特殊化原則的理論探析與教學(xué)思考

李亞瓊 徐文彬 寧連華

【摘 要】 特殊化原則是將問題轉(zhuǎn)化為特殊情形，通過對(duì)特殊進(jìn)行分析去尋求一般，以獲得關(guān)于所研究對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系，從而找到解決問題的方向、途徑或方法的思維方式.特殊化原則的使用過程蘊(yùn)含化歸思想、“以退求進(jìn)”等策略，具體表現(xiàn)有：概念特殊化、解決問題特殊化或命題特殊化等.特殊化原則的思維具有多元性與多向性、程度性與抽象性、條件性及解釋性等特性.特殊化原則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思維方式，結(jié)合特殊化原則的理論思考，從“幾何”“函數(shù)”“數(shù)與式”及“銳角三角函數(shù)”4個(gè)知識(shí)主線思考教學(xué)落實(shí).

【關(guān)鍵詞】 特殊化原則；維維亞尼定理；多元性與多向性；條件性與解釋性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程，注重引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用猜測(cè)、推理、想象等方法分析問題和解決問題，從而促進(jìn)學(xué)生體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法 [1] .這里的猜測(cè)、推理、想象等蘊(yùn)含由特殊看一般的思維方法，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)可以先看特殊情況，然后從特殊情況的結(jié)果推廣到一般情況，這樣的學(xué)習(xí)過程蘊(yùn)含“特殊化”的思維方法.

1 問題的提出（“一段三角關(guān)系”）

引例 假設(shè)一個(gè)任意正三角形（如圖1所示），對(duì)于三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P，考慮它和三邊的垂直距離x，y，z.對(duì)于距離和x+y+z，可以得出什么結(jié)論？ [2] 圖1 三角形內(nèi)一點(diǎn) ?圖11 P點(diǎn)在三角形____與三邊的距離_____的頂點(diǎn)

為了猜想一般結(jié)論，不妨可以先研究一些特例.比如，將P點(diǎn)移至三角形的某個(gè)頂點(diǎn)（如圖11），于是P點(diǎn)和兩邊的距離為0，此時(shí)與對(duì)邊的距離就變成三角形的高h(yuǎn).由此，就可以作出猜想：距離和x+y+z=h.將P點(diǎn)移至三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，這是一種相當(dāng)大的“讓步”，以退求進(jìn)式的探索，目的是給猜想提供方向.

下面繼續(xù)推進(jìn)，思考稍微一般性的特例，不妨可以讓P點(diǎn)移至三角形的其中一條邊上.由圖12易知，△ABP≌△PCA（三個(gè)角均對(duì)應(yīng)相等，斜邊重合），于是可得y+z=h，因?yàn)閤=0，所以x+y+z=h.圖12 P點(diǎn)在三角 ?圖13 P點(diǎn)在三角形 ?形的邊上______ 的任意位置

由此繼續(xù)推進(jìn)研究進(jìn)程，事實(shí)上，P點(diǎn)在三角形內(nèi)的任何位置，均可以借鑒以上特殊情況，于是作出如圖13的處理：過P點(diǎn)作線段DE與AB平行，分別交邊AC和BC于點(diǎn)D和E，則△CDE也是正三角形.于是由上面的特例可知，y+z=h*，又易知，h=h*+x，因此可得，x+y+z=h，這樣便驗(yàn)證了猜想并得出了一般情形的結(jié)論.這便是維維亞尼定理的基礎(chǔ)幾何定理，是以意大利數(shù)學(xué)家維維亞尼（Vincenzo Viviani，1622—1703）來(lái)命名的 [2]129 .這個(gè)定理有個(gè)漂亮的應(yīng)用：x+y+z=常數(shù)的三個(gè)量的連比x∶y∶z，可以用三角形里的一點(diǎn)來(lái)表示，這便是三線坐標(biāo).

