對一道幾何最值問題的探究

涂成浪　谷留明

一、初識題目

題目 在矩形ABCD中，AD長為3，AB長為4，動點E在矩形ABCD的四邊上運動，如圖1，求點E到點A和點B的距離之和的最大值？

初看這道題時，以為只需簡單地作一個對稱，再利用三邊關系求解，但發(fā)現(xiàn)此題求的是最大值，并非常見求最小值問題.經(jīng)過簡單的分析，容易確定所求線段和最大時，點E應在線段CD上，下文中只分析這種情況，且點E不在線段CD兩端.根據(jù)直覺，覺得當點E應該在與點D或點C重合時，所求線段和取得最大值.

為了嚴謹?shù)厍蟪鲎钪担壤煤瘮?shù)來對線段和進行表達，然后求出它的最大值.

設點Ea，3，其中0

二、討論交流

經(jīng)討論之后便出現(xiàn)了兩種簡單且巧妙的方法.我們從幾何角度來考慮這個問題的.下面只分析點E在線段AB上（不含兩端）時的情況，證DA+DB>EA+EB.

方法一：如圖2：作點A關于點D的對稱點F，連接BD，F(xiàn)E.延長BE交DF于點G.此時，DA+DB=FD+DB=FG+GD+DB>FG+GB=FG+GE+BE>FE+BE=EA+EB.

運用此法，可以證明隨著點E從線段AB中點向點D靠近時，EA+EB逐漸變大.當點E與點D或點C重合時，EA+EB取到最大值8.

方法二：如圖3，構造一個以點A，B為焦點，長軸長為DA+DB=8的橢圓，在上半橢圓上取點D，C，使四邊形ABCD為矩形.結合圖形得線段CD上兩點之間的點都在橢圓內(nèi)，所以EA+EB<8=DA+DB.故當點E與點D或點C重合時，EA+EB取到最大值8.

以上兩種方法都是從幾何角度來思考這個問題的.方法一從三邊關系來證明不等式，方法二構造橢圓，利用橢圓的第一定義來轉化邊，類似于根據(jù)點在園內(nèi)，得到該點到圓心的距離大于半徑.

三、“自我斗爭”

雖然以上兩種幾何方法已得出結果，是否可將代數(shù)與幾何相結合來解決這個問題？于是經(jīng)過一番思索，我得到了以下數(shù)形結合的方法.

目標是證明DA+DB>EA+EB，即證FD+DB>FE+EB，即證FG>FE+EB.如圖4建系，設Ea，30

接下來，以點F為圓心，以FG長為半徑作圓F；以點E為圓心，以BE為半徑作圓E；延長FE交圓E于點H.則FE+EB=FE+EH=FH，所以即證FG>FH，只需證點H恒在圓F內(nèi)部，從而只需證圓E內(nèi)含于圓F.證明如下：

圓F：x2+y－6=64，圓E：x－a2+y－32=a2+8a+25.兩式相減得直線l：ax－3y－4a－6=0.因為圓心E在圓F內(nèi)部，只需證圓E和圓F均與l相離.利用點到直線的距離公式，得點F到直線l距離為d1=4a+24a2+9.要證d1>8，即證a+62－4a2+9=3a（4－a）>0，因為08成立.同理點E到直線l距離為d2=a2－4a－15a2+9，圓E半徑EB=a2－8a+25.d2>EBa2－4a－152>a2+9a2－8a+254a>a2，因為0EB成立.從而DA+DB>EA+EB，最終EA+EB的最大值為DA+DB=8.

相比于一般求最值的題目，本題難點在于求兩條線段的和，這個方法的基本思路在于用圓的半徑等長，將折線段轉化為一條直線段，然后將要證的大小關系，轉化為兩圓的位置關系.

參考文獻

［1］邱均儒，谷留明.一道不等式題的多種巧證和結論推廣［J］.中學數(shù)學研究（江西師大），2021（09）：31-32.

本文系2020年合肥市教育科學科學規(guī)劃課題《“數(shù)學寫作”促進高中數(shù)學學習的實踐研究》（項目編號：HJG20100）的階段性研究成果.