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    自然聯(lián)想出困境 有效生成巧解題

    2023-07-27 02:16:18何一鸞
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2023年3期

    【摘 要】 從問題的條件和結(jié)論出發(fā),聯(lián)系已有的知識、原理、方法、經(jīng)驗進行自然聯(lián)想,去粗取精,去偽存真,生成有效的解題思路是解決問題的重要策略.結(jié)合一道尺規(guī)作圖題的求解過程,對此進行剖析和思考總結(jié).【關(guān)鍵詞】 等分面積;自然聯(lián)想;生成

    1 試題呈現(xiàn)

    (2023春南京市秦淮區(qū)統(tǒng)考第27題)如圖1,AB是⊙O的弦,AB=2,∠AOB=60°.P是優(yōu)弧AB上的一個動點(不與點A和點B重合),PA,PB, AB 組成了一個新圖形(記為“圖形P AB ”),設(shè)點P到直線AB的距離為x,圖形P AB 的面積為y.

    (1)求y與x之間的函數(shù)表達式,并寫出自變量x的取值范圍;

    (2)記扇形OAB的面積為S 扇形OAB ,當y=S 扇形OAB 時.

    ①在圖2中,作出一個滿足條件的點P;(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)

    ②在第①題所作圖中,連接PA,PB.再畫一條線,將圖形P AB 分成面積相等的兩部分.(畫圖工具不限,寫出必要的文字說明.)

    (注:第②題滿分4分,如果你畫的是折線,答案正確得1分;如果你畫的是弧,答案正確得2分;如果你畫的是直線,答案正確得4分.)

    2 解法探究

    本題第(1)問略.第(2)①問,點P需滿足條件S △APB =S △AOB .因為兩個三角形同底,所以需等高,依此原理,可按“以點A為圓心,OA長為半徑作弧交⊙O于點P”實現(xiàn)作圖.筆者主要探究第(2)②題的解法.

    第一步,弄清條件:什么已經(jīng)確定了?從線段、角等局部元素到整體圖形以及它們之間的關(guān)系中去找.本題中的“注”也暗示著一種確定,只是實現(xiàn)的難度不同.第二步,審視結(jié)論:任務(wù)的實質(zhì)是什么?等分圖形P AB 的面積就是要分出面積為S 扇形OAB 一半的部分.第三步,審視自己:會做什么?困難是什么?即自己掌握了哪些原理、方法或已積累的經(jīng)驗可以得到面積相等.本題的困難是如何畫線分弓形、如何處理 AB 使面積被等分.

    正如,雅思貝爾斯所說:生成來源于歷史的積聚和自身不斷重復(fù)努力 [1] .弄清經(jīng)驗,有了努力的底蘊;弄清難點,有了努力的方向,難點就是突破點.

    路徑1 化整為零,分別等分

    將等分圖形P AB 的面積轉(zhuǎn)化為分別等分△PAB和弓形的面積.等分△PAB的面積,可畫中線得面積比為1∶1,也可畫平行線用相似分面積比為1∶2,學(xué)生都比較熟悉.難的是如何在弓形中實現(xiàn)等分面積?難處就是痛處,首先考慮如何等分弓形的面積.

    思路1 面積比為1∶1

    從圖形的對稱性出發(fā),最自然的想法是連結(jié)弧的中點D和弦的中點C畫線段CD,再順勢畫出中線PC,則折線PCD為所求.

    法1 如圖3,過點O作OC⊥AB交⊙O于點D,垂足為點C.連結(jié)PC,CD,則折線PCD即為所求.

    如圖3,由垂徑定理得AC=BC,∠AOD=∠BOD,則S △PAC =S △PBC ,S △AOC =S △BOC ,S 扇形OAD =S 扇形OBD ,所以S ACD AD ?=S BCD BD ?,則圖形P AB 被折線PCD分成面積相等的左右兩個部分,如圖4,5,6.

    思路2 面積比為1∶2

    數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微.法1從圖形的對稱性突破了平分弓形面積的難點,能否從數(shù)的角度來探討一下呢?算算看!由AB=R,∠AOB=60°知S A-B- AB ?=60360πR2-34R2.將分出的部分記為①,則S ① =12S A-B- AB ?=60360π(22R)2-34(22R)2=60360πr2-34r2,其中r=22R,即r∶R=1∶2.構(gòu)造以r為半徑,圓心角為60°的扇形,連結(jié)弧所對的弦就可得到①.需同時將△PAB分出一部分(記為②),使S ② ∶S △PAB =1∶2.由三角形的面積比自然聯(lián)想到相似.常用方法是畫平行線.兩個三角形的相似比為1∶2.也是1∶2,多么美妙的相遇!其實,圖形 P CD ?與圖形P AB 是相似的.