引例先驗(yàn)證合適的特例，再嘗試使用已經(jīng)證明的特殊情況解釋一般情況或者更多的特例，然后再?gòu)奶厥馇闆r推到一般情況，這便蘊(yùn)含特殊到一般的思維方法.用特殊研究一般的數(shù)學(xué)思維方法經(jīng)常運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中，稱之為“特殊化原則”，本文將研究該思維方法的理論機(jī)制，并結(jié)合理論探索思考如何具體運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐.

2 “特殊化原則”的思維結(jié)構(gòu)

首先來(lái)分析特殊化的涵義，基于此再來(lái)探索特殊化原則的表現(xiàn)形式和思維特性.

2.1 特殊化的涵義

特殊化是把研究對(duì)象或問題從原有的范圍縮小到較小范圍或個(gè)別情況進(jìn)行考查的思維方法.由于一般性總是寓于特殊性之中，所以要研究某一對(duì)象或問題時(shí)，就可以先考察它的若干個(gè)特殊情況，利用各個(gè)特殊情況中包含的共性與個(gè)性，通過比較與歸納、分析與綜合來(lái)把握原有對(duì)象或問題的有關(guān)性質(zhì) [3] .引例中便運(yùn)用特殊情形（分別將P點(diǎn)移至三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，P點(diǎn)移至三角形的其中一條邊上，繼而P點(diǎn)在三角形內(nèi)的任何位置）對(duì)結(jié)論進(jìn)行猜想，然后一步步推進(jìn)到更一般的情形.在思考一般情形時(shí)，又再次借鑒特殊情形的思考策略去考慮，由此驗(yàn)證出一般情形時(shí)結(jié)論的成立.特殊化原則是視原問題為一般，構(gòu)造特殊問題，通過對(duì)特殊問題的探究而獲得原問題的解決，其中把特殊化作為轉(zhuǎn)化的策略.所以，特殊化原則蘊(yùn)含化歸思想，是將問題化歸為特殊情形 [4] ，然后在特殊情形基礎(chǔ)上解決一般情形問題的方法.

2.2 特殊化原則的思維特性

特殊化原則中蘊(yùn)含“退”的策略，即“以退求進(jìn)”的思維方法.所謂“退”就是從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單，從一般退到特殊，從抽象退到具體，從一般條件（位置）退到特殊條件（位置）等.比如，引例中，便是先退到“P點(diǎn)移至三角形的某個(gè)頂點(diǎn)”“P點(diǎn)移至三角形的其中一條邊上”，繼而找到對(duì)一般結(jié)論的猜想方向（x+y+z=h）.同時(shí)對(duì)一般情形（P點(diǎn)在三角形內(nèi)的任何位置）的思考時(shí)，又通過構(gòu)建類似特殊情形（P點(diǎn)移至另一個(gè)正三角形的其中一條邊上）繼續(xù)借鑒思考，可以看出特殊中蘊(yùn)含一般，同時(shí)一般中又滲透對(duì)特殊的借鑒.

正如華羅庚先生所說，退到最原始而又不失去重要的信息，把特殊的弄清楚，獲得解題思路或者解題方向，從而猜想一般問題的結(jié)論，然后再“進(jìn)”到一般性問題上來(lái)，具體表現(xiàn)有：極端值原則、特例、反例等 [5] .當(dāng)然，在研究問題時(shí)可以將研究問題或?qū)ο罂闯梢话阈詥栴}或?qū)ο螅凑赵黾蛹s束條件，取其局部或個(gè)別情形進(jìn)行考查等方式得出.通過對(duì)特殊和個(gè)別的分析去尋求一般，以獲得關(guān)于所研究對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系等認(rèn)識(shí)，找到解決問題的方向、途徑或方法.

