傅里葉鬼成像與正弦鬼成像的等價(jià)性分析*

陳星宇 周昕 白星 余展 王玉杰 李欣家 劉洋 孫銘澤

(四川大學(xué)電子信息學(xué)院,成都 610065)

鬼成像技術(shù)已有幾十年的發(fā)展歷史,目前正逐漸呈現(xiàn)多元化的趨勢,但相互之間的相關(guān)性較弱,研究進(jìn)展較以往緩慢.研究鬼成像理論的本質(zhì),是探索鬼成像未知領(lǐng)域的可行方向.本文證明了傅里葉鬼成像和正弦鬼成像這兩種鬼成像方法在原理上是等價(jià)的,前者可以采用N 步相移的方法來實(shí)現(xiàn),而后者則可等效為兩步相移的方法.同時(shí)結(jié)合正弦散斑成像的空間分解特性,對(duì)結(jié)構(gòu)散斑成像與傳統(tǒng)鬼成像的關(guān)系進(jìn)行分析,并對(duì)以往在這兩者基礎(chǔ)上所構(gòu)建的部分方法進(jìn)行原理說明.應(yīng)用于邊緣檢測的仿真分析結(jié)果表明,將兩種方法結(jié)合起來可以同時(shí)具有傅里葉鬼成像的較好抗噪性能以及正弦鬼成像的較高成像效率.

1 引言

鬼成像又稱關(guān)聯(lián)成像,是成像領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[1].隨著計(jì)算成像[2]方法和單像素探測器的引入,研究者發(fā)現(xiàn)鬼成像與單像素成像在過程上是一致的,鬼成像也因此成為單像素成像領(lǐng)域的一部分[3].鬼成像最早起源于量子關(guān)聯(lián)成像,通過參量下轉(zhuǎn)換糾纏光子對(duì)實(shí)現(xiàn)了最初的鬼成像: 在實(shí)驗(yàn)中如果僅憑其中任一光路信號(hào)均無法實(shí)現(xiàn)成像,只有對(duì)兩路信號(hào)應(yīng)用關(guān)聯(lián)算法時(shí)才能得到物體的像[4].早期的鬼成像現(xiàn)象被認(rèn)為是量子領(lǐng)域的特殊現(xiàn)象,直到經(jīng)典光源被證明可以用于實(shí)現(xiàn)鬼成像[5],鬼成像才脫離量子領(lǐng)域而進(jìn)入傳統(tǒng)光學(xué)領(lǐng)域.一些研究者還對(duì)鬼成像進(jìn)行了幾何光學(xué)的分析[6],導(dǎo)出了經(jīng)典熱光源的相關(guān)成像方程,為相關(guān)成像效應(yīng)在光學(xué)設(shè)計(jì)中提供了應(yīng)用前景,大大提高了鬼成像技術(shù)的實(shí)用價(jià)值.鬼成像因其非定域的特征[3]以及獨(dú)特的單像素探測單元結(jié)構(gòu),比起傳統(tǒng)光學(xué)成像有很多優(yōu)勢,具備在特殊或極端條件下成像的能力,例如可以實(shí)現(xiàn)非可見光波段的紅外成像[7]和太赫茲成像[8],以及強(qiáng)散射環(huán)境的散射介質(zhì)成像[9]等.另一方面,經(jīng)過幾十年的發(fā)展,目前鬼成像技術(shù)正逐漸呈現(xiàn)多元化的趨勢,出現(xiàn)了多種基礎(chǔ)原理與實(shí)施架構(gòu)存在一定差異的鬼成像系統(tǒng),但相互之間的相關(guān)性較弱,需要在更深的理論層面做出進(jìn)一步探討.

