走進(jìn)生活探三數(shù)

秦晨熹

生活實(shí)例

為了實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效，大面積提高教學(xué)成績(jī)，某市推行了小組（每組9人）合作學(xué)習(xí)的教學(xué)模式. 2022年寒假數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)揭曉后，八（8）班沸騰起來(lái)了，各組學(xué)生興致高昂. 一組組長(zhǎng)說(shuō)：“我們組最高分為90分.”二組組長(zhǎng)高喊：“我們組平均90分.”另兩位愛(ài)思考的同學(xué)也在議論他們所在小組的數(shù)學(xué)成績(jī). 三組的張明說(shuō)：“我們組成績(jī)是90分的同學(xué)最多. ”四組的李麗說(shuō)：“我們組的9位同學(xué)成績(jī)排在最中間的恰好也是90分. ”從以上4位同學(xué)的交流表達(dá)中，你能知曉這4個(gè)90分所反映出的統(tǒng)計(jì)量是什么嗎？請(qǐng)加以解釋.

精講精析

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是數(shù)據(jù)的代表，從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中程度，刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的“平均水平”“中等水平”“多數(shù)水平”，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛. 它們各有優(yōu)缺點(diǎn)：平均數(shù)需要全組所有數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算，易受數(shù)據(jù)中極端值的影響；中位數(shù)僅需把一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕泻蠹纯纱_定（當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，按從小到大或從大到小依次排列后，中間那個(gè)數(shù)就是中位數(shù)；當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，按從小到大或從大到小依次排列后，中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)），不易受數(shù)據(jù)中極端值的影響；眾數(shù)是數(shù)出來(lái)的，它是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

由此，我們可以發(fā)現(xiàn)：二組組長(zhǎng)所說(shuō)的平均分是90分，代表二組學(xué)生數(shù)學(xué)平均水平；張明所說(shuō)的90分，是三組數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)，代表三組數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分的學(xué)生最多；李麗所說(shuō)的90分，是9位同學(xué)按成績(jī)高低排列后的中間同學(xué)的成績(jī)，是四組學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù).

變式演練

變式1：在數(shù)學(xué)期末考試中，八（8）班二組9位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)绫?，試問(wèn)：二組9位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)的最低分是多少？最高分為100分的有幾人？二組數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)分別是多少？

解析：由題意得[y=9-1-2-4=2]（人），

[x×1+85×2+95×4+100×2=9×90]，

解得[x=60].

二組9位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)的最低分為60分，最高分為100分的2人. 由于4人取得95分，人數(shù)最多，故眾數(shù)為95. 將這9個(gè)數(shù)從小到大排列，第5個(gè)數(shù)為95，故中位數(shù)為95.

變式2：在這次數(shù)學(xué)期末考試中，八（8）班的班主任準(zhǔn)備獎(jiǎng)勵(lì)這四組同學(xué)，并設(shè)置了5個(gè)獲獎(jiǎng)名額，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)得分均不相同. 若知道其中魏碩的得分，要判斷他能否獲獎(jiǎng)，在這四組9位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)量中，只需知道（）.

A. 眾數(shù)? ? ? B. 平均數(shù)? ? C. 中位數(shù)? ? D. 方差

解析：要判斷魏碩能否獲獎(jiǎng)，關(guān)鍵是要將他的成績(jī)與9位同學(xué)中第5名的成績(jī)進(jìn)行比較，若高于就可以獲獎(jiǎng)，反之，則不能. 而9位同學(xué)中第5名的成績(jī)恰好就是9位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù). 故應(yīng)選C.

變式3：校學(xué)生會(huì)準(zhǔn)備在八（8）班張明、李麗兩位候選人中選擇一人擔(dān)任文藝部干事，對(duì)他們進(jìn)行了文化水平、藝術(shù)水平、組織能力的測(cè)試，根據(jù)綜合成績(jī)擇優(yōu)錄取，他們的各項(xiàng)成績(jī)（單項(xiàng)滿(mǎn)分100分）如表2所示，如果想錄取一名組織能力較強(qiáng)的候選人，把文化水平、藝術(shù)水平、組織能力三項(xiàng)成績(jī)分別按照[20%]，[20%]，[60%]的比例計(jì)入綜合成績(jī)，應(yīng)該錄取誰(shuí)？

解析：根據(jù)題意，張明的平均成績(jī)?yōu)閇80×20%+87×20%+82×60%=82.6]（分[）]，

李麗的平均成績(jī)?yōu)閇80×20%+96×20%+76×60%=80.8]（分[）].

因?yàn)閺埫鞯钠骄煽?jī)高于李麗的平均成績(jī)，所以應(yīng)該錄取張明.

反思：本題考查加權(quán)平均數(shù)公式. 權(quán)的表現(xiàn)形式有兩種：一種是比的形式，如2∶2∶6；另一種是百分比的形式，如文化水平占20%、藝術(shù)水平占20%、組織能力占60%. 權(quán)的大小能夠反映數(shù)據(jù)的相對(duì)“重要程度”，權(quán)的差異對(duì)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生直接的影響. 若要突出某個(gè)數(shù)據(jù)，只需要給它較大的“權(quán)”即可.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時(shí)間：3分鐘

某中學(xué)八年級(jí)舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽. 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從該年級(jí)全體600名學(xué)生中抽取20名，其競(jìng)賽成績(jī)?nèi)缬覉D，求這20名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù). （答案見(jiàn)第23頁(yè)）

（作者單位：江蘇省南通市崇川初級(jí)中學(xué)）