對(duì)于一個(gè)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，總是由表及里、由定量到定性.對(duì)特殊化原則的思維特性的探析也需要這樣的過程.（1）多元性和多向性.從一般對(duì)象過渡到特殊對(duì)象的具體實(shí)現(xiàn)途徑有很多種，這就體現(xiàn)特殊化原則的多向性和多元性.多向性是指可以沿著不同的方向進(jìn)行特殊化，多元性蘊(yùn)含殊途同歸性，多元性是多向性的一種特殊表現(xiàn)（具體見圖2）.（2）程度性和抽象性.特殊化原則的多元性和多向性就決定了特殊化原則的程度性，在數(shù)學(xué)探究中運(yùn)用特殊化原則，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的過程.（3）條件性及解釋性.一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能否實(shí)現(xiàn)某種特殊化，是與某些條件是否具備相關(guān)的，所以特殊化原則使用時(shí)具有條件性，比如引例中是在正三角形這樣的背景下進(jìn)行的；特殊情形的結(jié)論可以解釋或猜測(cè)一般情形的結(jié)論，而對(duì)一般情形結(jié)論的思考可以借鑒特殊情形結(jié)論的探究方法或策略，因此特殊性原則具有借鑒性和解釋性（具體見圖3），對(duì)知識(shí)的特殊化、具體化就是對(duì)事物的一種理解，體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化.

2.3 特殊化原則的表現(xiàn)形式

“一般到特殊”及“特殊到一般”是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)兩個(gè)相互聯(lián)結(jié)的環(huán)節(jié).學(xué)習(xí)活動(dòng)中，這兩個(gè)環(huán)節(jié)總是循環(huán)互生的，即學(xué)生首先需要認(rèn)識(shí)某知識(shí)的特殊本質(zhì)，才能更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)知識(shí)的一般本質(zhì).當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了某知識(shí)一般屬性后，才能以此為基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)指導(dǎo)自己繼續(xù)認(rèn)識(shí)新的知識(shí)，繼而使得認(rèn)識(shí)過程不斷深化.數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)知識(shí)及理論體系中處于基礎(chǔ)的地位，所以特殊化的具體表現(xiàn)形式首先是“概念形成的特殊化”.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是不斷提出問題、解決問題的過程，于是特殊化的另一表現(xiàn)形式為“解決問題的特殊化” [5]94 .當(dāng)問題解決后，其結(jié)果在數(shù)學(xué)理論體系中以命題形式出現(xiàn)，所以特殊化的第三種表現(xiàn)形式為“命題的特殊化”.

（1）特殊化滲透概念教學(xué)

數(shù)學(xué)對(duì)象往往是由某些性質(zhì)規(guī)定或刻畫的實(shí)體，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的變換可從性質(zhì)和實(shí)體兩個(gè)方面的變換來(lái)進(jìn)行，特殊化也是這樣進(jìn)行的，特殊化滲透概念教學(xué)時(shí)蘊(yùn)含“現(xiàn)象—表象—抽象”的過程.數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí)表征的特殊性，其中嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、符號(hào)化、結(jié)構(gòu)化等是數(shù)學(xué)的典型特征，這導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念、命題的教學(xué)需要?jiǎng)討B(tài)建構(gòu).因數(shù)學(xué)概念表現(xiàn)形式具有多樣性，所以在教學(xué)中，學(xué)生需要充分直觀感受數(shù)學(xué)認(rèn)知對(duì)象，才能逐漸抽象出知識(shí)的本質(zhì)特征，繼而規(guī)范出知識(shí)概念，充分直觀感受的過程便蘊(yùn)含特殊化，抽象出一般知識(shí)表征的過程便蘊(yùn)含由特殊到一般和歸納，再將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用的過程，又體現(xiàn)一般到特殊和演繹.所以特殊化原則在概念課教學(xué)中的運(yùn)用總伴隨“特殊到一般”“一般到特殊”的循環(huán)互生.

（2）解決數(shù)學(xué)問題的特殊化

在解決問題時(shí)，特殊化也是特別有用的方法，主要表現(xiàn)為：特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊值等.問題特殊化在求定值、定點(diǎn)問題時(shí)經(jīng)常適用，比如求y=a（x－2）+3所過的定點(diǎn)，由于a的任意性，所以直接令x－2=0，于是得出定點(diǎn)為（2，3），這樣的處理過程體現(xiàn)問題的特殊化.