傳統(tǒng)鬼成像采用兩條光路,即物光路和參考光路;物光路包含待成像物體,末端為一個(gè)桶探測器,參考光路則有一個(gè)探測器用來探測參考光的空間分布.而引入計(jì)算成像方式的鬼成像技術(shù)由于能直接計(jì)算參考光路的光場分布,因此僅需物光路即可恢復(fù)成像[2].近年來,在計(jì)算鬼成像的基礎(chǔ)上不斷提升成像質(zhì)量,縮短成像時(shí)間,相繼提出了差分鬼成像[10]、對(duì)應(yīng)鬼成像[11]、歸一化鬼成像[12]、傅里葉鬼成像[13]、正弦鬼成像[14]等不同方案.從散斑結(jié)構(gòu)的角度出發(fā),現(xiàn)有的鬼成像方法可以分為兩類,即采用隨機(jī)散斑和調(diào)制散斑的方式.隨機(jī)散斑是指投射光場的空間強(qiáng)度服從高斯分布,基于傳統(tǒng)光源的鬼成像就是利用強(qiáng)度漲落關(guān)聯(lián)實(shí)現(xiàn)的;調(diào)制散斑又稱結(jié)構(gòu)化散斑,區(qū)別于隨機(jī)散斑,調(diào)制散斑滿足特定的調(diào)制結(jié)構(gòu),常見的如Hadamard 基散斑[15]和傅里葉基散斑[13]等.傅里葉基散斑是一種特定的正交正余弦結(jié)構(gòu)散斑,由于圖像可分解為一系列不同空間頻率與不同初相位的條紋圖案[16],當(dāng)使用正余弦條紋散斑作為基底時(shí),投射圖案與最終成像分解所得條紋基底一致,而正余弦條紋的系數(shù)則包含物體信息.

通過研究發(fā)現(xiàn),傅里葉鬼成像與正弦鬼成像均采用同類型的正交正余弦散斑作為基底,具備極高的相似性,同時(shí)正弦鬼成像方法是完整的空域描述和空域成像過程,因此可猜測這兩種成像方法可以揭示空域成像與傅里葉域成像的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明了傅里葉鬼成像與正弦鬼成像的成像原理的一致性,通過數(shù)值仿真以及應(yīng)用于邊緣檢測的效果進(jìn)一步驗(yàn)證了推導(dǎo)的結(jié)論,并可得到能夠同時(shí)擁有正弦鬼成像和傅里葉鬼成像良好性能優(yōu)勢的新型鬼成像方案.由于正弦鬼成像是將圖像空域分解的特性與傳統(tǒng)鬼成像聯(lián)系起來,同時(shí)又與傅里葉鬼成像的正交傅里葉變換域表達(dá)等價(jià),進(jìn)而可以推廣得到鬼成像方法在傅里葉域乃至在整個(gè)正交變換域和空域的聯(lián)系性,該結(jié)論為探索不同鬼成像方法之間的關(guān)聯(lián)提供了思路,有望借此發(fā)展出更多新型鬼成像方法.

2 基 礎(chǔ)

2.1 傳統(tǒng)鬼成像

傳統(tǒng)鬼成像(traditional ghost imaging,TGI)系統(tǒng)如圖1 所示,由贗熱光源、光源調(diào)制器、物光路和參考光路構(gòu)成,物光路末端為一桶探測器,參考光路末端由一個(gè)CCD 采集投射光場的空間分布.對(duì)兩路光信號(hào)進(jìn)行多次采樣,再經(jīng)關(guān)聯(lián)算法處理后便可恢復(fù)出待測物體圖像.

圖1 鬼成像系統(tǒng)原理圖Fig.1.Schematic diagram of ghost imaging system.

TGI 最常用的關(guān)聯(lián)算法是迭代算法[17].令桶探測器的探測信號(hào)為S,CCD 測得光場信號(hào)為I(x,y),S即為加權(quán)因子,I(x,y) 則是連續(xù)但相互獨(dú)立的光場信息.將每個(gè)連續(xù)光場信號(hào)與對(duì)應(yīng)的加權(quán)因子相乘再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均,便得到迭代運(yùn)算結(jié)果.在物體后方檢測到的透射光功率可表示為

其中,Ω表示參與成像的光場照射區(qū)域,O(xS,yS)為物函數(shù)(透射式為透過率函數(shù),反射式則是反射率函數(shù)),從關(guān)聯(lián)結(jié)果中可獲取對(duì)象O(x,y) .為區(qū)分每次迭代的貢獻(xiàn),可定義i,則每次迭代貢獻(xiàn)表示為

其中〈·〉≡1/M·Σr表示M次迭代的總體平均值,通過對(duì)所有迭代求平均值,從而獲得最終的重構(gòu)結(jié)果,使得O(x,y)=〈Oi(x,y)〉.

