核心素養(yǎng)立意的高考數(shù)學復習

［摘? 要］ 根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》編寫的《普通高中教科書·數(shù)學（2019年版）》發(fā)行了近四年，課程改革已經成型，然教學改革明顯滯后. 文章結合“解三角形”同課異構的案例，從核心素養(yǎng)的角度淺談高考數(shù)學復習.

［關鍵詞］ 數(shù)學思想；核心素養(yǎng)；方程思想；函數(shù)思想

問題提出

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（簡稱《數(shù)學課程標準》）指出：“高中數(shù)學課程以學生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神與創(chuàng)新意識，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).”［1］關于數(shù)學學科核心素養(yǎng)，章建躍教授在《核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究》（簡稱《教材教法研究》）中指出：“理性思維和科學精神是數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素（也指六大關鍵能力）的靈魂，所以發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學學科立德樹人的具體化……”［2］因此，高考數(shù)學復習應以發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)為追求，挖掘題材的育人功能，促進學生提升數(shù)學“六大關鍵能力”，達到立德樹人根本目的.

數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內涵

《數(shù)學課程標準》指出：“數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn).”［1］數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析，這幾方面既相互獨立又相互交融，是一個有機整體.

《數(shù)學課程標準》進一步指出：“數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展的基本途徑是數(shù)學學習與應用數(shù)學.”［1］因此，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要途徑之一在于應用數(shù)學，而解決問題是應用數(shù)學的重要體現(xiàn). 所以，高考數(shù)學復習要讓學生在掌握“四基”、提升“四能”的基礎上，有效發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).

“解三角形”的案例分析

筆者有幸參加了本市一次高三復習“解三角形”的同課異構活動，聽了一節(jié)好課，下面呈現(xiàn)這一節(jié)課之片段，供分享.

上課伊始，G老師安排了課前測試，題目如下.

課前測試（5分鐘）：

△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）=a.

（1）求A；

（2）若AD是BC邊上的中線，AD=，c=3，求△ABC的面積.

師生活動：學生獨立思考并作答，教師課堂巡視，針對性輔導學生. 3分鐘后G老師示意學生甲上黑板板書，如下：

（1）由2cosA（ccosB+bcosC）=a及正弦定理，得2cosA（sinCcosB+sinBcosC）=sinA，即2cosAsin（B+C）=sinA. 因為 A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA≠0，所以2cosA=1，即cosA=. 因為0

5分鐘測試結束，G老師與學生交流對話如下：

G老師：測試結束，請同學們停止作答. 第（1）問同學們基本上都能限時完成作答，我們先來看看甲同學的作答情況. 大家覺得他做得怎么樣？

生1：過程整潔，推理嚴謹，很好啊.

G老師：嗯，很規(guī)范，值得大家學習. 還有不同的解法嗎？

生乙：有，我跟他的解法不一樣.

G老師：好，投影出來讓大家相互學習.

生乙的解題過程如下：

（1）由余弦定理，得ccosB+bcosC=c·+b·=+=a. 因為2cosA（ccosB+bcosC）=a，所以2acosA=a. 因為a>0，所以cosA=，又0

生2：這樣也可以，可惜我沒有做下去……

G老師：嗯，乙同學做得很好，書寫規(guī)范，過程嚴謹. 請大家比較一下，他們兩人的解法有什么異同？

生3：乙同學利用余弦定理，將角化邊求得角A，而甲同學利用正弦定理，將邊化角求得角A. 兩人的解法不同，卻殊途同歸.

G老師：對. 他們選擇的知識工具不同，一個用的是正弦定理，一個用的是余弦定理. 還有嗎？有沒有相同點呢？

生4：相同點？

G老師：嗯.

生5：我懂了. 無論是邊化角，還是角化邊，都是“解方程——消元法”的應用.

G老師：對啦，你太厲害了，一下子就看穿了.

生4：原來是這樣……

G老師：請同學們繼續(xù)求解第（2）問，限時5分鐘. 建議大家發(fā)散思維，從不同的角度去攻擊問題.

5分鐘測試結束，G老師選取三位學生的作答情況投影出來，供班上學生交流學習.

學生丙的解答過程如下：

（2）設BD=DC=x，在△ABC中，由余弦定理，得4x2=b2+9-3b①；在△ABD中，由余弦定理，得9=x2+-x·cos∠ADB②；在△ACD中，由余弦定理，得b2=x2+-xcos∠ADC ③.

聯(lián)立①②③，結合∠ADB+∠ADC=π，得b=2或b=-5（舍），所以S△ABC=bcsinA=.

學生丁的解答過程如下：

（2）由=（+），得2=（2+2+2·），即=·（9+b2+3b），解得b=2或b=-5（舍），所以S△ABC=bcsinA=.

學生戊的解答過程如下：

（2）如圖2所示，建立平面直角坐標系，則A（0，0），B

生7：丙同學采用的是幾何法，多次用余弦定理求解；丁同學用向量法求解；戊同學建立坐標系，用坐標法求解.