當(dāng)然，有時(shí)解決一個(gè)問題時(shí)，并不需要問題本身的特殊化，只需考慮問題的某些特殊方面，即考慮其某些特殊的構(gòu)成對(duì)象或某些特殊的關(guān)系.利用特殊化原則解題時(shí)，對(duì)個(gè)別特殊情況的討論，往往蘊(yùn)含解決問題的關(guān)鍵策略，可以提示問題的解決方向 [6] .可以從特殊化問題求解的關(guān)鍵性步驟中找到解決一般性問題的方向或突破口，尋求到有益的啟示，從而發(fā)現(xiàn)一般化問題的解題關(guān)鍵.

（3）命題的特殊化

命題特殊化是數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)方式之一，數(shù)學(xué)定理的推論便是命題的特殊化.比如命題“直徑所對(duì)的圓周角是直角”便是“同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半”的特殊情況.命題的特殊化實(shí)質(zhì)體現(xiàn)對(duì)命題的解釋性，從邏輯意義上看，一個(gè)命題的結(jié)論特殊化的情形越多，則該命題包含的信息越多，于是該命題越具有一般性.波利亞說過，強(qiáng)化條件或減弱結(jié)論是對(duì)命題特殊化變換的兩個(gè)基本手段 [5]97 .

2.4 特殊化原則在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維中的價(jià)值

特殊化原則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思維方式，運(yùn)用特殊化原則有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維、合情推理能力、探索與創(chuàng)新能力等.直覺思維是數(shù)學(xué)思維的基本形式之一，直覺思維以學(xué)生已有知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，對(duì)研究的問題提出合理的猜測(cè)和假設(shè)，過程中蘊(yùn)含頓悟與發(fā)現(xiàn).特殊化原則側(cè)重于運(yùn)用特殊化的策略，挖掘問題中隱含的特殊條件和內(nèi)在聯(lián)系，這樣的過程可以培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，思維過程蘊(yùn)含非邏輯性和突發(fā)性 [7] .特殊化原則側(cè)重宏觀上的探索，暫時(shí)忽略邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，重在發(fā)現(xiàn)關(guān)系找出規(guī)律，其表現(xiàn)為結(jié)合一定的數(shù)學(xué)依據(jù)進(jìn)行探索的過程，而這便是合情推理的思維特點(diǎn).當(dāng)然特殊化原則的使用中，既需要合情推理也需要邏輯推理，以得到更一般結(jié)論的嚴(yán)格說明.此外，特殊化原則在探索思路、發(fā)現(xiàn)問題中起到導(dǎo)引作用，其體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的發(fā)現(xiàn)性.教學(xué)過程中滲透特殊化原則可以培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造力.

3 特殊化原則的教學(xué)思考

基于以上對(duì)特殊化原則的理論剖析，教師需要在教學(xué)中嘗試滲透特殊化策略，以達(dá)到對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng).初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要結(jié)合特殊化原則的理論思考，貫穿于知識(shí)教學(xué)中，下面主要從“幾何”“函數(shù)”“數(shù)與式”“銳角三角函數(shù)”4個(gè)知識(shí)主線去思考教學(xué)落實(shí).

3.1 幾何中的運(yùn)用

圓的知識(shí)學(xué)習(xí)中，學(xué)生在靈活運(yùn)用上較為困難.究其原因，就是圓的性質(zhì)和要素較多，有時(shí)還需要借助輔助線去優(yōu)化解題.而在解決圓的相關(guān)問題時(shí)，特殊化原則會(huì)起到很重要的作用，比如下面的例子中，便很好地滲透了特殊化原則的運(yùn)用過程，同時(shí)也優(yōu)化了解題思路.

例1 （1）如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D， AE = AB ，BE分別交AD，AC于點(diǎn)F，G.判斷△FAG的形狀，并說明理由.（2）如圖5，若（1）中的條件變?yōu)椤包c(diǎn)E與點(diǎn)A在直徑BC的兩側(cè)，BE，AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，AD的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)F”，其余條件不變，判斷△FAG的形狀，并說明理由.

