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    攫取本質(zhì),方能關(guān)聯(lián)一切

    2023-07-27 02:16:18劉春書
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2023年3期
    關(guān)鍵詞:軸對(duì)稱本質(zhì)關(guān)聯(lián)

    【摘 要】 問(wèn)題解決需要有關(guān)聯(lián)的視角,關(guān)聯(lián)一道題的多種解法尋覓其一致性,關(guān)聯(lián)一類題的相同解法尋找其通性通法,再基于一致性與通性通法追本溯源攫取本質(zhì).軸對(duì)稱的本質(zhì)是對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)到對(duì)稱點(diǎn)的距離相等,基于這一本質(zhì)解決問(wèn)題,建構(gòu)知識(shí)體系,培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維,提升直觀想象與邏輯推理的能力.

    【關(guān)鍵詞】 角平分線;軸對(duì)稱;本質(zhì);關(guān)聯(lián)

    1 提出問(wèn)題

    軸對(duì)稱的本質(zhì)是什么?回到軸對(duì)稱的定義——把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱,這條直線叫做對(duì)稱軸,折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn),叫做對(duì)稱點(diǎn)(Symmetric Points).改變對(duì)稱軸,兩個(gè)圖形仍舊重合.全等是基于重合所得,與變換要素對(duì)稱軸沒(méi)有關(guān)系,因此全等不是軸對(duì)稱的本質(zhì).

    如何作對(duì)稱軸?比如,作角的對(duì)稱軸,先作一對(duì)對(duì)稱點(diǎn),再作一個(gè)到對(duì)稱點(diǎn)距離相等的點(diǎn),連接角的頂點(diǎn)與這個(gè)點(diǎn)即可得到對(duì)稱軸.其本質(zhì)就是先構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn),再構(gòu)造到對(duì)稱點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn),這兩點(diǎn)都在對(duì)稱軸上,根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線得到對(duì)稱軸.

    如何作一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形?作軸對(duì)稱圖形皆可化歸作對(duì)稱點(diǎn),如何作對(duì)稱點(diǎn)?方法如下:

    三種方法均充分體現(xiàn)了對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)到對(duì)稱點(diǎn)的距離相等,這就是軸對(duì)稱的本質(zhì).因此,軸對(duì)稱圖形需作出對(duì)稱軸,才能體現(xiàn)軸對(duì)稱的本質(zhì),同時(shí)對(duì)稱軸只有構(gòu)造出對(duì)稱點(diǎn)才有價(jià)值.下面基于本質(zhì)解決系列問(wèn)題. 圖1

    2 解決問(wèn)題

    問(wèn)題1 如圖1,OC平分∠AOB,∠OAC+∠CBO=180°.求證:AC=BC.

    分析條件

    條件關(guān)聯(lián)的方向

    角平分線

    直接應(yīng)用兩角相等

    構(gòu)造軸對(duì)稱圖形(軸對(duì)稱),

    構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)得軸對(duì)稱圖形

    間接應(yīng)用,將等角轉(zhuǎn)化,

    即用平行、旋轉(zhuǎn)或弧進(jìn)行轉(zhuǎn)化等角關(guān)系

    將兩個(gè)等角關(guān)系轉(zhuǎn)化成新的等角關(guān)系,構(gòu)成新的軸對(duì)稱圖形

    ∠OAC+∠CBO=180°

    圖中互補(bǔ)角

    等角的補(bǔ)角相等、四點(diǎn)共圓

    等角、等弧、等圓心角

    分析問(wèn)題

    證明兩條線段相等的方法:全等、等角對(duì)等邊、等弧或等圓心角所對(duì)的弦相等.

    證明兩條線段相等的策略:直接證明或間接證明(等量代換).

    思路方法

    方法一:如圖2,構(gòu)造OA′=OA→△AOC≌△A′OC→AC=A′C,BC=A′C→AC=BC.

    方法二:如圖2,構(gòu)造OB′=OB→△BOC≌△B′OC→BC=B′C,AC=B′C→AC=BC.