2.2 傅里葉鬼成像

傅里葉鬼成像也稱傅里葉單像素成像(Fourier single-pixel imaging,FSI),是由Zhang 等[13]在2015 年提出.如圖2 所示,任意圖像都可以看作一系列不同空間頻率和不同初始相位的條紋散斑加權(quán)疊加的結(jié)果[16],對(duì)于具有相同尺寸和像素?cái)?shù)的任意兩幅圖像,分解后得到的基底散斑一致,唯一不同的是不同基底散斑對(duì)應(yīng)的權(quán)重值.由于變換域的基底散斑已知,所以只要知道不同基底的權(quán)重值就能重建出任何圖像.

圖2 傅里葉正逆變換可實(shí)現(xiàn)圖像分解與合成Fig.2.Fourier forward inverse transform can realize image decomposition and synthesis.

FSI 通常采用N步相移法來獲取傅里葉系數(shù),圖3 為N=4 時(shí)的情況,稱為四步相移.每個(gè)傅里葉系數(shù)對(duì)應(yīng)唯一的空間頻率 (fx,fy),N步相移法采用N張空間頻率同為 (fx,fy) ,但初相位φ不同,分別為 2kπ/N(k=0,1,2,···,N -1) 的傅里葉基底散斑來調(diào)制照射光場,相應(yīng)的基底圖案數(shù)學(xué)模型如下:

圖3 四步相移法獲取傅里葉系數(shù)Fig.3.Fourier coefficients obtained by the four-step phase shift method.

其中a是平均強(qiáng)度,b是調(diào)制深度,x和y是目標(biāo)物體的空間坐標(biāo),fx和fy是空間頻率,分別對(duì)應(yīng)x,y兩個(gè)方向,φ是初相位.相應(yīng)的單像素測量值為

其中Dn是背景光的響應(yīng)值,β為與單像素探測器的光電響應(yīng)系數(shù)以及單像素探測器與物體空間關(guān)系都有關(guān)的因子,O(x,y) 為物函數(shù).最常用的三步相移法和四步相移法傅里葉系數(shù)計(jì)算公式如下:

最后,對(duì)N步相移結(jié)果作離散逆傅里葉變換就能得到包含待測物體信息的二維圖像,即

2.3 正弦鬼成像

正弦鬼成像(sinusoidal ghost imaging,SGI)由Khamoushi 等[14]在2015 年提出.與FSI 相同,都應(yīng)用了正余弦結(jié)構(gòu)條紋散斑,不同的是SGI 利用了傅里葉級(jí)數(shù)展開的正余弦基底條紋來調(diào)制投射光場,而FSI 則使用最基本的余弦條紋并且利用相移生成多個(gè)基底圖案.

在鬼成像實(shí)驗(yàn)中采用二維傅里葉級(jí)數(shù)生成正弦模式,通過選擇一個(gè)長度為l的方形邊界條件,可以將二維傅里葉級(jí)數(shù)表述如下:

其中m和n共同表示平面內(nèi)的角頻率,由于正余弦條紋在空間上是無限延伸的,所以完備的正負(fù)項(xiàng)m,n具有共軛對(duì)稱性,負(fù)項(xiàng)與正項(xiàng)對(duì)成像的貢獻(xiàn)相同.通過將角頻率的零項(xiàng)、正負(fù)項(xiàng)分開,并進(jìn)行簡單的計(jì)算,可以得到如下二維傅里葉級(jí)數(shù):

式中,z表示(9)式中傅里葉級(jí)數(shù)展開式的對(duì)應(yīng)項(xiàng).由(9)式可知,共有8 個(gè)傅里葉系數(shù)需要計(jì)算,同時(shí)該式可看作是水平與垂直,0°—90°與90°—180°四種正余弦條紋的組合.實(shí)際成像過程中,使用連續(xù)的低頻率基底條紋間隔投影并采集,將不同頻率單像素測量值作為權(quán)重值,與基底圖案相乘再統(tǒng)計(jì)平均便可重建圖像.