分析 結(jié)論：△FAG均為等腰三角形.第（1）題是較為特殊的情形，即點(diǎn)A和點(diǎn)E在直徑BC的同側(cè)，此時(shí)較為容易判斷△FAG的形狀.隨后，在說明“點(diǎn)E與點(diǎn)A在直徑BC的兩側(cè)”時(shí)，可以類比同側(cè)的特殊情形證明更一般情形.具體說明如下：

（1）如圖4，因?yàn)锽C是⊙O的直徑，所以∠BAC= 90 °（直徑所對(duì)的圓周角是直角），

所以∠ABE+∠AGB= 90 °.因?yàn)锳D⊥BC，所以∠DAC+∠ACB= 90 °.

又因?yàn)?AE = AB ，所以∠ABE=∠ACB（等弧所對(duì)的圓周角相等），

所以∠AGB=∠DAC，所以△FAG為等腰三角形.

（2）如圖5，因?yàn)锽C是⊙O的直徑，所以∠BAC= 90 °（直徑所對(duì)的圓周角是直角）.

所以∠ABG+∠AGB= 90 °.因?yàn)锳D⊥BC，所以∠DAC+∠ACD= 90 °.

又因?yàn)?AE = AB ，所以∠ABG=∠ACB（等弧所對(duì)的圓周角相等）

所以∠AGB=∠DAC.即∠AGF=∠FAG.所以△FAG為等腰三角形.

在以上證明過程中，便利用當(dāng)問題條件由特殊變一般，結(jié)論不變.此時(shí)可以借鑒特殊條件時(shí)的證明思路（“同余”），對(duì)一般情形的結(jié)論加以證明.教學(xué)中，使用特殊化原則蘊(yùn)含思維的抽象性、解釋性和借鑒性的特點(diǎn).

3.2 函數(shù)中的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，特殊化原則也經(jīng)常滲透于函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)）知識(shí)教學(xué)中.

例2 （2014玄武一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y=ax+b圖象與二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象交于點(diǎn)A，B.其中，a，b均為非零實(shí)數(shù).

（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，求AB的長(zhǎng);

（2）當(dāng)a>0時(shí)，請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示△AOB的面積;

（3）當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)時(shí)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為B′.若二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y=ax的圖象上，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示△ABB′的面積.

分析 對(duì)第（1）問的思考，主要基于a=b=1特殊情況出發(fā)，將函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立得方程組，求得方程組的解，所對(duì)應(yīng)的即為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理將點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度，從而解決問題.第（2）問，將情況推廣到一般，即當(dāng)a>0，b為任意時(shí)，學(xué)生需要由具體（特殊）思考抽象（一般），計(jì)算出A（－ba，0），B（1，a+b），借助分類討論（b>0;－a0和a<0）從而解決問題.

3.3 數(shù)與式中的運(yùn)用

數(shù)與式部分經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)找規(guī)律題型，這些題的思考中，需要教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊情形中歸納出一般情形的結(jié)論，并驗(yàn)證.這樣的知識(shí)載體與特殊化原則的融合運(yùn)用，也蘊(yùn)含培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力.

例3 觀察下列等式：x1=1+112+122=1+11×2，x2=1+122+132=1+12×3，

x3=1+132+142=1+13×4，……

（1）根據(jù)以上規(guī)律歸納出：

①x5==；

②xn==.

（2）請(qǐng)證明（1）中②這個(gè)等式.

分析 特殊化原則在數(shù)與式中的運(yùn)用，一般會(huì)以找規(guī)律的樣態(tài)出現(xiàn)，比如，例3中根據(jù)已知的條件，續(xù)寫x5=1+152+162=1+15×6，由特殊情形的幾個(gè)例子猜測(cè)更一般的情形xn=1+1n2+1（n+1）2=1+1n×（n+1），這樣的過程需要學(xué)生的歸納能力和類比能力.驗(yàn)證xn表達(dá)式成立的過程，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力，靈活運(yùn)用數(shù)與式運(yùn)算技巧，才能實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的“突破”.

