提前規(guī)劃　平穩(wěn)過渡

汪瑩

“數與代數”是義務教育階段學生數學學習的重要領域。2011年版義務教育課程標準把“數與代數”分列為“數的認識”和“數的運算”兩個板塊，而2022年版義務教育課程標準則將兩個板塊合并為“數與運算”一個整體，進一步體現了“數的認識”是“數的運算”的基礎。對比目前的小初教材，在整個小學階段占據了大半篇幅的“數的認識”這一板塊，會在初中階段以“短平快”的節(jié)奏進行學習。學習內容和目標的變化、學習側重點的轉移、學習方式的改變，都將會給處于小初銜接階段的學生帶來一系列的影響。為了讓小學畢業(yè)生更好地適應初中學習，筆者認為，教師可以將銜接教學的著力點放在分數和小數關系、負數的認識、數系的擴充、運算內部的邏輯這幾方面，為學生初中階段的數學學習打下堅實基礎。

一、辨析分數和小數的關系，預埋有理數和無理數的種子

小數和分數是小學數學教學中的重要內容，但部分學生對小數與分數關系的認識還存有誤區(qū)，這些錯誤的認知可能會對學生初中階段時學習有理數和無理數產生影響。

關于小數的定義，在蘇教版五年級上冊的數學教材上是這樣寫的：“分母是10、100、1000……的分數都可以用小數表示。一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……”總有學生對這個定義誤讀。這個定義正著讀成立，反過來讀就值得推敲了。也就是說：十進分數是可以用小數表示的，但小數不一定能用十進分數來表示。這個定義其實僅指有限小數，雖有省略號，但不能理解為所有小數。在目前的蘇教版教材中，有限小數與無限小數的定義是放在“你知道嗎”板塊中的，這也使得小數分類的受重視程度下降。無限不循環(huán)小數的定義則一直到圓周率的學習中才真正涉及，這也使得學生對小數分類的認知出現了偏差。不少學生會認為“小數中的大部分是有限小數，只有一小部分非常特殊的小數才是無限循環(huán)小數，至于無限不循環(huán)小數，那是少數中的少數”。很顯然，這樣的認知是不符合事實的。

在初中階段學習有理數時，教材中引入了新的數的分類標準，即把能否實現與分數的轉化作為分類標準，有限小數和無限循環(huán)小數是有理數，無限不循環(huán)小數則屬于無理數。有理數的概念建立在分數和小數的關系上，而分數和小數的互化是在小學學習的。初中僅在一堂課的時間內便要學生完成新的數的概念的建立，這與學生在小學階段的學習節(jié)奏是大不相同的。因此，在小學階段教學分數和小數的互化這一知識點時，教師要做個有心人，借助一些例題，幫助學生提前了解有理數的概念，為學生日后升入初中學習有理數的概念奠定基礎。

比如，在蘇教版小學五年級下冊的數學教材中有這樣一道題：將、、、、、化成小數（除不盡的保留三位小數）。為了幫助學生提前了解初中的知識，教師可以讓學生聯系小數的分類，觀察結果，給化得的小數分類，使其最終認識到：一是所有的分數都可以轉換成小數；二是轉換后的分數，要么是有限小數，要么是無限小數（此處還可以更進一步：是否可以轉換為有限小數或無限小數與分數的分母有關。如果分母的質因數只含有2或5，則可以轉換為有限小數；如果分母的質因數包含2和5以外的，則只能轉換為無限小數）；三是由分數轉換而來的無限小數是無限循環(huán)小數。教師還可以設置問題“如果有限小數都可以轉換成分數，那么無限循環(huán)小數是否可以轉換成分數？”，讓學生在課后獨立探索研究。

有了這個鋪墊，學生將來再遇到無限循環(huán)小數，對于它究竟能不能化成分數，就會有自己的判斷了。通過這種方式，學生也可以充分地理解分數和小數之間的關系，從而為初中的數學學習做好準備。

二、突出正、負數對應，鋪墊正負數運算法則

小學生的思維方式以具體形象為主，他們在學習一個新的數的概念時，往往會依托大量的生活實例。以“負數的認識”的教學為例，小學階段主要是在大量的實例背景下引導學生學習負數的含義和負數的表示，而初中階段主要是以靜態(tài)、抽象的方式呈現負數概念，這與小學階段的數學教學是有區(qū)別的。

盡管學生在五年級已經初步認識了負數，但部分學生在初中階段學習負數概念時依然存在理解困難，究其原因是沒有正確理解“-”號的三種意義（運算、性質、相反數）。部分七年級學生無法區(qū)分公式中的“+”（正號）和“-”（負號）是作為運算的符號還是作為屬性的符號，這也與學生沒有將負數作為一個整體有關。在蘇教版小學數學五年級上冊中，有關正數和負數的定義都是描述性定義：像+20、+8844.4這樣的數都是正數（正數前面的“+”可以省略不寫），像-20、-155這樣的數都是負數。人教版小學數學六年級下冊中對正負數的定義為：“為了表示相反意義的量，如零上溫度與零下溫度、收入與支出等，需要用兩種數。一種是我們以前學過的數，如6、500、4.7、，這些數是正數；另一種是在這些數的前面添上“-”（負號），的數，如-6、-500、-4.7，這些數是負數?！边@樣的處理更好地展示了負數的基本內涵：正數和負數代表兩個意義相反的數量，前面帶有負號的數就是負數。