3 分 析

FSI 與SGI 均采用正交正余弦散斑作為基底調(diào)制投射光場,很容易聯(lián)想到兩者成像原理的一致性.在FSI 中,傅里葉基底散斑是二維狄拉克函數(shù)的二維逆傅里葉變換(取實(shí)部)的結(jié)果,因此,傅里葉基底散斑有兩種表達(dá)方法: 一是基于空間域的表達(dá)方法,二是基于傅里葉變換域的表達(dá)方法.(3)式所示的余弦函數(shù)表示法即為空間域的表達(dá)方法,其中正弦和余弦條紋在空間頻率不變的前提下相差π/2 相位.

在N步相移的選擇上,必須根據(jù)需要來確定.已知四步相移抑制噪聲的效果更明顯,而三步相移成像速度更快,因此在不單獨(dú)追求成像速度的情況下可以優(yōu)先考慮成像質(zhì)量.并且四步相移以π/2 為相位分割節(jié)點(diǎn),有利于正余弦條紋的同類整合,同時(shí)四步相移法可以直接抵消環(huán)境光以及對(duì)成像無效的直流量干擾,只留下對(duì)應(yīng)的調(diào)制系數(shù)β.運(yùn)用四步相移法可以得到

為將傅里葉域的基散斑與空間域的基散斑進(jìn)行比較,需要將兩類散斑放到同一變換域,如果對(duì)(11)式進(jìn)行二維離散逆傅里葉變換,可以得到

其中u/M=2πfx,u/N=2πfy,G(x,y) 即 為FSI最終重建的物體圖像,M和N分別為fx,fy的采樣次數(shù).根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)展開的性質(zhì),(8)式中Am,n的計(jì)算式表達(dá)如下

通過歐拉公式可將(13)式改寫成以下形式:

將傅里葉基的正交性[18]代入(12)式可得

對(duì)比(11)式與(14)式可知,Am,n即等價(jià)于F(fx,fy),說明(12)式與(8)式等價(jià),由此可知FSI 的特定傅里葉譜變換到空域中,即為SGI 的包含待測物體信息的圖像,而SGI 實(shí)驗(yàn)中投射條紋同樣為調(diào)制后的條紋圖案,如果采用同樣的采樣頻率、調(diào)制深度、初相位和相同的圖像尺寸,則兩者在數(shù)學(xué)上完全等價(jià),也就是說從數(shù)學(xué)角度講,SGI與FSI 成像原理相同.

4 討論

4.1 FSI 與SGI 成像過程仿真

由(10)式可以看到,相較于四步相移獲得傅里葉系數(shù)的方法,SGI 傅里葉系數(shù)的構(gòu)造方法可等效為兩步相移.雖然兩步相移沒有四步相移抑制背景噪聲和電路噪聲的能力強(qiáng),但可以降低計(jì)算量并提升圖像重建速度.分別對(duì)FSI 和SGI 進(jìn)行仿真,原始圖像是大小為256×256 像素的cameraman灰度圖,仿真結(jié)果如圖4 和圖5 所示.

圖4 不同測量次數(shù)下的灰度FSI 和SGI 重建圖像Fig.4.Reconstructed images of grayscale FSI and SGI under different measurement times.

圖5 灰度FSI 和SGI 在不同測量次數(shù)下的PSNR 值Fig.5.PSNR value of grayscale FSI and SGI under different measurement times.

以上結(jié)果是在無噪聲條件下得到的,可以看出在相同采樣率下,SGI 的信噪比優(yōu)于FSI.原因是等效于兩步移相的SGI,其采樣頻次僅是FSI 的一半,在相同采樣次數(shù)下,參與重構(gòu)的空間頻率成分多于FSI,而在正交變換域鬼成像中,影響最終圖像質(zhì)量的就是空間頻率成分的數(shù)量.