    方法三:如圖2,構(gòu)造CH⊥OA、CH′⊥OB→CH=CH′→△ACH≌△BCH′→AC=BC.方法四:如圖2,構(gòu)造CD=OC→等腰三角形△COD→△OAC≌△DBC→AC=BC.

    方法五:如圖3,構(gòu)造四邊形AOBC的外接圓→∠APC=∠BPC→AC=BC.

    反思提煉

    首先,角平分線是什么?角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸,有對(duì)稱軸就要構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn),得到軸對(duì)稱圖形,再基于軸對(duì)稱的性質(zhì)解決問(wèn)題.其次,如何證明兩條線段相等?把兩條線段分別放在一對(duì)全等三角形中,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等;放在一個(gè)三角形中,利用等角對(duì)等邊;放在一個(gè)圓中,通過(guò)等圓心角或等弧證等弦.最后,再思考是否可以直接證明,若不能,應(yīng)進(jìn)行等量代換.角的關(guān)系如何轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系?通過(guò)本題可以利用軸對(duì)稱全等將等角關(guān)系轉(zhuǎn)化為等邊關(guān)系,或?qū)蓚€(gè)等角轉(zhuǎn)化成新的等角關(guān)系,比如通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到等腰三角形、通過(guò)平行轉(zhuǎn)角得到等腰三角形、通過(guò)等弧轉(zhuǎn)角得到等圓心角. 圖4

    問(wèn)題2 如圖4,已知點(diǎn)A,B,C,D在⊙O上,∠BAC=60°,AD平分∠BAC,AB=3,AC=5.求AD的長(zhǎng)度.

    分析條件

    (1)AD平分∠BAC→∠BAD=∠CAD→∠BOD=∠COD→BD=CD;

    (2)四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形→∠ABD+∠ACD=180°→問(wèn)題1→BD=CD;

    (3)△ABC確定→BC確定、⊙O半徑確定、△ABD、△ADC確定.

    分析問(wèn)題

    如何求弦長(zhǎng)?將AD放在一個(gè)確定的三角形中,即此三角形可解.特殊的方法就是將AD放在一個(gè)直角三角形中,這個(gè)直角三角形可解.

    思路方法

    方法一:如圖5,構(gòu)造AB′=AB→△ABD≌△AB′D→等腰△DB′C→作DH⊥AC于點(diǎn)H,AH=AB+AC[]2=4→AD=AH[]cos∠DAH=4[]cos30°=83[]3[SX)].

    方法二:如圖6,構(gòu)造AC′=AC→△ADC′≌△ADC→等腰△DBC′→作DH⊥AC′于點(diǎn)H,AH=4→AD=83[]3[SX)].

    方法三:如圖7,構(gòu)造DH⊥AC,DH′⊥AB→△ADH≌△ADH′→CH=1→AH=4→AD=83[]3[SX)].方法四:如圖8,構(gòu)造CE=AB→△ABD≌△ECD→等腰△ADE→作DH⊥AC于點(diǎn)H,AH=4→AD=83[]3[SX)].

    方法五:如圖9,連接BC,OD得OD⊥BC→△ABC確定→BC確定→CE確定→DC確定→△ADC確定.

    反思提煉

    如何回歸源頭、遷移經(jīng)驗(yàn)?本問(wèn)題的解決關(guān)鍵在于回歸源頭,思考角平分線的本質(zhì),基于等角直接構(gòu)造軸對(duì)稱圖形或間接構(gòu)造軸對(duì)稱圖形,與問(wèn)題1如出一轍,圓周角角平分線價(jià)值何在?基于弧進(jìn)行轉(zhuǎn)化,圓周角角平分線可得等弧、等圓心角、等弦,進(jìn)而構(gòu)造出垂徑定理的基本圖形.如何求弦長(zhǎng)?首先把弦放在三角形中,利用勾股定理、相似、面積等方法解三角形,如果不可解,就要讓三角形與其它確定的三角形建立相似的關(guān)系.

    問(wèn)題3 如圖10,已知點(diǎn)A,B,C,D在⊙O上,AC為直徑,AD平分∠BAC,AB=3,AC=5.求AD的長(zhǎng)度.