（驗(yàn)證過程：左邊=xn=n4+2n3+3n2+2n+1n2（n+1）2=（n4+2n3+n2）+（2n2+2n+1）n2 （n+1） 2=n2 （n+1） 2+2n（n+1）+1n2 （n+1） 2=［n（n+1）+1］2n2 （n+1） 2=n（n+1）+1n（n+1）=1+1n（n+1）=右邊，所以結(jié)論得證?。?/p>

3.4 銳角三角函數(shù)中的運(yùn)用

特殊化原則的運(yùn)用，需要以真實(shí)情境為背景，以具體知識(shí)為載體，選擇有針對(duì)性的對(duì)解題有意義的特殊情況，強(qiáng)調(diào)知識(shí)和策略方法的遷移性，比如在銳角三角函數(shù)的教學(xué)中也有體現(xiàn).

例4 （2015玄武一模）在某兩個(gè)時(shí)刻，太陽(yáng)光線與地面的夾角分別為37°和45°，樹AB的高為6m.

（1）如圖6，若樹與地面l的夾角為90°，求兩次影長(zhǎng)的和CD;

（2）如圖7，若樹與地面l的夾角為α，求兩次影長(zhǎng)的和CD（用含α的式子表示）.

（參考數(shù)據(jù)：sin 37 °≈0.60，cos 37 °≈0.80，tan 37 °≈0.75.）

分析 第（1）問從特殊的狀態(tài)出發(fā)，因?yàn)椤皹渑c地面l的夾角為90°”，所以直接運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決問題，分別在兩個(gè)直角三角形中已知一邊一角，解出直角三角形的CB和BD，從而求解.第（2）問可以借鑒第（1）問（特殊情況），因?yàn)椤皹渑c地面l的夾角為α”，此處α不一定為90°，所以構(gòu)造直角三角形，即過點(diǎn)A作AH⊥CD（如圖8所示），得到三個(gè)直角三角形，其中AH為公共邊. 圖8在直角三角形ABH中已知一邊一角，可以表示AH，轉(zhuǎn)化為（1）的問題便可以求解.

總之，特殊化原則蘊(yùn)含特殊化與一般化的融合，基于特殊研究一般，再利用一般應(yīng)用于特殊，特殊是基礎(chǔ)與引領(lǐng)，一般是深化與目的.數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用特殊化原則分析抽象難懂的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用特殊化原則輔助思考的數(shù)學(xué)意識(shí).特殊化原則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思維方式，教師需要基于特殊化原則思維結(jié)構(gòu)的剖析，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維、合情推理能力和探索與創(chuàng)新能力.特殊化原則不僅是思考數(shù)學(xué)問題的重要方法，也是思考一般科學(xué)問題的重要方法.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：3.

[2][德]克里斯蒂安·黑塞.像數(shù)學(xué)家一樣思考[M].何秉樺，黃建綸，譯.?？冢汉Ｄ铣霭嫔?，2018：127-129.

[3]任璋輝.數(shù)學(xué)思維論[M].南寧：廣西教育出版社，1990：154-155.

[4]張麗玉.初中數(shù)學(xué)資優(yōu)生特殊化策略解幾何題的實(shí)證研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2020：44.

[5]陰東升，卞瑞玲，徐本順.數(shù)學(xué)中的特殊化與一般化[M].南京：江蘇教育出版社，1995：94，97.

[6]何華興.數(shù)學(xué)中的一般化與特殊化例談[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（02）：8-10.

[7]朱青鋒.特殊化方法的教育學(xué)功能[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002（03）：13-14.

作者簡(jiǎn)介 李亞瓊（1983—），女，安徽巢湖人，高級(jí)講師，博士研究生；主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究.

徐文彬（1966—），男，安徽宣城人，教授，博士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究.

寧連華（1966—），男，江蘇豐縣人，教授，博士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

基金項(xiàng)目 江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究課題“教師研究的理論思考與模式建構(gòu)”（2021JY14_L390）；江蘇省研究生科研與實(shí)踐創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目“高中數(shù)學(xué)整體教學(xué)設(shè)計(jì)的模式建構(gòu)與實(shí)踐應(yīng)用”（SJCX22_0506）;安徽省2021年高校協(xié)同創(chuàng)新項(xiàng)目“‘雙減背景下教學(xué)和諧的理論證成、實(shí)踐省察與行動(dòng)建構(gòu)”（GXXT-2021-058）.