考慮到在實(shí)際條件下必然存在各種噪聲的影響,引入隨機(jī)噪聲進(jìn)行另一次數(shù)值模擬,結(jié)果如圖6所示,測量次數(shù)設(shè)置為13100.從圖6(b)可以看到,隨著引入噪聲能量的增大,SGI 信噪比的下降程度比FSI 更明顯,而圖6(c)中在相同噪聲水平下,SGI的PSNR 變化值約為FSI 的3 倍,說明SGI 的抗噪能力明顯低于FSI,這也與預(yù)期結(jié)果一致.圖6(a)的SGI 結(jié)果還顯示,圖像的4 個(gè)角存在明顯的異常噪聲,這種情況也反映在Khamoushi 等[14]的研究結(jié)果中.經(jīng)過研究可知,異常噪聲是由SGI 的非差分測量引起的,而FSI 的四步移相是對(duì)稱差分測量,具有明顯的噪聲抑制效果,因此沒有異常噪聲.

圖6 灰度FSI 和SGI 在疊加不同強(qiáng)度隨機(jī)噪聲下的重建結(jié)果,隨機(jī)噪聲幅值的浮動(dòng)范圍分別為圖像低頻部分模擬測量值最大浮動(dòng)范圍的0,0.0075,0.015,0.03,0.075,0.12 倍 (a) 兩種方法在不同噪聲水平下的最終重建圖像;(b) 最終重建圖像的PSNR 值;(c) 最終圖像與無噪聲圖像的PSNR 差值Fig.6.The reconstruction results of grayscale FSI and SGI under the superposition of random noise with different intensities,the floating range of random noise amplitude is 0,0.0075,0.015,0.03,0.075,0.12 times of the maximum floating range of the simulated measurement value for the low frequency part of the image,respectively: (a) The final reconstructed image of the two methods under different noise levels;(b) PSNR value of the final reconstructed image;(c) PSNR difference between the final image and the noiseless image.

4.2 FSI、SGI 及結(jié)合方法的邊緣檢測模擬實(shí)驗(yàn)仿真

兩種方法一定程度上可以互相彌補(bǔ)彼此的缺陷,如果將FSI 的頻域處理過程保留,將四步相移算法替換為SGI 的圖像重建算法就可得到一個(gè)新的結(jié)合方法(combination method,CM).為對(duì)比FSI,SGI 和CM 三種方法在實(shí)際應(yīng)用中的效果,引用文獻(xiàn)[19]中所提出的基于傅里葉單像素成像的邊緣檢測方法進(jìn)行模擬仿真實(shí)驗(yàn).基于邊緣檢測理論對(duì)待投影的基底圖案進(jìn)行處理后,分別得到水平和垂直方向的新的梯度條紋基底,可表示為

圖7 不同采樣數(shù)下二值圖SCU 對(duì)應(yīng)3 種不同方法的邊緣檢測結(jié)果Fig.7.Edge detection results of binary graph SCU under different sampling numbers correspond to three different methods.

圖8 三種方法在不同采樣數(shù)下的邊緣檢測PSNR 值Fig.8.PSNR values of the edge detection for the three methods under different sampling numbers.

從模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看到,SGI 隨著采樣率提高擁有比FSI 更高的邊緣圖像質(zhì)量,而SGI 在低采樣率下的PSNR 值較低,邊緣圖像銳度和對(duì)比度過高.原因是SGI 的空域過程相比頻域處理光強(qiáng)更加粗糙,難以對(duì)少量模式找到準(zhǔn)確的權(quán)重.隨著采樣率提升邊緣圖像質(zhì)量明顯提高,進(jìn)一步說明在相同采樣率下SGI 方法比FSI 能獲得更高的成像質(zhì)量.CM 方法保留了FSI 的頻域處理過程,因此不同采樣率下的整體邊緣圖像質(zhì)量更加穩(wěn)定,同時(shí)結(jié)合了SGI 重建算法也同樣具有SGI 的成像效率,并且成像質(zhì)量相比SGI 擁有略微優(yōu)勢.隨后對(duì)該模擬實(shí)驗(yàn)添加隨機(jī)噪聲進(jìn)行另一次模擬實(shí)驗(yàn),采樣數(shù)恒定為52429 次,結(jié)果如圖9 所示.