    分析條件

    1.角平分線——直接構(gòu)造軸對(duì)稱圖形;轉(zhuǎn)化等角構(gòu)造軸對(duì)稱圖形,如等腰三角形.

    2.⊙O的直徑AC=5→⊙O為定圓、AB=3→∠BAC確定、圓心O到AB的距離確定、BC的長(zhǎng)確定、∠ABC=90°→∠BAD,∠CAD,∠CBD,∠BCD確定→△BCD確定→DC確定→AD確定.

    分析問(wèn)題

    將線段AD放在一個(gè)直角三角形中,且這個(gè)直角三角形要有兩個(gè)元素確定,至少有一邊.

    思路方法

    方法一:如圖11,構(gòu)造AB′=AB→△ABD≌△AB′D→等腰△DB′C→作DH⊥AC于點(diǎn)H,CH=B′H=1,AH=4→DH=2→AD=25.

    方法二:如圖12,延長(zhǎng)CD,AB相交于點(diǎn)C′→等腰△ACC′→AC′=AC=5,BC′=2→

    CC′=25→DC=5→AD=25.

    方法三:如圖13,構(gòu)造DH⊥AC,DH′⊥AB→△ADH≌△ADH′→CH=1,AH=4→DH=2→AD=25.

    方法四:如圖14,構(gòu)造CE=AB→△ABD≌△ECD→AE=AC+CE=8→作DH⊥AC于點(diǎn)H,CH=1,AH=4→DH=2→AD=25.

    方法五:如圖15,連接OD→OD⊥BC→OE=1.5,CE=2,DE=1→DC=5→AD=25.

    方法六:如圖16,構(gòu)造OH⊥AB,DE⊥AC→AH=1.5,OH=2→Rt△ODE≌Rt△AOH→DE=OH=2,AE=4→AD=25.

    方法七:如圖17,構(gòu)造CF∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F→=AB[]CF=3[]5,BC=4→BE=1.5,CE=2.5→AE=35[]2[SX)],DE=5[]2[SX)]→AD=25.

    反思提煉

    首先,解法歸類.方法一、二、三都是源于角平分線——構(gòu)造軸對(duì)稱圖形(利用軸對(duì)稱性);方法四、六、七都是源于角平分線——轉(zhuǎn)化為等腰三角形(利用軸對(duì)稱性);方法五是源于角平分線——轉(zhuǎn)化為垂徑——構(gòu)造軸對(duì)稱圖形(利用軸對(duì)稱性).歸根結(jié)底就是用好自身的軸對(duì)稱性,利用平行線、等弧將等角轉(zhuǎn)化到同一三角形中得到等腰三角形,再利用其軸對(duì)稱性解決問(wèn)題.

    其次,解法歸因.問(wèn)題2是問(wèn)題1的衍生,由對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造圓,利用圓的屬性解決問(wèn)題,問(wèn)題3是將問(wèn)題2特殊化,因此3個(gè)問(wèn)題的方法是存在共性的,每道題的多種解法又具有一致性,充分體現(xiàn)了軸對(duì)稱的本質(zhì).

    最后,解法遷移.類比角平分線本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)及其應(yīng)用,思考平移變換、中心對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換、縮放變換的本質(zhì)是什么及如何應(yīng)用?其實(shí)是一以貫之的,回歸定義,緊扣變換要素挖掘本質(zhì),比如有共端點(diǎn)的等線段這一條件,就具備了旋轉(zhuǎn)要素,端點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心,線段的夾角大小為旋轉(zhuǎn)角度,從而構(gòu)造旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.同樣有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,再基于旋轉(zhuǎn)要素挖掘本質(zhì).3 教學(xué)思考

