生新知，重育人

劉鳳 魏紹偉

【摘? ?要】“分段計(jì)費(fèi)”廣泛應(yīng)用于生活，是一種具有現(xiàn)實(shí)意義的數(shù)學(xué)知識。對該類問題的探究，能夠幫助學(xué)生鞏固小數(shù)乘法的基礎(chǔ)知識，積累解決問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂理念的引領(lǐng)下，以解決“分段計(jì)費(fèi)”問題的三個(gè)步驟為線索，從數(shù)學(xué)文化角度出發(fā)，挖掘其中的德育、智育、美育教學(xué)資源，遵循“數(shù)學(xué)思考—數(shù)學(xué)創(chuàng)造—數(shù)學(xué)欣賞—數(shù)學(xué)應(yīng)用”的探究模式開展教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在習(xí)得“分段計(jì)費(fèi)”相關(guān)知識的過程中，體會(huì)勤儉節(jié)約、保護(hù)環(huán)境的美好品德，發(fā)現(xiàn)車費(fèi)與行駛里程間“變與不變”的關(guān)系，感悟生活中的函數(shù)思想。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化教學(xué)；分段計(jì)費(fèi)；德育；智育；美育

【教學(xué)思考】

“分段計(jì)費(fèi)”是人教版教材五年級上冊“小數(shù)乘法”單元的教學(xué)內(nèi)容。本單元教材編排了小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)、積的近似數(shù)、整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到小數(shù)和解決問題等內(nèi)容。其中，為了培養(yǎng)和提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，教材安排了“分段計(jì)費(fèi)”的例題（例9），讓學(xué)生在實(shí)際背景的問題中，學(xué)會(huì)收集信息并選擇適合的方法來解決問題，在例題的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步掌握基礎(chǔ)知識、基本技能，提高小數(shù)的四則運(yùn)算能力以及解決問題的能力，積累解決問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

例9結(jié)合本單元的數(shù)學(xué)知識和學(xué)生的生活實(shí)際，以“李叔叔乘出租車付費(fèi)”為情境線索，設(shè)計(jì)了三個(gè)步驟引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程。第一步“閱讀與理解”重在理解題意，特別是對計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的理解。第二步“分析與解答”結(jié)合小數(shù)乘整數(shù)以及加法進(jìn)行列式并運(yùn)算，呈現(xiàn)兩種解決問題的思路和方法：一種是借助線段圖來分段計(jì)算；一種是先假設(shè)再調(diào)整，先都按照每千米1.5元計(jì)算，再加上前3km少算的。第三步“回顧與反思”設(shè)置了表格，給出了行駛里程取不同整數(shù)的情況，讓學(xué)生填寫應(yīng)收取的出租車費(fèi)用。

基于對數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源的理解，依據(jù)例9及練習(xí)四第7題“某市自來水公司為鼓勵(lì)節(jié)約用水，采取按月分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)”來組織學(xué)習(xí)素材，從而讓學(xué)生在“分段計(jì)費(fèi)”的學(xué)習(xí)中意識到節(jié)約資源的重要性，形成節(jié)約資源、不浪費(fèi)的優(yōu)良道德品質(zhì)。解決例9的第一步“閱讀與理解”，擬采用摘錄條件的方法和畫線段圖的方式，將抽象的語言轉(zhuǎn)化為直觀圖解，彰顯了數(shù)學(xué)美，歸為美育資源；在滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)探究行駛里程和計(jì)費(fèi)金額之間變與不變的關(guān)系，并滲透函數(shù)思想，因此將其歸為智育資源。第二步“分析與解答”擬采取用線段圖表示行駛里程來計(jì)算車費(fèi)的數(shù)形結(jié)合方式明確思維路徑，有利于探究解決問題的不同方法，歸為智育資源。第三步“回顧與反思”在回顧知識形成過程的同時(shí)，以表格形式直觀呈現(xiàn)問題與回答，歸為美育資源；進(jìn)一步呈現(xiàn)行駛里程與出租車費(fèi)的關(guān)系圖（實(shí)際為分段函數(shù)的圖象），深入滲透函數(shù)思想。

五年級學(xué)生對生活中水費(fèi)、電費(fèi)、打車費(fèi)等計(jì)費(fèi)方式已有一定的了解，且在本單元的學(xué)習(xí)中，掌握了小數(shù)乘法的基礎(chǔ)知識，積累了解決問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成了運(yùn)用小數(shù)乘法解決問題的基本技能。但理解抽象的分段計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，對學(xué)生來說仍是一個(gè)難點(diǎn)。基于上述分析，筆者制訂了本內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)。

