機(jī)床主軸精度特性的彈性冗余空間機(jī)構(gòu)參數(shù)研究

摘要：闡述零件表面幾何特征隨靜、動(dòng)聯(lián)接面的彈性映射與運(yùn)動(dòng)映射規(guī)律，將多零件幾何誤差轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)軸芯的誤差運(yùn)動(dòng)，并以懸浮凸輪復(fù)演軸芯誤差運(yùn)動(dòng)為準(zhǔn)則構(gòu)造等效凸輪輪廓；建立機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)、凸輪輪廓、構(gòu)件彈性等與機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)、零件表面幾何特征以及零件彈性之間的等效關(guān)系，將機(jī)床主軸精度隨各影響因素的變化關(guān)系分析問(wèn)題轉(zhuǎn)換為機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動(dòng)隨機(jī)構(gòu)幾何與彈性參數(shù)的變化關(guān)系分析問(wèn)題，并以典型機(jī)床主軸為例進(jìn)行計(jì)算等效和試驗(yàn)驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：機(jī)構(gòu)；精度特性；機(jī)床主軸；誤差傳遞

車床主軸精度是衡量主軸性能的重要指標(biāo)，通常以主軸的位置誤差和軸芯運(yùn)動(dòng)軌跡誤差描述，即實(shí)際旋轉(zhuǎn)軸與理想旋轉(zhuǎn)軸之間的位置、形狀與運(yùn)動(dòng)的差異，這種差異隨零件幾何特征與物理性能、載荷、運(yùn)動(dòng)等因素的變化規(guī)律形成了車床主軸的精度特性。目前關(guān)于車床主軸精度及其關(guān)鍵部件精度（軸承）的研究較多，包含了零件幾何誤差、裝配誤差、靜態(tài)特性、動(dòng)態(tài)特性、熱特性等方面[1-6]。為此，在文獻(xiàn)[7]中提出回轉(zhuǎn)副精度特性的彈性冗余空間機(jī)構(gòu)模型與分析方法，將機(jī)床主軸精度特性分析轉(zhuǎn)化為等效機(jī)構(gòu)的位移、運(yùn)動(dòng)與力分析，為實(shí)際工況下的機(jī)床主軸精度特性分析提供模型與方法。

本文以簡(jiǎn)化的典型機(jī)床主軸為例，闡述彈性冗余空間機(jī)構(gòu)模型中幾何與物理參數(shù)的意義、等效過(guò)程以及計(jì)算方法，為各種車床主軸結(jié)構(gòu)提供參考。

一、彈性冗余空間機(jī)構(gòu)基本方程與參數(shù)

以圖1所示的簡(jiǎn)化典型機(jī)床主軸為對(duì)象，其旋轉(zhuǎn)軸兩端各由一個(gè)深溝球軸承（型號(hào)6312）支承，右端端蓋與力傳感器相連，以便在試驗(yàn)中調(diào)節(jié)并測(cè)試軸承預(yù)緊力。以O(shè)P1截面作為機(jī)床主軸旋轉(zhuǎn)精度的測(cè)量面（輸出截面），OP2截面作為加載截面（輸入截面），與機(jī)構(gòu)等效相關(guān)的機(jī)床主軸及軸承基本結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

圖1中機(jī)床主軸屬于對(duì)稱雙支點(diǎn)單向固定滾動(dòng)軸承結(jié)構(gòu)，其等效彈性冗余空間機(jī)構(gòu)模型為兩端共10個(gè)凸輪從動(dòng)件對(duì)應(yīng)10個(gè)凸輪輪廓。

（一）凸輪輪廓方程

（1）

當(dāng)V=Z時(shí)，i=1、j=2或i=2、j=1。上式展開共10個(gè)方程，包含如下2組參數(shù)：①表示凸輪i在坐標(biāo)系（OXYZ）f中的位置和姿態(tài)參數(shù)，是機(jī)構(gòu)基本方程的待求變量。②為凸輪坐標(biāo)系（OXYZ）i下的凸輪輪廓方程，是機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)，由機(jī)床主軸零件的表面幾何特征等效計(jì)算。

