1)上的格林關(guān)系D有

    定理3設(shè)α,β∈Tn(1),則αDβ?|im(α)|=|im(β)|.

    證明(?) 設(shè)α,β∈Tn(1),若αDβ,則存在γ∈(Tn(1))1,使得αLγRβ.由定理1,得ker(β)=ker(γ);由定理2,得im(α)=im(γ).于是|im(α)|=|im(γ)|=|Xn/ker(γ)|=|Xn/ker(β)|=|im(β)|.

    (?) 若|im(α)|=|im(β)|,則α,β可分別表示為

    其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn關(guān)于等價關(guān)系ker(α),ker(β)的商集分別為Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象為ai,Bi在β之下的象為bi(i=1,2,…,r).

    則γ∈(Tn(1))1,由定理1與定理2,得αLγRβ,即αDβ.

    關(guān)于Tn(1)上的格林關(guān)系J有

    定理4設(shè)α,β∈Tn(1),則αJβ?|im(α)|=|im(β)|.

    證明(?) 設(shè)α,β∈Tn(1),若αJβ,則存在γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1,使得γαρ=β,δβθ=α.于是,由|im(α)|=|im(δβθ)|≤|im(β)|=|im(γαρ)|≤|im(α)|,得|im(α)|=|im(β)|.

    (?) 若|im(α)|=|im(β)|,設(shè)α,β可分別表示為

    其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn關(guān)于等價關(guān)系ker(α),ker(β)的商集分別為Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象為ai,Bi在β之下的象為bi(i=1,2,…,r).

    以下分4種情況討論

    情形1 1∈Xn(im(α)∪im(β)).

    此時,記Y1=Xna1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令

    則γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

    情形2 1∈im(β)im(α).

    不失一般性設(shè)1=br,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r,令

    則γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

    情形3 1∈im(α)im(β).

    不失一般性設(shè)1=αr,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令

    則γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

    情形4 1∈im(β)∩im(α).

    不失一般性設(shè)1=ar,1=br,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令

    則γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

    最后,結(jié)合定理1、定理2、定理3與定理4,立即有如下的推論.

    推論設(shè)α,β∈Tn(1),則

    (1)αHβ?ker(α)=ker(β),im(α)=im(β).

    (2)D=J.

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