G老師：非常好，總結到點子上了——他們分別采用幾何法、向量法和坐標法解題. 大家對比一下各解法的優(yōu)劣.

生7：向量法最好，效率最高.

生8：坐標法也很快呀.

生9：坐標法要建系、讀坐標，沒向量法快.

……

G老師：看來大家都有了自己的想法. 不過，就這道題而言，幾何法顯然復雜一些，向量法與坐標法占優(yōu). 可是，往往向量法與坐標法并用，才能得到更好的效果. 你們有印象嗎？

生10：對，立體幾何大題，求空間角或求空間距離，兩種方法并用.

G老師：嗯，很不錯，那么快就想起來了. 另外，請大家再想一想，剛才三位同學的解法有沒有相同之處？

生11：相同點？

G老師：沒錯，有沒有相同點呢？

生12：這個……

G老師：比如解題思想上有沒有相同之處？

生13：老師，他們的解題思想一致，都是建立方程或方程組解題.

G老師：大家說對不對？

生14：對哦，方程思想.

G老師：是的，他們都能根據(jù)方程思想去建立方程或方程組，只是他們建立方程的依據(jù)不一樣而已. 求解與三角形有關的問題，常?？梢赞D化為某個或某些量，此時需要建立方程或方程組，這是經驗，也應該成為常識. 當然，這類問題有時會轉化為求某個量的取值范圍或最值，這屬于函數(shù)問題.

……

點評 在這個案例中，G老師沒有直接講解測試題如何解答，測試過程也沒有作任何提示，而是讓學生獨立解題，巡視中給予個別學生必要的幫助. G老師這樣做的目的，是為了診斷學情，發(fā)現(xiàn)問題，為針對性教學做好鋪墊.

測試結束后，G老師并沒有“喧賓奪主”地進行講解，而是引導學生進行解題評價，其中不失時機地鼓勵學生創(chuàng)新解法，力求解法多樣. G老師有意營造“百家爭鳴”的探究氛圍，其目的是讓學生充分調動有關知識經驗解題. 其中，求解第（1）問，既可以利用正弦定理，又可以利用余弦定理；求解第（2）問，既可以利用余弦定理建立方程，又可以利用向量法或坐標法建立方程. 不同解法在課上交流，有利于完善學生的知識結構，豐富學生的解題經驗，進而達到夯實“四基”、提升“四能”的目的，為發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)積蓄動力.

這一課，G老師通過一題多解的方式，充分調動學生數(shù)學思維與探究熱情，取得了較好的成效. 一題多解，其實質是要求學生根據(jù)問題情境，靈活調用已有知識和經驗，通過聯(lián)想、比較、歸納、類比、分析、綜合等思維方式，從不同角度、不同側面去攻擊問題，最終達到用不同途徑、不同方法解決同一問題的目的. 因此，一題多解，既有利于學生掌握“四基”、提升“四能”，又有利于學生發(fā)展數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模等核心素養(yǎng).

此外，G老師在課上重視從數(shù)學思想方法的角度去提煉解法，這有利于學生抓住解題要領，把握問題解決的關鍵. 學生解題難以突破，多半是想不到和不會想. 究其根源，是缺乏對數(shù)學思想方法的深刻理解. 因此，G老師在解題實踐中，有意滲透數(shù)學思想方法，這對于學生解題能力的提升大有裨益. 在上述案例中，盡管第（2）問的三種解法所用的知識不同，但三種解法都受方程思想的指引而被發(fā)現(xiàn)，三種解法均為了建立方程模型的需要而產生. 從這個角度來看，由于數(shù)學思想方法對解題有“方向”引領的作用，因此它對數(shù)學建模、數(shù)學推理都有顯著的促進作用.

核心素養(yǎng)立意的高考數(shù)學復習探討

綜合上述案例分析，筆者認為，以發(fā)展核心素養(yǎng)為追求，高考數(shù)學復習應做到如下幾點.

1. 夯實“四基”、提升“四能”

章建躍教授在《教材教法研究》中明確指出：“掌握數(shù)學知識是發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的前提. 離開知識的理解與應用，核心素養(yǎng)的發(fā)展將成為一句空話.”［2］因此，以發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)為追求，高考數(shù)學復習首先要夯實“四基”、提升“四能”.

第一，要讓學生有反復理解教材中基本而重要的數(shù)學概念的機會，讓學生多次經歷數(shù)學對象（概念）的歸納、概括過程，提升其直觀想象、數(shù)學抽象等素養(yǎng)；第二，要讓學生有多次推理、論證教材中基本而重要的公式、定理、性質的機會，讓學生多次經歷“發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，提升其數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng)；第三，要讓學生有反復應用教材中重要的概念、公式、定理、性質去解決問題的機會，讓學生經歷數(shù)學建模與數(shù)據(jù)分析的全過程，提升其數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模等素養(yǎng).

