數(shù)學(xué)化：促進學(xué)生的數(shù)學(xué)建模

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效路徑。“生活原型”是數(shù)學(xué)建模的邏輯起點，“數(shù)學(xué)化”是數(shù)學(xué)建模的有效路徑。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的再創(chuàng)造，助推學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，同時要引導(dǎo)學(xué)生為數(shù)學(xué)模型賦予意義，讓學(xué)生變式遷移、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。在數(shù)學(xué)建模的過程中，教師要相機滲透數(shù)學(xué)思想、方法。數(shù)學(xué)建模能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)化

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程。所謂“數(shù)學(xué)建?！?，是指“用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題，用數(shù)學(xué)的語言描述問題的一種學(xué)習(xí)方式”。引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模，關(guān)鍵是將現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”。數(shù)學(xué)化，按照荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾的觀點，包括“橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化”。所謂“橫向數(shù)學(xué)化”，是“將生活化問題提煉、抽象成數(shù)學(xué)問題”，是“引導(dǎo)學(xué)生從生活世界走向符號世界的過程”。所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，是指“對數(shù)學(xué)知識的型塑，也就是對數(shù)學(xué)知識的歸納、抽象、概括、推理、推廣等”［１］。數(shù)學(xué)化，有助于促進學(xué)生數(shù)學(xué)建模。

一、生活原型：數(shù)學(xué)建模的邏輯起點

從某種意義上來說，數(shù)學(xué)模型都是具有現(xiàn)實生活原型的，都是對生活原型的抽象、提煉和概括。因此，“生活世界”中的豐富的“生活原型”是數(shù)學(xué)建模的根基，是數(shù)學(xué)建模的邏輯起點。在學(xué)生數(shù)學(xué)建模的過程中，教師要讓學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的實際原型有充分的了解，明確數(shù)學(xué)模型的原型特征。為此，教師要為學(xué)生提供貼近生活的學(xué)習(xí)背景，引導(dǎo)學(xué)生從生活世界中主動提煉相關(guān)的數(shù)學(xué)信息，并運用已有知識和經(jīng)驗，對提煉出的數(shù)學(xué)信息進行深度加工。這樣的一個過程，其實就是對生活問題、生活現(xiàn)象等不斷簡化、邏輯化、抽象化、概括化、形式化的過程。

數(shù)學(xué)模型是對客觀世界的一種數(shù)學(xué)化確證與表征，是對生活現(xiàn)象的一種邏輯化、概括化、符號化的提煉、抽象和概括。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分應(yīng)用相關(guān)的生活世界中的素材、資源等，尤其要應(yīng)用生活世界中與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的典型素材、資源等。比如教學(xué)“正反比例的量”時，教師必須為學(xué)生提供生活世界中相關(guān)的課程資源、素材等，或者讓學(xué)生自主收集生活世界中常見的量、量的關(guān)系等相關(guān)的現(xiàn)實背景下的課程資源、素材等。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主分析分類相關(guān)的課程資源、素材等，比如哪些量有關(guān)聯(lián)，哪些量沒有關(guān)聯(lián)？在有關(guān)聯(lián)的量中，這些量之間有著怎樣的關(guān)系？哪些量是一種擴大另一種也隨著擴大？在一種量擴大另一種量也隨著擴大的兩種量中，哪些量相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值也就是商保持一定？等等。借助生活化、典型化的課程資源、素材，學(xué)生可以展開深度思考、探索。如此，學(xué)生就能逐步抽象、概括出“成正比例的量的特征”，逐步建構(gòu)出“成正比例的量”的數(shù)學(xué)模型。教師要通過引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”，讓學(xué)生逐步深入數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)腹地。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師用數(shù)學(xué)建模的眼光觀察學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就是要充分發(fā)掘課程資源、素材中的建模因子，充分精選、優(yōu)化、打磨、完善數(shù)學(xué)知識的生活原型。有時候，為了教學(xué)需要，教師可以深度加工相關(guān)原型。

從學(xué)生的生活世界中精選、優(yōu)化數(shù)學(xué)知識的原型，能有效激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模興趣，調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)建模的積極性，發(fā)掘?qū)W生數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)造性，進而讓學(xué)生積極投入數(shù)學(xué)建模過程。挑選、精選、優(yōu)化數(shù)學(xué)原型素材，看似無足輕重，實則獨具匠心，不僅體現(xiàn)教師的教學(xué)設(shè)計、研發(fā)思想，更體現(xiàn)教師的數(shù)學(xué)化眼光、數(shù)學(xué)建模思想和觀念等。