1.德育目標(biāo)：聯(lián)系數(shù)學(xué)與生活，在解決分段計(jì)費(fèi)問題的過程中培育節(jié)約資源的優(yōu)良道德品質(zhì)。

2.智育目標(biāo)：鞏固小數(shù)乘法知識，重溫“單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)”的數(shù)學(xué)模型，在畫線段圖以及觀察計(jì)費(fèi)圖式的實(shí)踐活動(dòng)中，習(xí)得解決分段計(jì)費(fèi)問題的一般方法，體悟數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)。

3.美育目標(biāo)：將文字表述轉(zhuǎn)化為圖表，簡潔呈現(xiàn)出租車行駛里程與車費(fèi)之間的關(guān)系，感受數(shù)學(xué)圖形的美觀，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決問題的過程中體驗(yàn)美好，體悟數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中的“完美”。

【教學(xué)過程】

v教學(xué)模塊1：數(shù)學(xué)思考

活用教材中分段計(jì)費(fèi)的生活情境，進(jìn)一步深挖德育資源，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中其他分段計(jì)費(fèi)問題，同時(shí)結(jié)合例9內(nèi)容展開“閱讀與理解”，圍繞教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活”，感悟到節(jié)約能源的重要性和必要性，初步厘清出租車分段計(jì)費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)，由此制訂任務(wù)1和任務(wù)2。

任務(wù)1：聯(lián)系收水電費(fèi)等生活情境，理解分段計(jì)費(fèi)的實(shí)際意義，初步感知模型思想。

師：同學(xué)們，你們了解分段計(jì)費(fèi)嗎？生活中，我們在哪些地方見到過分段計(jì)費(fèi)？

生：知道。水費(fèi)、電費(fèi)的收取就是分段計(jì)費(fèi)。用水、用電越多，費(fèi)用越高。

［核心問題1］說一說怎么分段，為什么要進(jìn)行分段計(jì)費(fèi)。

生：家里的電費(fèi)超過一定度數(shù)，計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)就不同了，因此我們要節(jié)約用電。

生：還有打車費(fèi)，它分成起步價(jià)和超過起步價(jià)的部分，兩者的計(jì)費(fèi)方式不同。

師：可見分段計(jì)費(fèi)與我們的生活息息相關(guān)，實(shí)行分段計(jì)費(fèi)能幫助我們減少浪費(fèi)。這節(jié)課我們一起深入探究分段計(jì)費(fèi)問題。

任務(wù)2：剖析題目，厘清計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)“分段”變與不變的美妙。

教師用課件出示例題：出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是3 km以內(nèi)7元；超過3 km的部分，每千米1.5元（不足1 km按1 km計(jì)算）。李叔叔乘坐出租車行駛了6.3 km，需要付多少車費(fèi)？

師：題目中有哪些數(shù)學(xué)信息，怎么理解？

生：題目中說“不足1 km按1 km計(jì)算”，以此類推，超過1 km但不超過2 km要按照2 km算……所以題中的6.3 km要按7 km算。

師：車費(fèi)會(huì)有什么樣的變化？舉一個(gè)例子詳細(xì)說明。

（同桌之間互相舉例說一說，教師巡視指導(dǎo)）

生：路程小于3 km時(shí)，無論是1 km、 2 km還是2.3 km，都需要支付7元；若路程超過3 km，每增加1 km，車費(fèi)會(huì)多1.5元，比如行駛了3.1 km或4 km，就需要支付7+1.5=8.5（元）。

實(shí)施效果：學(xué)生能夠理解生活中的分段計(jì)費(fèi)問題，自主樹立節(jié)約資源的意識，明白分段計(jì)費(fèi)的原因與必要性，實(shí)現(xiàn)了“培育節(jié)約資源的優(yōu)良道德品質(zhì)”的德育目標(biāo)；學(xué)生通過分組合作，在交流與表達(dá)中分析、理解題目，突破了理解所提煉的關(guān)鍵信息的難點(diǎn)，并能舉例子說明對分段計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的理解，發(fā)現(xiàn)分段計(jì)費(fèi)問題中的變與不變，體會(huì)函數(shù)思想，初步達(dá)到“滲透思想方法”的智育目標(biāo)。

v教學(xué)模塊2：數(shù)學(xué)創(chuàng)造

繼續(xù)探究例9，圍繞教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，以深化對問題的理解，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，體會(huì)創(chuàng)造知識的快樂，由此制訂任務(wù)3和任務(wù)4。