    3.1 反思數(shù)學(xué)本質(zhì),尋覓知識(shí)遷移的源頭

    問(wèn)題都有本質(zhì),挖掘本質(zhì)方能想得自然,解得通透.挖掘本質(zhì)需要回到知識(shí)源頭,源頭就是其定義.通過(guò)角平分線系列問(wèn)題的解決,不難發(fā)現(xiàn)角平分線的本質(zhì):角平分線(對(duì)稱軸)上任意一點(diǎn)到對(duì)稱點(diǎn)的距離相等.一是基于角平分線直接構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn);二是間接應(yīng)用等角,比如通過(guò)平行、旋轉(zhuǎn)將等角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使得轉(zhuǎn)化后構(gòu)成新的等腰三角形;在圓中通過(guò)弧將兩個(gè)等圓周角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等圓心角,基于圓的定義形成等腰三角形,進(jìn)而得到等腰三角形的三線合一.角平分線通常有三個(gè)用法:直接構(gòu)造軸對(duì)稱圖形;將一角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使得轉(zhuǎn)化后的角與另一角相等,進(jìn)而得到等腰三角形;將兩個(gè)等角都進(jìn)行轉(zhuǎn)化,產(chǎn)生新的角平分線,再基于軸對(duì)稱解決問(wèn)題.三種方法殊途同歸,都是化歸軸對(duì)稱圖形,這就是角平分線的本質(zhì).

    3.2 反思教學(xué)過(guò)程,體會(huì)知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程

    角平分線教學(xué)采用螺旋上升的策略,先認(rèn)識(shí)角平分線的定義,利用軸對(duì)稱全等體會(huì)角平分線的價(jià)值;再探索角平分線軸對(duì)稱性及其性質(zhì);最后在等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正多邊形、圓等知識(shí)中反復(fù)滲透其軸對(duì)稱性,體現(xiàn)其本質(zhì) [1] .

    第一階段:學(xué)習(xí)角平分線定義,一定要讓學(xué)生經(jīng)歷翻折的過(guò)程,初步感知軸對(duì)稱性,再得出角平分線的定義,切不可直接給出定義,學(xué)生就不能很好地體會(huì)其軸對(duì)稱性,也是為后面尺規(guī)作角平分線奠定基礎(chǔ).

    第二階段:尺規(guī)作角平分線,進(jìn)一步體會(huì)角平分線的本質(zhì),基于軸對(duì)稱全等構(gòu)造角平分線,初步體會(huì)角平分線所在的直線是對(duì)稱軸,為后面學(xué)習(xí)角是軸對(duì)稱圖形奠定基礎(chǔ).

    第三階段:角平分線的性質(zhì)探索,很多時(shí)候教學(xué)僅僅關(guān)注性質(zhì),即角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等,在此會(huì)忽視其一般性,進(jìn)而學(xué)生不能充分體會(huì)軸對(duì)稱性,也就是特殊性弱化了其軸對(duì)稱性,因此有必要在此進(jìn)行一般化,體現(xiàn)軸對(duì)稱的本質(zhì),就是角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的距離相等.

    第四階段:用對(duì)稱的眼光看圖形,需要一以貫之的滲透,從等腰三角形到特殊平行四邊形再到圓,都需要用軸對(duì)稱的眼光去研究,比如菱形的對(duì)角線所在的直線就是菱形的對(duì)稱軸,矩形對(duì)邊中點(diǎn)的連線就是其對(duì)稱軸,因此在研究特殊平行四邊形時(shí)需要有軸對(duì)稱的眼光,就是將特殊平行四邊形都化歸等腰三角形;在圓的學(xué)習(xí)中要基于圓的定義,圓的所有的性質(zhì)皆是化歸等腰三角形,利用等腰三角形的性質(zhì)研究圓的性質(zhì).

    整個(gè)知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程中,從定義出發(fā),反復(fù)滲透軸對(duì)稱的本質(zhì),養(yǎng)成翻折的動(dòng)態(tài)眼光,由角平分線建構(gòu)軸對(duì)稱圖形,或?qū)⒌冉沁M(jìn)行轉(zhuǎn)化得到新的軸對(duì)稱圖形.這是一個(gè)反復(fù)滲透、不斷感知的過(guò)程.