二、經(jīng)歷創(chuàng)造：數(shù)學(xué)建模的教學(xué)演繹

按照荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的觀點，學(xué)生數(shù)學(xué)建模的過程，就是學(xué)生數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過程。對數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”，要求教師用建模的數(shù)學(xué)思想和觀念來指導(dǎo)自我的教學(xué)，這就是數(shù)學(xué)建模的教學(xué)演繹［２］。為此，教師要讓自己的數(shù)學(xué)教學(xué)切入學(xué)生數(shù)學(xué)建模的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生從自我的數(shù)學(xué)現(xiàn)實水平出發(fā)，經(jīng)由“再創(chuàng)造”，實現(xiàn)對相關(guān)知識的模型建構(gòu)，從而抵達學(xué)生的“可能發(fā)展水平”?！霸賱?chuàng)造”是數(shù)學(xué)建模的主要方式，不僅體現(xiàn)教師的教學(xué)智慧，更體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)機智。

在引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過程中，教師要適度、適時地指導(dǎo)，調(diào)控活動進程，讓學(xué)生經(jīng)歷從“生活原型”到“數(shù)學(xué)模型”的抽象、提煉、概括。比如教學(xué)“認(rèn)識乘法”時，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“算法建構(gòu)”的過程。因為“乘法模型”具有普適性的意義，在數(shù)學(xué)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，比如“單價乘數(shù)量等于總價”“工效乘工時等于工總”“速度乘時間等于路程”，比如“長方形的面積公式”“平行四邊形的面積公式”，等等?！俺朔Ｐ汀斌w現(xiàn)的數(shù)學(xué)意義有二：一是幾個相同加數(shù)的和的簡便運算，二是一個數(shù)的幾倍或幾分之幾。其中，相同數(shù)的連續(xù)相加是乘法模型的建構(gòu)基礎(chǔ)。因此，教學(xué)中教師要重點突出相同加數(shù)，并在相同加數(shù)連續(xù)擴張的過程中，催生學(xué)生“再創(chuàng)造”，如“5+5+5”“5+5+5+…+5（10個）”。通過這樣的富有強烈刺激的“相同加數(shù)”以及“相同加數(shù)的個數(shù)”，讓學(xué)生深刻感悟到“乘法是表示相同加數(shù)的和的簡便運算”，從而幫助學(xué)生建構(gòu)乘法模型——“a×b”。

建構(gòu)模型時，在引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識“再創(chuàng)造”的過程中，教師要淡化符號表達，彰顯意義表達，例如有學(xué)生將“a×b”表征為“a△b”“a※b”“ab”“a［ｂ個相加］”等。不同模型符號的“再創(chuàng)造”彰顯著學(xué)生的獨特性理解，體現(xiàn)著學(xué)生的個性化思維、個性化認(rèn)知。在數(shù)學(xué)建模的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深度思考、探究。從某種意義上來說，數(shù)學(xué)建模的過程，是對具有相同屬性的一類運算抽象、概括的過程。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，能有效鞏固學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)實踐能力。

三、賦予意義：數(shù)學(xué)建模的遷移應(yīng)用

教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，還要注重賦予模型意義，注重模型的具體化應(yīng)用。只有這樣，學(xué)生才能感受、體驗到數(shù)學(xué)模型的意義和價值所在。數(shù)學(xué)建模，是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法“從外走內(nèi)”的一種內(nèi)設(shè)性橋梁。賦予數(shù)學(xué)模型意義，能促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題的能力；賦予數(shù)學(xué)模型意義，能增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題的信心。

例如教學(xué)“梯形的面積”時，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)梯形面積模型后，教師呈現(xiàn)諸多應(yīng)用梯形面積模型可以解決的實際問題，能豐富梯形面積模型的意義，深化學(xué)生應(yīng)用梯形面積模型及變式。比如“一堆鋼管，最上面的一層可作為梯形的上底，最下面的一層可作為梯形的下底，層數(shù)可作為梯形的高，所以鋼管總根數(shù)可以看成梯形的面積”；比如“時鐘在六點敲六次可以看成梯形的上底，在十二點敲十二次可以看成梯形的下底，從六點到十二點時鐘一共敲擊了七次可以看成梯形的高，總敲擊次數(shù)就相當(dāng)于梯形的面積”，這是學(xué)生特有的具有創(chuàng)造性的聯(lián)想。不僅如此，在遷移、應(yīng)用梯形面積模型的過程中，有的學(xué)生結(jié)合已有知識和經(jīng)驗，將“三角形看成特殊的梯形”，即“三角形是上底為零的特殊梯形”；將“平行四邊形看成特殊的梯形”，即“平行四邊形是上底和下底相等的特殊梯形”；將“正方形看成特殊的梯形”，即“正方形是上底、下底和高都相等的特殊梯形”，等等。這樣的一種對梯形面積模型的變式遷移、創(chuàng)造應(yīng)用，能讓學(xué)生超越傳統(tǒng)的將梯形面積模型局限于圖形與幾何的領(lǐng)域，延伸拓展到“數(shù)與代數(shù)”等相關(guān)領(lǐng)域。賦予這樣一種意義，能深化學(xué)生對梯形面積模型的認(rèn)知，拓展學(xué)生對模型的意義的理解。

