平行四邊形存在性問題解題策略

趙洋 趙紅余

朝陽市第四中學(xué)崔欣穎老師的直播課“再談平行四邊形存在性問題解題策略”選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學(xué)習(xí)和個性化提升.

崔欣穎老師的直播課，從知識儲備、典型例題、提升訓(xùn)練三個方面展開，幫助同學(xué)們結(jié)合圖形復(fù)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)及判定方法，總結(jié)處理平面直角坐標(biāo)系中平行四邊形存在性問題的常用方法——“平移法”與“鉛直三角形法”. 在“三定一動”“兩定兩動”兩類模型中介紹了平行四邊形存在性問題的兩種解題思路，分別討論了動點出現(xiàn)在坐標(biāo)軸和一次函數(shù)上的不同情況，結(jié)合例題引發(fā)學(xué)生更多的思考，為九年級學(xué)習(xí)二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題解題策略提供了方法和依據(jù). 下面，就讓我們一起根據(jù)崔欣穎老師的策略，進行變式延伸.

變式延伸

例 如圖1，已知A（1，0），B（0，-4），點P為y = -[12]x + 5上一動點，點Q為y = [34]x上一動點，若以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P，Q的坐標(biāo).

學(xué)法指導(dǎo)：可以討論AB為平行四邊形的邊和對角線兩種情況，從而確定點P，Q的位置.

解析：若以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，其中點A（1，0），B（0，-4），點P，Q在直線上，符合“兩定兩動”模型.

1.當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，可分兩種情況.

第一種情況，如圖2，PQ為平行四邊形中AB的對邊，在點C的左側(cè)，由Q1在直線y = [34]x上，可設(shè)Q1為[t， 34t]，

由“平移法”或“鉛直三角形法”得P1 [t+1， 34t+4]，

將點P1的坐標(biāo)代入y = -[12]x + 5，

得[34]t + 4 = -[12]（t + 1） + 5，

解得 t = [25]，則P1 [75， 4310]，Q1? [25， 310].

第二種情況，如圖2，PQ為平行四邊形中AB的對邊，在點C的右側(cè)，由Q2在直線y = [34]x上，可設(shè)Q2為 [n， 34n]，由“平移法”或者“鉛直三角形法”得P2? [n-1， 34n-4].

將P2的坐標(biāo)代入y = -[12]x + 5，得[34]n - 4 = -[12]（n - 1） + 5，解得 n = [385]，

則P2 [335， 1710]，Q2 [385， 5710].

2.當(dāng)AB 為平行四邊形的對角線時，如圖3，

由A（1，0），B（0，-4），得AB的中點D [12， -2]，

由Q在直線y = [34]x上，設(shè)Q為 [m， 34m]，

由中點坐標(biāo)公式得P [1-m，-4-34m]，將點P的坐標(biāo)代入y = -[12]x + 5，

得-4 - [34]m = -[12]（1 - m） + 5，解得m = [-345]，則P3 [395，1110]，Q3 [-345，-5110].

因此點P，Q的坐標(biāo)有三種：P1[75， 4310]，Q1[25， 310]；P2[335， 1710]，Q2[385， 5710]；P3[395， 1110]，Q3[-345， - 5110].

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★★解題時間：10分鐘

如圖4，已知A（-3，0），B（0，-1），P為y = [12]x + 3上一動點，Q為y = 2x - 4上一動點，若以A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求P，Q的坐標(biāo). （答案見第23頁）

〔作者單位：遼寧省實驗中學(xué)（初中部）〕