維度和壓強對顆粒體系振動態(tài)密度的影響

李歌天,曾援,張波,張國華

(北京科技大學數(shù)理學院,北京 100083)

在自然界中,存在著大量的顆粒物質(zhì),它有著與氣體、固體和液體所不同的特點和性質(zhì),顆粒物質(zhì)作為一種復雜的離散體系,無序性是它的重要特點[1]。想用現(xiàn)今的理論知識對顆粒物質(zhì)進行完整描述是非常困難的,這也是研究顆粒體系的意義所在。理論表明,晶體材料的低頻振動為長波平面波,其低頻態(tài)密度(density of states,DOS)滿足D(ω)～ωd,其中,d為維度,D(ω)為低頻態(tài)密度,ω為振動圓頻率。但是非晶材料的低頻態(tài)密度出現(xiàn)大量偏離德拜預測的額外振動模式,這些額外模式對非晶材料的力學性質(zhì)有非常大的影響。因此,研究無序材料振動態(tài)密度對其力學行為的影響,一直是材料力學的研究熱點之一。近年來,許多學者對顆粒體系進行了試驗和數(shù)值模擬,以探究它的振動特性、堵塞、耗散和顆粒鏈的尺寸效應(yīng)[2-5]。如顆粒體系的振動態(tài)密度、態(tài)密度圖像、堵塞相圖以及臨界點J處的特征等。文獻[6-8]對顆粒物質(zhì)的振動態(tài)密度進行了研究,將Hessian矩陣的簡正模式分析法用于研究無序顆粒體系(如液體、玻璃介質(zhì)等)的振動態(tài)密度。Zhang等[9]研究了無序程度對玻璃狀固體振動態(tài)密度的影響,發(fā)現(xiàn)當二維顆粒填料從晶體結(jié)構(gòu)逐漸調(diào)整為多晶結(jié)構(gòu)乃至非晶結(jié)構(gòu)時,玻色峰和van-Hove singularity奇異性在多晶體中很好地分離,且當無序性足夠高時van-Hove singularity奇異性消失。Krishnan等[10]用Hessian矩陣法研究了剪切無序固體的非德拜低頻振動,發(fā)現(xiàn)構(gòu)型選擇對于低頻態(tài)密度的重要影響,并且發(fā)現(xiàn)當接近塑性事件時,Hessian矩陣的最小本征值到達一個普適的分布。Wang等[11]研究了三維玻璃材料的低頻態(tài)密度,發(fā)現(xiàn)當頻率低于第一聲模式時三維玻璃材料的低頻態(tài)密度D(ω)～ωβ,β<4,β為冪指數(shù),對于不同體系取不同的數(shù)值。Dale等[12]研究了超均勻(hyperuniform)三維球形顆粒填料的振動態(tài)密度,發(fā)現(xiàn)超均勻球形顆粒填料在低頻下不存在態(tài)密度隨頻率的標度,而是在有限頻率下的突然低頻截止,形成了大約零頻率的聲子帶隙。在這個間隙上方,存在一個離散的模式帶。然而,目前關(guān)于不同維度和壓強下顆粒材料低頻態(tài)密度的系統(tǒng)研究尚鮮見報道。

為此,運用離散元法(discrete element method,DEM),借助PFC軟件生成不同維度下,壓強P處于0.1～10 000 Pa的范圍內(nèi),由2 048個無摩擦顆粒組成的顆粒體系數(shù)值模型,再運用MATLAB軟件,通過Hessian矩陣的簡正模式分析法,對數(shù)值模型進行計算并總結(jié)其規(guī)律。為進一步理解維度、壓強對顆粒材料的低頻力學性質(zhì)的影響有幫助。

1 顆粒物質(zhì)

顆粒物質(zhì)指的是離散且半徑大于0.5 μm,間隙液體的黏性較低,并且飽和度在1以下的大量固體顆粒,在相互作用下組成的復雜體系。它廣泛存在于自然界中,在日常生活、生產(chǎn)等各個方面中都有所涉及[13]。

顆粒物質(zhì)的性質(zhì)及其豐富[14],如在沒有外力作用時,顆粒體系的狀態(tài)與固體的狀態(tài)相似,有外力作用時,顆粒物質(zhì)會發(fā)生流動,此時它的狀態(tài)會更接近氣體和流體[15]。該體系屬于宏觀,但又和微觀相聯(lián)系,屬于固體,但又和流體和氣體相關(guān),具有較強的綜合性,對它的研究可以涉及生活的各個方面。作為一種具有代表性的無序系統(tǒng),顆粒體系的振動態(tài)密度與非晶體材料具有類似的特點,比如說存在許多低頻軟模式[16]、Boson峰和局域化模式等[17]。