用數(shù)學(xué)建模思想來指引學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生統(tǒng)整相關(guān)數(shù)學(xué)知識的意義。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型不僅僅是為了獲得一個數(shù)學(xué)結(jié)論，更重要的是幫助學(xué)生從系統(tǒng)化、形式化、符號化的視角去把握現(xiàn)實世界，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法去刻畫、描述現(xiàn)實問題。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型再創(chuàng)造、變式應(yīng)用等過程后，學(xué)生就能初步形成一種“模型化”處理相關(guān)問題的能力、素養(yǎng)，就能感受、體驗到數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的意義。

四、感悟思想：數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗累積

對數(shù)學(xué)思想方法的感悟，是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的重要旨歸。數(shù)學(xué)建模，不能就問題建模而建模，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生建模后，對建模過程進行反思。要通過建模反思，幫助學(xué)生累積相關(guān)的數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗。數(shù)學(xué)模型蘊含著一定的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)建模過程同樣也滲透著一定的數(shù)學(xué)思想方法。教師引導(dǎo)學(xué)生感悟建模思想，能幫助學(xué)生積累、提煉、生成數(shù)學(xué)建模的活動經(jīng)驗。

例如教學(xué)“圓的面積”時，教師可以放手讓學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，如“圓通過剪拼轉(zhuǎn)化成長方形”“圓通過剪拼轉(zhuǎn)化成三角形”“圓通過剪拼轉(zhuǎn)化成梯形”等。在剪拼的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生比較不同的轉(zhuǎn)化方法，重點突出“轉(zhuǎn)化思想方法”在圓面積的推導(dǎo)過程中的作用。這里，不僅僅是將未知轉(zhuǎn)化為已知，更重要的是凸顯將彎曲轉(zhuǎn)化為筆直（化曲為直）的思想方法。不僅如此，在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)模型的過程中，還要突出“極限思想方法”的滲透、融入、應(yīng)用?！鞍选确殖伞确值姆輸?shù)越多，……越接近……”這樣的一種表述，不僅僅是一種概念化表述，更是極限思想方法的語言載體。“語言是存在的家園”（海德格爾語），在數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用抽象化、符號化、形式化的語言來描述模型的建構(gòu)過程，來刻畫模型的建構(gòu)結(jié)果。如此，學(xué)生就能感受、體驗到數(shù)學(xué)思想方法的神奇力量，就能感受、體驗到數(shù)學(xué)思想方法的一種熏染、啟迪。例如有學(xué)生建構(gòu)“圓的面積模型”時發(fā)出這樣的由衷感嘆：“隨著平均分的份數(shù)越來越多，圓就越來越接近長方形了；當(dāng)圓被平均分成無數(shù)等份時，圓就是長方形了……”這樣的感嘆，說明學(xué)生已經(jīng)深刻觸摸到了“極限思想”“極限方法”。在數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程中，教師要相機滲透、融入相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，諸如對應(yīng)思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、函數(shù)思想方法等。對數(shù)學(xué)思想方法的重視，一定能讓學(xué)生將數(shù)學(xué)建模上升到理性高度，充滿著一種理性味道。

數(shù)學(xué)建模是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要路徑。從某種意義上來說，任何一個數(shù)學(xué)知識點都是一個微型的數(shù)學(xué)模型。同樣，任何一個數(shù)學(xué)知識點的教學(xué)，都是一種建模教學(xué)。在數(shù)學(xué)建模的過程中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)化的再創(chuàng)造活動，還要注重賦予生活化的意義，注重數(shù)學(xué)模型的生活實踐應(yīng)用。只有從“數(shù)學(xué)化”“生活化”雙重視角開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，才能有效豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗。

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化；與其說是學(xué)習(xí)公理，毋寧說是學(xué)習(xí)公理化；與其說是學(xué)習(xí)形式，毋寧說是學(xué)習(xí)形式化?！被跀?shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)建模，能有效激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究。數(shù)學(xué)建模，應(yīng)當(dāng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)化的過程，培育學(xué)生數(shù)學(xué)化的眼光、數(shù)學(xué)化的大腦，這是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的應(yīng)然狀態(tài)和至高境界。

參考文獻：

［１］ 吳煒芬. 數(shù)學(xué)建模與小學(xué)數(shù)學(xué)相結(jié)合的教學(xué)探究［Ｊ］. 基礎(chǔ)教育研究，２０２１（１０）：７７－７８.

［２］ 蔡文平. 小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的意義和策略［Ｊ］. 教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），２０１６（１２）：６６－６８.

基金項目：江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究2019年度第十三期立項課題“基于小學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力發(fā)展的教學(xué)實踐研究”（2019JK13-L200）；江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃2020年度重點自籌課題“基于小學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力發(fā)展的教學(xué)轉(zhuǎn)型研究”（B-b/2020/02/39）。

作者簡介：劉國文（1977—），本科學(xué)歷，中小學(xué)高級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。