為了讓學生更好地理解負數，給學生初中階段的學習奠定基礎，在小學階段教學負數時，教師可以利用數軸這一形象、可視化的手段，通過在數軸上比較一組正、負數與0點的距離，讓學生充分感悟、理解負數和相應的正數是一一對應的。通過對比，學生能夠感受到正、負數之間“數量相等”“方向相反”的關系，這也為其今后在初中學習絕對值和相反數打下了堅實的基礎。

對比現行的教材，小學階段并沒有要求學生學習負數的相關運算，這些是初中階段的學習任務。小學生的抽象思維水平仍然不高，教師不能人為地增加學生的學習負擔。筆者認為，教師可以有意識地將正、負號與以前學過的加、減號加以區(qū)分，以便學生了解加減符號和正負號是同一符號的兩種不同含義。同時，教師可以借助數軸，把正、負數和加、減法的運算以直觀的形式滲透到小學階段的教學中，這些都可以為學生將來學習負數運算作鋪墊。

三、了解數的發(fā)展史，繪制數的認識網絡圖

數的認識，一直是小學數學中的重要內容之一。自然數、整數、小數、分數等，都是小學數學中最基本的概念。這些概念是繪制數的認識網絡圖、學習數的運算、研究數量關系的重要基礎。從自然數開始，對數和數系的不斷擴充是人類生產發(fā)展和社會進步的需要，也是數學本身發(fā)展的需要。

考慮到小學生的年齡特征，他們雖然從小學一年級就認識了整數，但一直到高年級才真正了解整數的定義。相比在小學階段學生要用六年時間完成對整數、分數、小數等數的概念的擴充，在初中階段，剛進入初中，學生就會經歷數系的第一次擴充。如果學生對數系擴充認識不足的話，那么這就很有可能影響其接下來的學習。部分學生會用死記硬背的方式記住新的數的概念，硬生生將其納入自己的認知結構。但如果教師能在小學階段引導學生從整體的角度去理解數系擴充，基于學生的已有經驗，幫助學生貫通各類數的概念，學生接受一個新的數的概念就不會很被動了。

因此，在小學六年級的復習課上，從數系擴展的角度帶領學生了解數的發(fā)展史也是非常必要的。在數學課堂上，教師可以提問：“當數數時，自然數就足夠了，為什么人類還需要發(fā)明這么多數？”教師可以讓學生暢所欲言，并根據學生的解釋帶領他們回顧數的發(fā)展史，或借助課本上的圖片幫助學生回憶這些數的概念的產生過程，還可以輔以樹狀圖、數軸等將各種數進行分類，最終使學生繪制數的認識網絡圖。

比如，分數的擴充有兩個原因，其中一個原因是人們在劃分事物時必須切割和分配一個對象，那么整體的“部分”就不能用現有的自然數表示，需要有一種方法來描述“部分”，因而分數是“描述整體和部分之間的關系”的產物。小數的產生也有兩個原因：一是對十進制計數法的擴展和完善的需要；二是對分數書寫形式的優(yōu)化和改進。根據十進制的位值原則，把十進分數仿照整數的寫法寫成不帶分母的形式，這樣的數叫做小數。小數的出現標志著十進制記數法從整數擴展到了分數，使分數與整數在形式上獲得了統(tǒng)一。

學生在了解數的發(fā)展史的過程中可以進一步完善數的認識結構，逐漸理解：正是為了解決人們在生產生活中出現的問題，人們才不斷將數的領域加以擴充。

四、了解數的運算的內部邏輯，提升學生的數學素養(yǎng)

數系的擴充最初是源于現實生活的需要，后來，隨著數學體系的發(fā)展，數系擴充也成了數學內部體系運算封閉性的必然要求。簡單來說，就是數的范圍被擴充了，人們的計算也就更方便了。因此，“數的認識”是為“數的運算”服務的。

從小學到初中，數系每擴充一次，比如整數到分數、分數到小數，學生都會先學習相關的數的概念，然后再進行數的運算。數及其運算是小學階段數學學習的主要內容。然而，從數的運算的角度去理解數系的擴充，在小學教材中是較為隱蔽的一條線，所以從運算需要的角度去重新認識小學階段的數的概念，也可以作為小初銜接的一個主要內容。

教師可以抓住適當時機，引導學生思考如下問題并給出解釋：如果在數學中只討論加法和乘法，那么以前學過的數就足夠了，但如果要討論減法呢？顯然0和負數的產生就十分有必要，負數的產生也是為了解決“不夠減”的實際問題。同樣，如果要討論除法，也非常有必要引入新的數的概念。在整數除法中，當兩個數相除，有時不能得到整數商。在結果唯一的前提下，為了保證除法運算的順利進行，分數應運而生。到了初中，可以用小數定義有理數：有限小數或無限循環(huán)小數稱為有理數。進一步，可以用小數定義無理數：無限不循環(huán)小數稱為無理數。還可以由此來定義實數：有限小數、無限循環(huán)小數和無限不循環(huán)小數統(tǒng)稱為實數。由此，學生也不難理解：數系擴展到正整數和有理數，然后擴展到實數。在擴展的過程中，“實際需要”在促進方面的作用較小，更重要的是對數學運算的需要。

通過這樣的梳理，學生對數的認識，不僅能立足于生活實踐的角度，還能擴展到數學背景的角度。當學生的學習視角發(fā)生了變化，思維從具體形象水平上升到了抽象邏輯水平時，他們的數學素養(yǎng)也將得以提升。

（作者單位：江蘇省蘇州市姑香苑小學校）