（二）機(jī)構(gòu)位移方程

（2）

（3）

（4）

上述展開共10個(gè)位移方程，包含如下5組參數(shù)：①ri（V=X，Y，Z）為凸輪i在坐標(biāo)系（OXYZ）f中的位置矢量，是機(jī)構(gòu)基本方程的待求變量。②riVj （V=X，Y，Z）為凸輪矢徑，即凸輪中心到凸輪從動(dòng)件接觸點(diǎn)的矢量，是計(jì)算中間變量，由凸輪輪廓方程與從動(dòng)件軸線方程聯(lián)立求解。③ LiVj （V=X，Y，Z）為凸輪從動(dòng)件長(zhǎng)度矢量，是機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)，由機(jī)床主軸零件的結(jié)構(gòu)參數(shù)等效得到。④ δiVj? ?（V=X，Y，Z）為從動(dòng)件位移矢量，是機(jī)構(gòu)基本方程的待求變量。⑤LDi、LBi、LS為等效機(jī)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)，由機(jī)床主軸的結(jié)構(gòu)參數(shù)等效確定。

（三）靜力平衡方程

（5）

（6）

上述展開共10個(gè)靜力平衡方程，包含如下3類參數(shù)：①FPk、MPk、rPk分別為旋轉(zhuǎn)軸的外載荷、外力矩及其位置，是機(jī)構(gòu)的已知輸入?yún)?shù)。②FiVj （V=X，Y，Z）中為凸輪從動(dòng)件對(duì)凸輪的作用力，是機(jī)構(gòu)基本方程的待求變量。③riVj f? （V=X，Y，Z）為凸輪上載荷作用點(diǎn)的位置矢量，即機(jī)架坐標(biāo)原點(diǎn)到凸輪從動(dòng)件接觸點(diǎn)的矢量，是計(jì)算中間變量，由凸輪輪廓方程與從動(dòng)件軸線方程聯(lián)立求解。

（四）機(jī)構(gòu)物性方程

（7）

（8）

上述展開共16個(gè)位移方程，含如下5組參數(shù)：

①FiVj K為從動(dòng)件支承彈簧的載荷，為計(jì)算中間變量，與公式（5）、（6）中的載荷FiVj 存在如下關(guān)系：

（9）

②kiVj 為從動(dòng)件支承彈簧剛度，是機(jī)構(gòu)的彈性參數(shù)。

③ε12為兩端凸輪之間的相對(duì)位移與轉(zhuǎn)角，是機(jī)構(gòu)基本方程的待求變量。

④CSn為凸輪連接軸柔度，是機(jī)構(gòu)的彈性參數(shù)。

⑤Pn=[FPn，MPn]T為凸輪軸上的等效載荷，是機(jī)構(gòu)的已知輸入?yún)?shù)。

綜上所述，機(jī)構(gòu)基本方程中的參數(shù)分類見表2。

二、彈性冗余空間機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)等效

（一）機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)等效

機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)（LiVj 、LDi、LBi、LS）取決于機(jī)床主軸的結(jié)構(gòu)與尺度。機(jī)構(gòu)兩端凸輪截面間距LS =395mm對(duì)應(yīng)軸承兩端軸承跨距，機(jī)構(gòu)徑向從動(dòng)件機(jī)架所在圓的直徑LDi= 117.233mm（i=1，2）對(duì)應(yīng)軸承外圈滾道底徑，機(jī)構(gòu)軸向從動(dòng)件機(jī)架到端面凸輪距離LBi=15.5mm（i=1，2）及軸向從動(dòng)件的初始長(zhǎng)度= 15.5mm（i=1， j=2或i=2， j=1）對(duì)應(yīng)軸承中間截面到軸向定位面的距離，機(jī)構(gòu)徑向從動(dòng)件初始長(zhǎng)度=22.225mm、=22.225mm（i， j=1，2）對(duì)應(yīng)軸承內(nèi)圈溝道底徑到外圈溝道底徑的距離。

建立基準(zhǔn)坐標(biāo)系（OXYZ）f取左端軸承座與基座的配合面，按機(jī)床主軸裝配關(guān)系建立誤差鏈，可得坐標(biāo)系（OXYZ）fi的位姿參數(shù)εfi。

（二）凸輪輪廓等效

凸輪輪廓方程取決于機(jī)床主軸各零件表面幾何特征及其隨靜態(tài)與動(dòng)態(tài)連接面的映射。

1.零件幾何特征簡(jiǎn)化與表述

零件回轉(zhuǎn)表面的幾何特征可簡(jiǎn)化為若干截面測(cè)量，對(duì)軸承外圈外圓面與內(nèi)圈內(nèi)孔面與的測(cè)試輪廓分別進(jìn)行測(cè)試，采用測(cè)試截面間隔1mm，每個(gè)截面測(cè)量3600個(gè)等分點(diǎn)的輪廓數(shù)據(jù)。