任務(wù)3：數(shù)形結(jié)合，借助線段圖轉(zhuǎn)化題目，理解題意。

［核心問題2］用什么方法表達(dá)能使題目中的數(shù)量關(guān)系更清晰？

（學(xué)生獨(dú)立思考后與小組成員進(jìn)行交流，選擇用線段圖表示數(shù)量關(guān)系，如圖1所示）

生：可以用線段將路程分為兩段。第一段表示小于等于3 km的路程，第二段表示超過3 km的路程。線段終點(diǎn)表示7 km，因?yàn)椤安蛔?km按1 km計(jì)算”。

師：大家采用了文字、線段圖等多種方式來表示題目，其中線段圖是最受歡迎的，為什么？

生：線段圖方便而且清晰。

師：這兩段怎么計(jì)算？

生：第一段只付7元，第二段每多1 km加1.5元。

任務(wù)4：小組合作探究，解決分段計(jì)費(fèi)問題，體驗(yàn)成功解決問題的美好。

［核心問題3］根據(jù)這個(gè)計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，李叔叔應(yīng)該付多少元車費(fèi)？

（學(xué)生獨(dú)立思考后和小組成員分享思路和方法）

生：我們結(jié)合線段圖知道，6.3 km要按照7 km來算。第一段7元，第二段超出了7-3=4 km，4×1.5=6（元），最后相加，得出應(yīng)付13元。

師：能給這種方法取個(gè)名字嗎？說說你的理由。

生：分段計(jì)算法，這個(gè)名字可以提醒我們，要根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)分段計(jì)算。

師：還有其他方法嗎？

生：首先將6.3 km按照7 km來算，假設(shè)按照每千米1.5元計(jì)算，7 km共需支付10.5元；由于前面的3千米也是按照每千米1.5元計(jì)算的，只收了4.5元，應(yīng)補(bǔ)收7-4.5=2.5（元）。10.5+2.5=13（元），所以應(yīng)收13元。

師：假設(shè)很關(guān)鍵，我們把這種方法叫作假設(shè)法。假設(shè)法需要注意什么？

生：最后要補(bǔ)上少算的部分。

實(shí)施效果：學(xué)生基于已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)采用多種方式表征題目，并踴躍參與討論，將題目的文字表征轉(zhuǎn)化為圖形表征，強(qiáng)化了對題意的理解，感受到了圖形的簡潔性。學(xué)生能夠利用線段圖，結(jié)合小數(shù)乘法的知識經(jīng)驗(yàn)和“單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)”的數(shù)學(xué)模型，得出解決分段計(jì)費(fèi)問題的不同方法。創(chuàng)造知識后，學(xué)生的成就感得到滿足，實(shí)現(xiàn)了“習(xí)得知識技能”“滲透思想方法”的智育目標(biāo)和“感受美觀”“體驗(yàn)美好”的美育目標(biāo)。

v教學(xué)模塊3：數(shù)學(xué)欣賞

在解決問題后，圍繞教學(xué)目標(biāo)，沿用例9中的出租車價(jià)格表，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建解決分段計(jì)費(fèi)問題的知識體系，并歸納解決此類問題的一般步驟，設(shè)計(jì)觀察圖象的活動(dòng)以強(qiáng)化學(xué)生的思維，由此制訂任務(wù)5和任務(wù)6。

任務(wù)5：總結(jié)分段計(jì)費(fèi)的方法，內(nèi)化成解決該類問題的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步體悟線段圖解決問題的簡便。

［核心問題4］分段計(jì)算法和假設(shè)法的步驟分別是什么？

生：分段計(jì)算法是先按題意畫出線段圖，再逐段計(jì)算，最后相加。假設(shè)法是先假設(shè)，再找差價(jià)，最后調(diào)整。

師：你更喜歡哪種方法？說說理由。

生：我喜歡分段計(jì)算法，因?yàn)樗菀桌斫狻?/p>

生：我也喜歡分段計(jì)算法，它不但容易理解，而且計(jì)算簡單。

任務(wù)6：列表描述出租車價(jià)格和里程間的關(guān)系，觀察圖象，發(fā)展幾何直觀。

基本練習(xí)：

1.完成出租車價(jià)格表。

2.根據(jù)表格快速地說出行駛4.9 km、4.1 km和9.5 km需要的車費(fèi)。

3.下面哪幅圖表示了出租車費(fèi)用和行駛里程的關(guān)系？（? ? ?）

（學(xué)生獨(dú)立完成基本練習(xí)，全班交流基本練習(xí)3）

師：通過列表，我們能夠快速答出相應(yīng)里程的出租車費(fèi)用。此外，圖象也能讓信息直觀化。練習(xí)3中哪幅圖正確表示了出租車費(fèi)用和行駛里程間的關(guān)系？