    法2 如圖7,作MN=PA,以MN為直徑作圓,則MT∶PA=1∶2.以點P為圓心,MT長為半徑作弧交PA于點C.以點C為圓心,PC長為半徑作弧,兩弧交于點E.以點E為圓心,EC長為半徑作弧交PB于點D, CD 即為所求.

    路徑2 通盤考慮,一分為二

    將等分面積轉(zhuǎn)化為在圖形P AB 中分出一部分,使它的面積為圖形P AB 面積的一半.

    思路1 美麗弧線,為所善為弧、面積兩者有關(guān)聯(lián)嗎?有,它們的關(guān)聯(lián)點就是扇形.畫出弧,連接半徑就能形成扇形.故只需在圖形P AB 中分出一個扇形,使它的面積等于S 扇形OBD .∠P=12∠AOB=30°,PA=OA=2,顯然可以實現(xiàn).

    法3 如圖8,以P為圓心,PA長為半徑作弧交PB于點F, AF 即為所求.簡潔美麗!

    思路2 化折為直,巧成新解

    畫折線PCD得圖5、圖6,其面積都等于圖形 P AB ?面積的一半.能否化折為直找到新解呢?難點是如何處理 AB 使面積能被等分.聯(lián)想到 AB 的中點D.由圖3,S ACD AB ?=S BCD BD ?,S A-D- AD ?=S BD BD ?.所以求作的直線必過點D.難點得到了突破!

    在圖51中,過點D任意畫一條直線試試.若直線能平分圖形P AB 的面積,則它還需使陰影部分的兩個三角形面積相等,所以需MC∥PD,則點M確定.法4 如圖9,過點O作OC⊥AB交⊙O于點D,垂足為C.連接PD,過點C作CM∥PD交PB于點M,畫直線MD即為所求.

    法5 如圖10,過點O作OC⊥AB交⊙O于點D,垂足為C.連接PD,過點A作AE∥PD,交BP的延長線于點E.取BE的中點M,畫直線DM即為所求.

    在圖6中補上△OBC,如圖61,再看看.所求的直線要平分圖形P AB 的面積,則需滿足:1.過點D;2.在圖形P AB 中分出面積等于S 扇形ODB 的部分,則需作OM∥BD.較法4、法5更為簡單明了.法6 如圖11,過點O作OC⊥AB交⊙O于點D,垂足為C.連接BD,過點O作OM∥BD交PB于點M,畫直線MD即為所求.

    拓展引申 學(xué)以致用,自然生成

    若本題第(2)問刪去條件y=S 扇形OAB 和問題①,還能完成問題②的作圖嗎?你能自然聯(lián)想到什么?又能生成哪些方法呢?試一試.3 思考總結(jié)

    在解題中如何才能從自然聯(lián)想開始,突破難點,最后生成合理有效的解答呢?

    3.1 湊兩頭,立足原理,讓思緒有章可循

    “授之以魚”不如“授之以漁”.“魚”是解決問題的方案,“漁”是工具箱和方法策略.問一問我有什么?我能做什么?要我做什么?有哪些實現(xiàn)的路徑?難題之難在于條件和任務(wù)兩頭的對接更發(fā)散、更曲折,常常求而不得!這時再問一問這幾個問題,思路就不會混亂.

    3.2 巧轉(zhuǎn)化,突破難點,讓聯(lián)想自然順暢

    學(xué)之道在于悟,悟之道在于通.解題之難在于思而不通.如何突破?要弄清它是什么?它在哪里?聯(lián)想到什么?如何轉(zhuǎn)化?從最容易想到的折線到最難想到的直線只有一步之遙,越樸素的想法往往越能催生妙招,緊扣關(guān)鍵屬性進行轉(zhuǎn)化并一以貫之,才能讓聯(lián)想自然順暢.

    3.3 辨真?zhèn)?,動態(tài)調(diào)整,讓生成合理有效

    做學(xué)問講究審問、慎思、明辨.自然聯(lián)想通常是開放而且多元的,要加以辨析,去偽存真,逐步靠近目標.聯(lián)想要聯(lián)系條件、結(jié)論和基本原理,結(jié)合基本圖形和已有經(jīng)驗來進行,在此過程中不斷地反思和質(zhì)疑,作出選擇和調(diào)整,尋找出路,才能生成解決問題的有效方案.

    總之,正如雅思貝爾斯所說,人的生成似乎是于不知不覺的無意識之中達到的,但這無意識曾是在困境中以清醒意識從事某事的結(jié)果 [1] .在經(jīng)歷思辨的痛苦之后,形成自己的理解和感悟,才能生長為自我的解題能力和數(shù)學(xué)思維能力.

    參考文獻

    [1]雅思貝爾斯.什么是教育[M].上海:三聯(lián)書店,1991:14.

    作者簡介 何一鸞(1979—),女,江蘇如皋人,碩士,中學(xué)一級教師;研究方向為數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.

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