采用傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)各截面的實(shí)測(cè)輪廓進(jìn)行擬合并簡(jiǎn)化，以各截面的擬合輪廓數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，為將表達(dá)式簡(jiǎn)化，在此以柱坐標(biāo)系下曲面的一般方程表示：

S：r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

式中表示零件理想表面，表示零件表面幾何誤差。

2.零件幾何特征的彈性映射

圖1中軸承座-基座配合面距軸承座內(nèi)孔面較遠(yuǎn)且軸承座剛度大，軸承座內(nèi)孔面上幾何誤差的彈性映射量小，而軸承座-軸承外圈配合面為過(guò)渡配合，零件彈性變形小，故此處僅計(jì)算軸-內(nèi)圈配合面的彈性映射。

根據(jù)軸承內(nèi)圈與軸之間靜聯(lián)接的彈性映射關(guān)系，以偏移節(jié)點(diǎn)法[8]使各零件表面形狀按擬合的幾何誤差分布。根據(jù)左右兩端軸承內(nèi)圈與軸聯(lián)接的計(jì)算位移云圖，如圖2所示，a1為內(nèi)圈內(nèi)孔面形狀誤差、a2為軸表面形狀誤差（含過(guò)盈）、a3為內(nèi)圈內(nèi)孔面與軸表面形狀誤差之和，a4為內(nèi)圈滾道上的節(jié)點(diǎn)位移，近似公式為：

（11）

三、彈性冗余空間機(jī)構(gòu)的彈性參數(shù)等效

（一）凸輪從動(dòng)件支承彈簧剛度計(jì)算

分別建立左右兩端軸承支承結(jié)構(gòu)的有限元模型，計(jì)算等效軸承約束的剛度。對(duì)于案例中的機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)，除軸承外其他零件彈性變形與載荷呈線性，該部分剛度記為kiSj V，計(jì)算結(jié)果如表3所示。其中，支承約束剛度可按彈簧串聯(lián)的剛度公式計(jì)算。

四、彈性冗余空間機(jī)構(gòu)模型求解

（一）機(jī)構(gòu)基本方程求解與參數(shù)意義

由于等效凸輪輪廓方程較復(fù)雜，且從動(dòng)件支承彈簧剛度為非線性，機(jī)構(gòu)基本方程需采用數(shù)值方法迭代求解，過(guò)程如下。

（1）迭代變量與初始值：以機(jī)架坐標(biāo)系（OXYZ）fi中的Ri為迭代變量，其值取為Ri0=（0，0，0，0，0，0）；凸輪矢量ri=（xi，yi，zi），由Ri確定。

（2）凸輪輪廓方程：RiVjf =（xiVjf yiVjf ，ziVjf ），并計(jì)算點(diǎn)RiVjf 處凸輪曲面法向量niVj f 、從動(dòng)件軸線夾角αiVjf 、凸輪矢徑riVj? ?=（xiVjf -xi，yiVjf -yi，ziVjf -zi）。

（3）機(jī)構(gòu)位移方程：將ri、riVj代入機(jī)構(gòu)位移方程，求得從動(dòng)件位移δiVj? 。

（4）物性方程：將δiVj? ? ? 代入從動(dòng)件物性方程，求得彈簧回復(fù)力FiVj? k，進(jìn)而由公式（9）計(jì)算從動(dòng)件對(duì)凸輪的支反力FiVj ；由選擇軸物性方程求解兩端凸輪相對(duì)位移ε。

（5）靜力平衡方程：將FiVj代入靜力平衡方程，由于Ri為假設(shè)值，方程左端不一定為零，進(jìn)而得到凸輪的位置變化量εiF。

（6）迭代求解：命令R1=R1+ε1F、R2=R2 +ε2F +ε12返回第（1）步進(jìn)行迭代求解。

按步驟（1）～（6），可求解軸在任意轉(zhuǎn)角與載荷時(shí)機(jī)構(gòu)基本方程變量。如軸轉(zhuǎn)角、輸入載荷FPY2 =3000N時(shí)，兩端凸輪位姿參數(shù)Ri分別為R1 = [1.99， -10.92， 36.59， -1.30×10-4， 1.92×10-5， 0]，R2 = [-0.54， -10.85， -394963.41， 1.28×10-4， 1.92×10-5， 0），表示機(jī)床主軸兩端軸承支承截面軸芯實(shí)際姿位與理想姿位的偏差；ε12=[0，5.09，0，2.58×10-4，0，0]，表示旋轉(zhuǎn)軸的彈性變形；從動(dòng)件位移δiVj? 及載荷FiVj? k（或FiVj? ?），表示機(jī)床主軸支承截面處的彈性位移與支承載荷（見表4）。