生：我選擇D。因?yàn)槌^3 km不超過4 km都付8.5元，路程變了，金額不變。同理，路程超過4 km不超過5 km都付10元。

師：大家從“變”和“不變”的角度選出了答案，D選項(xiàng)呈現(xiàn)的圖象正是我們以后會(huì)學(xué)習(xí)的分段函數(shù)。那在什么條件下，答案會(huì)是A呢？

生：題目去掉“不足1 km按1 km計(jì)算”這一條件，那么在3 km之后，費(fèi)用才會(huì)隨著路程的增加而增加。

實(shí)施效果：學(xué)生能夠用自己的語言表達(dá)出分段計(jì)算法和假設(shè)法的解題步驟，內(nèi)化新知，在課堂上樂于表達(dá)自己的真實(shí)感受，體悟到數(shù)學(xué)問題解決中的簡便性和多樣性。在練習(xí)題中，學(xué)生能夠獨(dú)立完成基本練習(xí)1和基本練習(xí)2，但對基本練習(xí)3存在理解困難。教師放手讓學(xué)生觀察圖象，對其進(jìn)行辨析，并從中體會(huì)分段計(jì)費(fèi)的特點(diǎn)與函數(shù)思想，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。學(xué)生在分析問題的過程中發(fā)現(xiàn)變量與變量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了“習(xí)得知識技能”“滲透思想方法”“發(fā)展核心素養(yǎng)”的智育目標(biāo)。

v教學(xué)模塊4：數(shù)學(xué)應(yīng)用

為了呼應(yīng)教學(xué)模塊1，選用生活中的電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)表、教材練習(xí)四第7題的水費(fèi)分段計(jì)費(fèi)作為情境，并圍繞教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)變式練習(xí)，意在擴(kuò)展學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化，由此制訂任務(wù)7和任務(wù)8。

任務(wù)7：通過解決與生活密切聯(lián)系的分段計(jì)費(fèi)問題鞏固新知，落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想。

練習(xí)1：某市居民用電階梯電價(jià)收費(fèi)如下表。

王叔叔家本月的用電量為300千瓦時(shí)，應(yīng)繳電費(fèi)多少元？

練習(xí)2：某市自來水公司為鼓勵(lì)節(jié)約用水，采取按月分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)。12噸以內(nèi)每噸2.5元，超過12噸的部分，每噸4元。（1）小云家上個(gè)月的用水量為11噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？（2）小可家上個(gè)月的用水量為17噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？（3）小可家這個(gè)月繳水費(fèi)90元，他家用水量為多少噸？

任務(wù)8：總結(jié)解決分段計(jì)費(fèi)問題的一般方法，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)化，將數(shù)學(xué)的簡潔美升華至數(shù)學(xué)育人價(jià)值之美。

師：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了分段計(jì)費(fèi)的問題。我們可以按照標(biāo)準(zhǔn)分段，然后計(jì)算各段的總價(jià)，最后相加。那如果遇到更復(fù)雜的分段計(jì)費(fèi)問題怎么辦？

生：可以根據(jù)題目信息畫出對應(yīng)線段數(shù)的線段圖或者表格，再解決問題。

師：根據(jù)階梯電費(fèi)、水費(fèi)等問題，結(jié)合生活想一想，分段計(jì)費(fèi)有什么意義？

生：我國是人口大國，人人節(jié)約能夠節(jié)省很多資源。水也是一樣，如果我們不節(jié)約用水，地球上的最后一滴水就是我們的眼淚。分段計(jì)費(fèi)就是提醒我們要盡最大的努力節(jié)約資源。

生：我們要有意識地節(jié)約用水，沒有水就不可能有美麗的花草樹木，樹木、村莊和田地就會(huì)被沙漠侵蝕，影響我們的生活。

師：一道簡單的數(shù)學(xué)題里蘊(yùn)含著深刻的道理。其實(shí)生活中處處有數(shù)學(xué)，仔細(xì)觀察，我們還可以發(fā)現(xiàn)更多神奇的奧秘。