學生只有扎實掌握“四基”、提升“四能”，才能有效發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)，才能在課程改革、高考改革的浪潮中行穩(wěn)致遠，取得優(yōu)秀的成績.

2. 把握“數(shù)學現(xiàn)實”，遵循認知規(guī)律

荷蘭數(shù)學家、數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，數(shù)學源于現(xiàn)實，必然扎根于現(xiàn)實，并且應用于現(xiàn)實，而且每個學生有各自不同的“數(shù)學現(xiàn)實”. 因此，筆者認為高三數(shù)學復習，教師應充分了解學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，要清楚學生的需求（弱項）是什么，才能展開針對性復習，取得較好的備考效果.

把握學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，其實質是在學生的最近發(fā)展區(qū)展開教學，最大限度地激發(fā)學生思考與探究，提升學生的數(shù)學學習興趣與數(shù)學思維能力；把握學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，其實質是以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為導向，根據(jù)學生的認知規(guī)律，科學地安排復習內容，讓學生有反復理解與應用重要的數(shù)學知識、思想方法的機會，使學生在夯實“四基”、發(fā)展“四能”的過程中有效發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).

3. 力求一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維、創(chuàng)新思維

發(fā)散思維，又稱輻射思維、放射思維、擴散思維或求異思維，是指大腦在思維時呈現(xiàn)的一種擴散狀態(tài)的思維模式——百度釋義. 它表現(xiàn)為思維視野廣闊，思維呈現(xiàn)出多維發(fā)散狀. 不少心理學家認為，發(fā)散思維是創(chuàng)新思維的最主要特點，是測定創(chuàng)造力的主要標志之一.

培養(yǎng)發(fā)散思維的重要途徑之一是一題多解. 學生在一題多解的探究過程中，充分調動已有知識和經驗，積極聯(lián)想、比較、歸納、類比、分析、綜合，尋求從不同方向破解問題. 因此，在高三數(shù)學復習教學中，教師應積極嘗試一題多解，充分調動學生的數(shù)學思維，激發(fā)學生的探究興趣，讓學生在解題實踐中夯實“四基”、提升“四能”，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).

4. 突出數(shù)學思想方法，促進核心素養(yǎng)發(fā)展

數(shù)學思想是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人們的意識中，經過思維活動而產生的結果，是對數(shù)學事實與理論經過概括后產生的本質認識.

數(shù)學思想在解題中的作用是明確解題實踐中的“方向”問題，常常也作為解題方法有效破解問題. 比如，上述案例中的兩個問題都可以轉化為求解某個或某些量的問題，根據(jù)經驗或常識，學生會自覺地建立方程模型求解. 這個過程體現(xiàn)了轉化思想與方程思想，而這些思想方法在解題實踐中具有廣泛性. 正因為如此，有學者毫不掩飾地稱：“掌握數(shù)學思想，就是掌握數(shù)學的精髓. ”

正如前文所述，由于數(shù)學思想方法對解題有“方向”引領作用，因此它對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升有顯著的促進作用. 數(shù)學思想方法解決了解題的“方向”問題，而學生只有明確了解題“方向”，才能有效進行數(shù)學建模、數(shù)學運算，才能精準展開邏輯推理. 總之，在高三數(shù)學復習教學中，教師要在解題教學中突出數(shù)學思想方法，其根本目的是促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升.

結束語

2022年的數(shù)學高考Ⅰ卷可謂讓人耳目一新，同時又引人深思. 考試結束后，一時間社會上“訴難”情緒彌漫，考生、教師、家長都抱怨太難了. 2022年的數(shù)學高考Ⅰ卷真的難上天了嗎？筆者實在不敢茍同. 誠然，2022年的數(shù)學高考Ⅰ卷的個別題目與往年同類題目相比是難了一些，但大部分題目，情境設置新穎，褪去了以往“常規(guī)”的衣裳，要求考生能有效排除干擾，抓住問題本質，靈活調用知識方法解題. 因此，筆者認為2022年的數(shù)學高考Ⅰ卷考查的正是考生的“四基”“四能”以及數(shù)學學科核心素養(yǎng)，有效地為黨和國家選拔出了優(yōu)秀人才.

數(shù)學新課程改革已然成型，新教材落地將近四年，高考改革有目共睹，那么教學改革也應積極行動. 最后，借章建躍教授在《教材教法研究》中語重心長的一席話供讀者反思、共勉：“本輪高中數(shù)學課程標準修訂工作的一個顯著特點是回歸數(shù)學學科本質，回歸數(shù)學教育的本來面目，注重發(fā)揮數(shù)學學科獨特的育人功能……數(shù)學教育要發(fā)揮數(shù)學的內在力量，數(shù)學教學不能搞花架子，要努力把數(shù)學教好，教好數(shù)學就是落實核心素養(yǎng).”［2］

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.

作者簡介：許永華（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數(shù)學教育教學工作，曾獲廣東省教育教學成果獎一等獎、廣州市教學成果獎（未評等級）.