    3.3 反思關(guān)聯(lián)路徑,挖掘思想方法的生成

    認(rèn)識(shí)了角平分線的本質(zhì)及其知識(shí)建構(gòu)過(guò)程,還需要關(guān)聯(lián)角平分線去學(xué)習(xí)其它的軸對(duì)稱圖形.角是軸對(duì)稱圖形的一個(gè)代表,角平分線所在的直線就是角的對(duì)稱軸,角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的距離相等.緊扣對(duì)稱軸的本質(zhì)去研究線段、等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正多邊形、等腰梯形、圓等軸對(duì)稱圖形,即軸對(duì)稱圖形需要構(gòu)造出對(duì)稱軸,作角平分線或作對(duì)稱點(diǎn)的連線段的垂直平分線,有了對(duì)稱軸才能體現(xiàn)其軸對(duì)稱的性質(zhì).這種眼光與思維方式要貫穿在教學(xué)的所有環(huán)節(jié)中,養(yǎng)成用對(duì)稱的眼光看圖形,緊扣變換要素研究圖形,還必須關(guān)聯(lián)到其它對(duì)稱圖形,包括平移對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、中心對(duì)稱、位似對(duì)稱等等.下面以軸對(duì)稱為例(圖18),談?wù)勊鼈冎g的內(nèi)在關(guān)系,其它對(duì)稱以此類推.

    3.4 反思育人價(jià)值,落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)的真諦

    數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含培養(yǎng)學(xué)生的圖形直觀能力,圖形直觀是一種視角與思維,是一種合情推理的方法,是終身發(fā)展的關(guān)鍵能力.圖形變換的本質(zhì)就是把圖形看動(dòng)起來(lái),在圖形運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上研究圖形各元素之間的關(guān)系,即研究圖形性質(zhì) [2] .其中角平分線就是需要用翻折的眼光看圖形,找對(duì)應(yīng)元素與對(duì)稱軸之間的關(guān)系,同時(shí)也是研究復(fù)雜圖形的基本方法,更是演繹推理的前提.因此,幾何變換是幾何體系的核心內(nèi)容,它是認(rèn)識(shí)圖形的基本方法,需養(yǎng)成把圖形看動(dòng)起來(lái)的視角,在教學(xué)的過(guò)程中加強(qiáng)幾何變換教學(xué).通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)變換理解軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和平移變換的基本性質(zhì),這樣才能將對(duì)稱體現(xiàn)的淋漓盡致,這是圖形直觀的關(guān)鍵所在.多年后對(duì)稱的性質(zhì)或許已忘卻,但是這種視角、思維方式將永遠(yuǎn)存在,其性質(zhì)就自然生長(zhǎng),這就是關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).4 結(jié)束語(yǔ)

    數(shù)學(xué)題海中不乏貌似各異,但本質(zhì)相同、解法一致的問(wèn)題,若搞題海戰(zhàn)術(shù),必然花費(fèi)大量的時(shí)間和精力.為此,要注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行舉一反三、多題一解的訓(xùn)練,訓(xùn)練學(xué)生的關(guān)聯(lián)性思維,尤其在知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程中要反復(fù)滲透知識(shí)的本質(zhì),同時(shí)在解題的過(guò)程中要關(guān)聯(lián)一類題的相同解法,一道題的多種解法,做到要溯源、要生長(zhǎng),從而建構(gòu)知識(shí)體系,培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維.

    參考文獻(xiàn)

    [1]章建躍.核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教育變革[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2017,56(04):1-4.

    [2]王保東.關(guān)注基礎(chǔ)和思維習(xí)慣合理引導(dǎo)學(xué)生思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2018,57(06):49-52,57.

    [3][BP)]金敏,劉春書.從評(píng)價(jià)的視角思考初中幾何變換的教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2017(04):56-62.

    作者簡(jiǎn)介 劉春書(1978—),男,江蘇寶應(yīng)人,副校長(zhǎng),中學(xué)高級(jí)教師;江蘇省青年教育家型教師、江蘇省教科研先進(jìn)個(gè)人、南京市學(xué)科帶頭人;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和考試命題研究;發(fā)表論文多篇.

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    讀者(2017年5期)2017-02-15 18:04:18
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