基于遺傳算法的懸索橋主纜找形方法分析

何虎成

（重慶奉建高速公路有限公司，重慶 401120）

隨著國(guó)家建設(shè)進(jìn)程的加快和需求的提高，懸索橋不斷向著更長(zhǎng)、更輕發(fā)展。針對(duì)懸索橋而言，無(wú)論是設(shè)計(jì)階段還是施工階段，主纜線(xiàn)形都是其建設(shè)過(guò)程中的重中之重。因此，達(dá)到高精度的主纜線(xiàn)形一直是設(shè)計(jì)人員和施工人員的共識(shí)。為精細(xì)化分析主纜線(xiàn)形，Ochsendorf等[1]指出，Euler 提出的拋物線(xiàn)理論，即主纜在沿跨均布荷載下的形狀為拋物線(xiàn)，其水平分力為恒定值，忽略了主纜重力沿著主纜曲線(xiàn)分布的特征，僅適用于跨度較小的橋梁。隨著懸索橋跨度的不斷增大，拋物線(xiàn)形狀的主纜受力與實(shí)際受力不相符，誤差較大，不能滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。因此，分段懸鏈線(xiàn)法方法[2-6]被提出，并廣泛應(yīng)用至今。分段懸鏈線(xiàn)法的主要思想是將主纜分為若干個(gè)懸鏈線(xiàn)，求得各懸鏈線(xiàn)方程參數(shù)后確定主纜高程。然而，由于分段懸鏈線(xiàn)法所需參數(shù)較多，傳統(tǒng)計(jì)算方法效率低、速度慢，且無(wú)法考慮主索鞍對(duì)于主纜線(xiàn)形的影響。因此本文建立了一種考慮主索鞍作用的懸索橋成橋狀態(tài)下主纜線(xiàn)形的迭代算法，并且基于遺傳算法[7]求解了所推導(dǎo)的無(wú)約束非線(xiàn)形方程。該研究成果可為懸索橋主纜線(xiàn)形精細(xì)化分析以及后續(xù)主纜無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度精細(xì)化計(jì)算提供參考。

1 計(jì)算理論

在懸索橋主纜找形問(wèn)題中，分段懸鏈線(xiàn)理論遵循以下四點(diǎn)基本假定：

（1）索是理想的柔性索，即只存在軸向拉力，不存在軸向壓力和彎矩，并且由于索長(zhǎng)相對(duì)于其截面尺寸較大，因此索的抗彎剛度可忽略不計(jì)。

（2）線(xiàn)彈性假定，即索的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系符合胡克定律。

（3）小應(yīng)變假定，即軸向抗拉剛度式中為定值。

（4）將索的自重認(rèn)為是受力平衡后的沿其長(zhǎng)度方向的均布荷載。

以雙塔三跨懸索橋?yàn)槔?，在成橋狀態(tài)下，主纜受兩大作用：以沿線(xiàn)均布荷載形式分布的自重和集中力形式的分布力，主纜呈現(xiàn)帶有折角的分段式懸鏈線(xiàn)，見(jiàn)圖1。以每段懸鏈線(xiàn)主纜的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別建立局部坐標(biāo)系，x 軸水平向右，y 軸數(shù)值向下，第i 段主纜的懸鏈線(xiàn)可表示為。

圖1 成橋狀態(tài)主纜線(xiàn)形

圖2 主索鞍示意圖

式中，c=-H/q，H 為成橋狀態(tài)下主纜的水平分力，單位kN；q 為主纜隨長(zhǎng)度方向自重，單位kN/m；ai和bi為懸鏈線(xiàn)方程的參數(shù)。

根據(jù)邊界條件可得

如圖1 所示，可得到三個(gè)非線(xiàn)形控制方程，從而可得到上述3 個(gè)未知參數(shù)。

上述方程中的三個(gè)基本未知參數(shù)分別是主纜的水平分力H、第1 段懸鏈線(xiàn)方程參數(shù)a1以及第n+1 段懸鏈線(xiàn)主纜的水平投影長(zhǎng)度ln+1。通過(guò)這三個(gè)基本未知數(shù)可以對(duì)上述方程組中的其他變量進(jìn)行表達(dá)，并構(gòu)建可以求解的函數(shù)形式。