2 數(shù)值模擬

2.1 樣品制備

用PFC2D分別生成包括2 048個光滑圓盤顆粒的一維顆粒鏈和處于2 m×2 m方盒子中的二維顆粒圓盤填料,采用周期性邊界條件并忽略重力的影響。采用PFC3D軟件在2 m×2 m×2 m立方盒子中生成了包括2 048個光滑球形顆粒的三維顆粒填料。

具體顆粒填料的產(chǎn)生方式如下:首先,在選定的邊界內(nèi)隨機產(chǎn)生2 048個半徑很小的顆粒(此時顆粒之間重疊量很小,可認為處于松弛狀態(tài))。然后,增大顆粒半徑,使得體系壓強達到2×104Pa,采用共軛梯度法使得體系處于能量極小的狀態(tài),生成初始壓強的顆粒填料。為了得到不同壓強下的顆粒填料,通過逐漸減小顆粒半徑的方法進行卸載,使得體系壓強分別達到10 000、1 000、100、10、1、0.1 Pa。填料穩(wěn)定的判據(jù)是經(jīng)過1 000個循環(huán)前后系統(tǒng)的能量差的比例小于1×10-15填料穩(wěn)定后,將各個顆粒填料的信息保存到文件。對每個壓強都隨機生成了10個位形,所涉及的物理量都是這10個位形的平均值。

2.2 態(tài)密度的求解

體系振動模式及振動態(tài)密度可通過求解下列久期方程來實現(xiàn)。

|F-ω2I|=0

(1)

式(1)中:I為單位矩陣;ω為振動圓頻率;F為Hessian矩陣。

(2)

光滑圓盤顆粒之間的相互作用為單邊線性彈簧勢,一般情況下,顆粒i和j的相互作用勢可表示為

(3)

“區(qū)塊鏈”已成為信息技術(shù)應(yīng)用行業(yè)的熱門詞，區(qū)塊鏈技術(shù)應(yīng)用也得到了國家在信息技術(shù)領(lǐng)域的關(guān)注和重視，一方面加大對首次幣發(fā)行（Initial Coin Offering，ICO）項目的監(jiān)管，另一方面積極推動國內(nèi)區(qū)塊鏈在相關(guān)領(lǐng)域的標準化制定及產(chǎn)業(yè)化發(fā)展等研究工作［1］。從“互聯(lián)網(wǎng)+”逐步上升到“區(qū)塊鏈+”。無論從社會價值還是投資價值投資考慮，在這股熱潮之中，最終需要沉淀和落地的是“區(qū)塊鏈+實際場景”的應(yīng)用，只有先進的技術(shù)應(yīng)用到具體項目才能擁有可持續(xù)的生命力，才能創(chuàng)造出真正的價值［2］。

(4)

式(4)中:ki和kj分別為顆粒i和j的法向接觸剛度系數(shù)。

光滑球形顆粒i和j的相互作用為Hertz勢,可表示為

(5)

(6)

對于各向同性材料,E=2G(1+ν),其中G為剪切模量。

3 結(jié)果與討論

3.1 一維顆粒鏈的振動態(tài)密度

在一維條件下,選取若干個一維顆粒鏈,并對所有結(jié)果進行了平均計算,運用Hessian矩陣求解穩(wěn)定狀態(tài)下harmonic接觸的一維顆粒鏈的振動態(tài)密度,并繪制態(tài)密度D(ω)～ω曲線,如圖1所示。

圖1 Harmonic接觸的一維顆粒鏈態(tài)密度圖Fig.1 Density of states curve of one-dimensional particle chain with harmonic contact

從圖1可以看出,在不同壓強條件下,由2 048個顆粒組成的一維無摩擦顆粒鏈體系的振動態(tài)密度完全一致。一維顆粒體系的振動態(tài)密度在0.1～10 000 Pa的壓強下時,其振動態(tài)密度曲線不受壓強影響。且曲線在ω的值較小時,曲線振蕩頻率較小且較為穩(wěn)定,在ω逐漸增大后,曲線振蕩幅度變大,且D(ω)的平均值隨著的增大呈逐漸上升趨勢,將ω的值和D(ω)都用對數(shù)坐標進行表示時,更能體現(xiàn)這一特點。