（二）機(jī)床主軸精度特性分析

以機(jī)床主軸在輸出截面（OXYZ）P1處的旋轉(zhuǎn)誤差的Y向分量作為考察對(duì)象，軸低速旋轉(zhuǎn)、輸入載荷為FPY2 =3000N，進(jìn)行計(jì)算，如圖3所示。

僅考慮零件幾何誤差：以等效凸輪輪廓形狀體現(xiàn)，令軸剛度和彈簧剛度為無(wú)窮大，如曲線a1。

僅考慮軸承約束剛度：以從動(dòng)件彈簧剛度體現(xiàn)，令軸剛度無(wú)窮大且凸輪為理想圓r0和理想平面z0，如曲線a2。

僅考慮旋轉(zhuǎn)軸剛度：以凸輪聯(lián)接軸剛度體現(xiàn)，令從動(dòng)件彈簧剛度無(wú)窮大且凸輪為理想圓r0和理想平面z0，計(jì)算結(jié)果為曲線a3。

幾何誤差、軸承剛度、軸剛度三種因素均取實(shí)際參數(shù)，綜合結(jié)果為曲線a4。

在算例計(jì)算條件下，軸變形與軸承支承結(jié)構(gòu)變形方向相反，零件幾何誤差在不同相位時(shí)對(duì)機(jī)床主軸精度影響不同，即零件幾何誤差、軸承約束剛度、旋轉(zhuǎn)軸剛度對(duì)機(jī)床主軸精度的影響各異，且與機(jī)床主軸運(yùn)動(dòng)與載荷相關(guān)。

五、結(jié)束語(yǔ)

①?gòu)椥匀哂嗫臻g機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)由機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)與凸輪輪廓參數(shù)構(gòu)成，其中機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)與機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)應(yīng)，凸輪輪廓參數(shù)由零件表面幾何特征及其隨靜、動(dòng)聯(lián)接面的彈性映射與運(yùn)動(dòng)映射等效。②彈性參數(shù)包括從動(dòng)件支承彈簧剛度與凸輪聯(lián)接軸柔度，支承彈簧剛度由機(jī)床主軸軸承支承結(jié)構(gòu)的約束剛度等效，凸輪連接軸柔度由機(jī)床主軸旋轉(zhuǎn)軸柔度等效。③通過(guò)分析機(jī)構(gòu)輸出位移與機(jī)構(gòu)幾何與彈性參數(shù)之間的關(guān)系，可求解機(jī)床主軸精度與各影響因素之間的聯(lián)系。

作者單位：紀(jì)英男 洛陽(yáng)電光設(shè)備研究所

參? 考? 文? 獻(xiàn)

[1]于潔，李松生，袁偉，等.考慮熱變形影響的主軸軸承動(dòng)態(tài)特性[J].航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2018，33（02）：477-486.

[2]田久良，洪軍，朱永生，等. 機(jī)床主軸-軸承系統(tǒng)熱-力耦合模型機(jī)器動(dòng)態(tài)性能研究[J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，46（7）：1-7.

[3]栗世豪，張俊，唐宇陽(yáng)，等.零件加工誤差與機(jī)床幾何誤差映射關(guān)系建模[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2021，55（10）：50-59.

[4]余永健，陳國(guó)定，李濟(jì)順，等.軸承零件幾何誤差對(duì)圓柱滾子軸承回轉(zhuǎn)誤差的影響：第一部分 計(jì)算方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2019，55（01）：62-71.

[5]王涵，吳玉光.不同類型接觸面機(jī)械零件裝配誤差的自動(dòng)計(jì)算方法研究[J].機(jī)電工程，2021，38（06）：655-664.

[6]陳代鑫，劉適，陳龍波，等.數(shù)控機(jī)床某些特性對(duì)零件加工質(zhì)量的影響分析[J].航空制造技術(shù)，2014（03）：63-66+70.

[7]王德倫，王智，董惠敏，等.回轉(zhuǎn)副精度特性的彈性冗余空間機(jī)構(gòu)模型[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2013，49（17）：110-122.

[8]李震，關(guān)先磊，鐘銳，等.聯(lián)合載荷下角接觸球軸承的動(dòng)態(tài)特性分析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2020，56（17）：116-125.