第i 段懸鏈線(xiàn)主纜左右端點(diǎn)的高差可以表達(dá)為：

式中，li為第i 段懸鏈線(xiàn)主纜的水平投影長(zhǎng)度，由于切點(diǎn)的位置不確定，l1和ln+1相對(duì)來(lái)說(shuō)是未知的，l2～ln可通過(guò)吊桿的設(shè)計(jì)間距確定。

另外，為得到各段懸鏈線(xiàn)方程參數(shù)ai之間的遞推關(guān)系，對(duì)任一吊點(diǎn)處進(jìn)行受力分析，如圖3 所示。

圖3 吊點(diǎn)靜力平衡

由圖3 可知，在成橋狀態(tài)下，點(diǎn)Oi 的靜力平衡方程為

式中，Pi為吊點(diǎn)Oi對(duì)應(yīng)的第i 個(gè)吊桿力，和分別對(duì)應(yīng)上吊點(diǎn)Oi左側(cè)和右側(cè)的主纜傾角。

綜上，將過(guò)程中所推導(dǎo)的公式代入式（1-3），并轉(zhuǎn)換為非線(xiàn)形控制方程：

為求解方程組（1-6），可將其轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的非線(xiàn)形優(yōu)化問(wèn)題，即

為進(jìn)一步提升遺傳算法計(jì)算精度，基于工程經(jīng)驗(yàn)給定以上未知參數(shù)取值范圍

2 算例

以重慶白帝城長(zhǎng)江大橋[8]為工程背景，白帝城長(zhǎng)江大橋?yàn)橹骺?16m 單跨簡(jiǎn)支鋼箱梁懸索橋，跨徑組合（188+916+317）m，失跨比為1/11，主纜中心距為26m，吊索標(biāo)準(zhǔn)間距為16.2m，橋型布置如圖4 所示；該橋彈性模量E 和主纜的每延米自重q 分別為210Gpa和22.18kN/m。第一根吊索距離奉節(jié)岸主索鞍IP 點(diǎn)（lDO1）距離20.6m，最后一根吊索距離巫山岸主索鞍IP 點(diǎn)（lD'On）距離20.6m。圖5 分別為白帝城長(zhǎng)江大橋成橋狀態(tài)下主纜線(xiàn)形圖與有限元計(jì)算模型。

圖4 白帝城長(zhǎng)江大橋立面圖

圖5 成橋有限元模型

表1 為本文計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)于已知的吊桿力的主纜節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)比結(jié)果?？芍?，本文算法在前14 根吊索所得計(jì)算結(jié)果比有限元計(jì)算結(jié)果略大，并且其誤差隨著吊索根數(shù)的增加逐漸減小，最大誤差為0.004m。當(dāng)?shù)跛鞲鶖?shù)增至15 時(shí)本文算法計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果在保留3 為小數(shù)的情況下無(wú)誤差，其原因可能為本文算法對(duì)于主索鞍模擬的精度較低并且存在主纜-索鞍耦合的情況表2 為本文計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)于主纜水平分力的對(duì)比結(jié)果。可知，二者誤差為0.015MN，該誤差在實(shí)際工程的可接受范圍內(nèi)。綜合表1、表2 可知，本文方法在懸索橋成橋狀態(tài)下主纜線(xiàn)形計(jì)算中是可行且有效的。

表1 已知的吊桿力的主纜節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果

表2 主纜水平分力計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)論

本文針對(duì)懸索橋主纜找形提出了一種迭代算法，并且基于遺傳算法求解了所推導(dǎo)的無(wú)約束非線(xiàn)形方程。以白帝城長(zhǎng)江大橋?yàn)楣こ贪咐?，將本文?jì)算方法所得結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，本文計(jì)算方法所得主纜坐標(biāo)與水平分力與有限元計(jì)算結(jié)果誤差分別小于0.004m 和0.015MN，本文方法在懸索橋成橋狀態(tài)下主纜線(xiàn)形計(jì)算中是可行且有效的。該研究成果可為懸索橋主纜線(xiàn)形精細(xì)化分析以及后續(xù)主纜無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度計(jì)算提供參考。