如圖2所示,不同壓強的曲線完全重合,即壓強變化與態(tài)密度曲線的變化無關(guān),并且在低頻區(qū)域,態(tài)密度曲線趨近于一條直線。根據(jù)德拜理論,D(ω)～ωγ,γ=d-1。其中,d為體系維度,當d=1時,γ=d-1=0。因此,在一維條件下,D(ω)～ω0,反映在曲線上即在低頻區(qū)域,態(tài)密度曲線趨近于直線?？梢钥闯?圖2的曲線符合德拜理論的預測。

圖2 雙對數(shù)坐標下的harmonic接觸的一維顆粒鏈態(tài)密度圖Fig.2 One-dimensional particle chain of the density of states for harmonic contact in double logarithmic coordinates

3.2 二維顆粒體系的振動態(tài)密度

首先用PFC2D軟件在一個2 m×2 m方盒子中生成顆粒半徑在0.009～0.011 m平坦分布的2 048個光滑二維顆粒填料。x、y方向均采用周期性邊界條件。此時體系中顆粒所處位置完全是隨機的,且顆粒間沒有任何重疊,體系處于完全松弛的狀態(tài)。接著,使顆粒半徑逐漸增大,直至體系的壓強到達一個固定值(P=1 000 Pa)。然后采用共軛梯度法使顆粒體系卸載到實驗所需要的一系列壓強值。隨機改變初始樣品中顆粒的位置,重復上述過程,從而制備若干壓強相同二維顆粒填料。通過Hessian矩陣的簡正模式分析法得到該壓強下二維顆粒填料的平均振動態(tài)密度。圖3為計算得到的壓強分別為0.1、1、10、100、1 000、10 000 Pa的二維顆粒體系的態(tài)密度曲線。

圖3 二維無摩擦顆粒體系的振動態(tài)密度Fig.3 Vibronic density of states a two-dimensional frictionless particle system

圖4 雙對數(shù)坐標下二維顆粒體系的態(tài)密度Fig.4 Vibronic density of states a two-dimensional frictionless particle system in double logarithmic coordinates

圖5 雙對數(shù)坐標下二維顆粒體系過渡頻率隨壓強P的變化關(guān)系Fig.5 Variation of the two-dimensional system with pressure P in double logarithmic coordinates

3.3 三維顆粒體系的振動態(tài)密度

首先用PFC3D軟件在2 m×2 m×2 m立方體盒子中生成顆粒半徑在0.009～0.011 m平坦分布的2 048個光滑三維球形顆粒填料。x、y、z方向均采用周期性邊界條件。接著,使顆粒半徑逐漸增大,直至體系的壓強到達一個固定值(P=1 000 Pa)。然后采用共軛梯度法使顆粒體系卸載到實驗所需要的一系列壓強值。隨機改變初始樣品中顆粒的位置,重復上述過程,從而制備若干壓強相同三維顆粒填料。通過Hessian矩陣的簡正模式分析法得到該壓強下的平均振動態(tài)密度。圖5為計算得到的壓強分別為0.1、1、10、100、1 000、10 000 Pa的三維顆粒體系的態(tài)密度曲線。

由圖6可知,對于三維無摩擦顆粒體系,每個一壓強下的振動態(tài)密度曲線都呈現(xiàn)一個明顯的峰值,D(ω)先隨著ω的增大而增大,在到達峰值后隨著ω的增大而減小;而在不同壓強條件下,壓強越大,其態(tài)密度曲線相比于壓強較小條件下的態(tài)密度曲線,顯得更為“矮胖”,曲線底部的寬度增大,D(ω)的最高峰峰值越小,且峰值越靠右,即在取到峰值時,ω的值越大。

圖6 雙對數(shù)坐標下三維顆粒體系的態(tài)密度Fig.6 Vibronic density of states a three-dimensional frictionless particle system

圖7 雙對數(shù)坐標下三維顆粒體系的態(tài)密度Fig.7 Vibronic density of states a three-dimensional frictionless particle system in double logarithmic coordinate

圖8 雙對數(shù)坐標下三維顆粒體系隨壓強P的變化關(guān)系Fig.8 Variation of the three-dimensional system with pressure P in double logarithmic coordinates

4 結(jié)論

采用離散元法生成了不同維度和壓強下的顆粒體系,通過Hessian矩陣簡正模式分析法計算得到顆粒體系的態(tài)密度,進一步研究了維度和壓強對顆粒體系振動態(tài)密度的影響,得出以下結(jié)論。

(1)一維條件下,一維無摩擦顆粒鏈的態(tài)密度曲線不隨壓強的變化。在低頻處,態(tài)密度曲線幾乎不隨頻率變化;在高頻率處,態(tài)密度曲線隨著頻率增大呈現(xiàn)振蕩上升趨勢。