幾何學有多強大

胡逸飛

幾何學的發(fā)展歷史橫跨數(shù)千年，從古埃及和古希臘的歐幾里得幾何，文藝復興時期的解析幾何和笛卡爾坐標系的引入，到19世紀黎曼、羅巴切夫斯基和波伊亞提出的非歐幾里得幾何，再到20世紀愛因斯坦廣義相對論的幾何解釋，以及現(xiàn)代拓撲學、微分幾何等領(lǐng)域的不斷擴展，幾何學一直在不斷發(fā)展，為人類對現(xiàn)實世界的理解提供了寶貴的工具和視角。

而在我們的日常生活中，幾何形狀無處不在，從自然界的美麗花朵到人類設計的建筑，再到浩瀚的宇宙結(jié)構(gòu)，它們都遵循某種幾何規(guī)律。《幾何學的力量》一書深入探討了隱藏在各種現(xiàn)象背后的幾何學原理，提供了一個全新視角重新審視我們所了解的世界。書中展示了幾何學在現(xiàn)實世界中的力量，使我們認識到幾何不僅是一門學科，更是一種理解世界的獨特方式。

本書涵蓋了幾何學在信息、生物學、策略、民主等領(lǐng)域的應用，以及幾何學在藝術(shù)、哲學和教育中的重要地位。書中的實例豐富多彩，使得復雜的數(shù)學概念變得生動有趣。

此外，作者還通過龐加萊的“第四幾何（擠壓幾何）”這一概念，突顯了幾何學在物理學領(lǐng)域的重要地位。而第四幾何對洛倫茲時空研究的深遠影響，表明了幾何學在科學發(fā)展中所扮演的關(guān)鍵角色。

在洛倫茲時空中，光速被內(nèi)置到幾何中，這與擠壓平面的概念有一定的相似性。擠壓平面可以看作是相對論物理學的一個簡化版本，它假設空間只有一個維度，而不是三個維度，與時間的一個維度結(jié)合形成二維時空。盡管龐加萊提出了第四幾何的概念，但他并沒有發(fā)展出相對論。

1905年，愛因斯坦從對稱性的角度推翻了物理學的傳統(tǒng)觀念，開創(chuàng)了相對論。隨后，數(shù)學家開始將愛因斯坦的時空理論轉(zhuǎn)化為幾何基礎。

德國數(shù)學家艾米·諾特在1915年建立了對稱性與守恒定律之間的基本關(guān)系，將一系列雜亂的計算整理成一個純粹的數(shù)學理論。諾特的理論為物理學和數(shù)學界奠定了堅實的基礎，她的貢獻被永遠銘記在科學史冊中。

在經(jīng)濟學領(lǐng)域，作者講述了在金融數(shù)學和隨機過程領(lǐng)域作出開創(chuàng)性貢獻的法國數(shù)學家巴舍利耶，他在巴黎證券交易所觀察到債券價格波動，提議用數(shù)學方法來分析這些波動。盡管龐加萊對將數(shù)學分析應用于人類行為表示懷疑，但他最終對巴舍利耶的論文給予了高度的評價。

《幾何學的力量》一書中還講述了馬爾可夫鏈與香農(nóng)信息論在通信技術(shù)領(lǐng)域的重要性。馬爾可夫最初專注于純粹的抽象概率論，對實際應用并不關(guān)心。最終他將自己的理論應用到了俄國詩人普希金的詩歌中。馬爾可夫?qū)ζ障＝鸬摹度~甫蓋尼·奧涅金》進行了字母分析，發(fā)現(xiàn)輔音和元音之間存在特定的概率關(guān)系。

電子計算機的出現(xiàn)使得對文本的更復雜分析成為可能。谷歌研究總監(jiān)彼得·諾里格使用了一個龐大的文本語料庫來計算字母之間的概率。他發(fā)現(xiàn)，英語中字母序列的出現(xiàn)頻率受到馬爾可夫鏈的影響。通過將文本視為字母或雙字母組序列，可以進一步了解英語文本的結(jié)構(gòu)。

在此僅簡要介紹了其中幾個主題，事實上整本書包含的主題超過70個，揭示出幾何學在科學、技術(shù)和人文領(lǐng)域中的廣泛影響，并通過實例讓讀者感受到幾何學在日常生活中的實際應用。這既為專業(yè)人士提供了全新的視野和啟發(fā)，也讓普通讀者領(lǐng)略了幾何學的優(yōu)美和強大。