師：同學(xué)們可以嘗試用文字的形式記錄今天的所學(xué)、所想、所悟，也可提出自己關(guān)于分段計(jì)費(fèi)的疑問，或者其他解決分段計(jì)費(fèi)問題的方法……寫下你的數(shù)學(xué)小作文，和大家一起分享。

實(shí)施效果：學(xué)生面對新的問題情境與變式，能夠根據(jù)題目進(jìn)行分段并解決問題。在解決問題后，學(xué)生能踴躍分享分段計(jì)費(fèi)的現(xiàn)實(shí)意義，培養(yǎng)了節(jié)約用電、用水，杜絕浪費(fèi)的意識。嘗試撰寫數(shù)學(xué)小作文能夠進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考和自我反思的能力。這樣的學(xué)習(xí)過程能實(shí)現(xiàn)“培育節(jié)約資源的優(yōu)良道德品質(zhì)”的德育目標(biāo)，“習(xí)得知識技能”“滲透思想方法”“發(fā)展核心素養(yǎng)”的智育目標(biāo)和“體悟數(shù)學(xué)美好”的美育目標(biāo)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化目標(biāo)的協(xié)同作用。

【教學(xué)意蘊(yùn)解析】

這是一節(jié)充滿文化意味的數(shù)學(xué)課，學(xué)生經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)思考”“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”“數(shù)學(xué)欣賞”“數(shù)學(xué)應(yīng)用”四個(gè)探究過程，感受到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。在數(shù)學(xué)文化理念的引領(lǐng)下，學(xué)生感受到分段計(jì)費(fèi)的現(xiàn)實(shí)意義，體會(huì)到運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的便利之處，落實(shí)了數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。在教學(xué)中，教師通過挖掘教材中“李叔叔乘出租車付費(fèi)”的學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生圍繞4個(gè)核心問題展開探究，自主嘗試解決分段計(jì)費(fèi)的數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)知識的數(shù)學(xué)化和認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化。

教材中的例9是實(shí)際應(yīng)用的問題，呈現(xiàn)的素材和思路蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)文化元素。例如，從“分析與解答”出租車價(jià)格表的素材中能夠深挖智育元素，通過呈現(xiàn)出租車費(fèi)隨著行駛里程的增加而變化的圖象，直觀感受二者的聯(lián)系，體會(huì)函數(shù)思想。

實(shí)踐證明，正是教學(xué)素材和數(shù)學(xué)文化資源的挖掘與整合，催生出了具有育人價(jià)值的數(shù)學(xué)課：（1）在新知生成中培養(yǎng)良好品德，繼承、弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。在數(shù)學(xué)思考模塊，由學(xué)生尋找生活中的分段計(jì)費(fèi)問題，理解其實(shí)際意義；在數(shù)學(xué)應(yīng)用模塊，在應(yīng)用新知的同時(shí)彰顯分段計(jì)費(fèi)的必要性。隨著數(shù)學(xué)知識的生成，學(xué)生對節(jié)約、不浪費(fèi)的行為有了深刻的認(rèn)識，自主形成良好品德。（2）遵循教材邏輯，拓展素材，顯化函數(shù)思想。在數(shù)學(xué)思考模塊，引導(dǎo)學(xué)生初步感受車費(fèi)與行駛里程間“變與不變”的關(guān)系；在數(shù)學(xué)創(chuàng)造模塊和數(shù)學(xué)欣賞模塊，呈現(xiàn)反映二者關(guān)系的圖象，顯化行駛里程變化時(shí)收費(fèi)金額的變化，一步步彰顯函數(shù)思想。

總而言之，本節(jié)課所呈現(xiàn)的魅力正是數(shù)學(xué)文化智育、美育、德育資源相互依存、交互作用的結(jié)果。除此之外，數(shù)形結(jié)合思想及其體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)簡潔美貫穿本節(jié)課始終。三類資源的交織為學(xué)生的立德修身、智能發(fā)展和美育感知提供了實(shí)際支持，并讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)同和豐富班級的數(shù)學(xué)文化內(nèi)核，使數(shù)學(xué)課程的育人目標(biāo)真正落地。

（1.廣東省佛山市順德區(qū)鳳翔小學(xué)

2.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院）