圖9 三種方法在疊加不同強(qiáng)度隨機(jī)噪聲下的重建結(jié)果,隨機(jī)噪聲幅值的浮動(dòng)范圍分別為圖像低頻部分模擬測量值最大浮動(dòng)范圍的0,0.0075,0.015,0.03,0.075,0.12 倍 (a) 3 種方法在不同噪聲水平下的最終重建圖像;(b) 最終重建圖像的PSNR 值;(c) 最終圖像與無噪聲圖像的PSNR 差值Fig.9.Reconstruction results of the three methods under different intensities of random noise.The floating range of random noise amplitude is 0,0.0075,0.015,0.03,0.075,0.12 times of the maximum floating range of the simulated measurement value for the low frequency part of the image: (a) Final reconstructed images of the three methods under different noise levels;(b) PSNR value of the final reconstructed image;(c) PSNR difference between the final image and the noiseless image.

模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步表明FSI 擁有比SGI 更強(qiáng)的抗噪性能,同時(shí)證明真實(shí)實(shí)驗(yàn)環(huán)境中結(jié)合方法CM 同樣有效.CM 抗噪性能弱于FSI 但優(yōu)于SGI,特別在低噪聲環(huán)境下,頻譜采樣范圍僅為20%時(shí)邊緣圖像的PSNR 值也能達(dá)到22 以上.

4.3 鬼成像關(guān)聯(lián)性質(zhì)討論

從Khamoushi 等[20]的研究可以看出,SGI 方法更接近于TGI,即通過多次測量再統(tǒng)計(jì)平均的方式來獲得包含待測物體信息的圖像,也就是說正弦鬼成像SGI 是可以在TGI 框架下采用下式進(jìn)行描述:

其中Ir(x,y) 是調(diào)制后的投射光場,I0是來自待測物體的透射光(或反射光)強(qiáng)度,I0可以表示為

通過將(17)式與(13)式比較可知,Ir(x,y) 是基于傅里葉級(jí)數(shù)展開的正余弦模式,在該框架下I0即等價(jià)于傅里葉系數(shù).因此,通過代入調(diào)制后的投射光場和計(jì)算相應(yīng)的傅里葉系數(shù),G(x,y) 將變?yōu)榇亟ǖ奈矬w圖像.

TGI 基于光強(qiáng)漲落的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)表示為

可以看到TGI 基于光強(qiáng)漲落,待測物體信息需要測量值與均值相減再統(tǒng)計(jì)平均得到.而SGI 利用結(jié)構(gòu)化散斑,僅需用單像素探測器測得基底對(duì)應(yīng)的權(quán)重值,再與基底相乘并對(duì)所有基底平均后重建圖像,因此從重建算法來看,正弦鬼成像算法比傳統(tǒng)鬼成像關(guān)聯(lián)算法更加簡化.

目前基于傅里葉變換域的鬼成像方法有高效傅里葉單像素成像[18]、基于空間抖動(dòng)方法將灰度傅里葉調(diào)制散斑轉(zhuǎn)換為二值化散斑的快速傅里葉單像素成像[21]、基于變密度抽樣方法并結(jié)合壓縮感知算法的稀疏傅里葉單像素成像[22]等,這幾種鬼成像方法都是由FSI 衍生而來,此外還有本文所討論的正弦鬼成像.通過前面的論證可知,在傅里葉變換域下的鬼成像方法原理一致,只是成像的具體方法或重建圖像的算法不同.

如果將上述思考進(jìn)一步擴(kuò)展,考慮到圖像本身是一種二維空間信號(hào),一般都由空間域的方式表達(dá).在空間域中同樣有基函數(shù)即脈沖函數(shù),而空間域的脈沖函數(shù)也就是像素,像素值的大小稱為灰度,所以鬼成像的空間域表達(dá)也為脈沖基底散斑投影成像.除了空間域圖像還可以在其他正交變換域有等價(jià)的表達(dá),如傅里葉變換域[18]、小波變換域[23]、離散余弦變換域[24]、哈達(dá)瑪變換域[25]等.

其中傅里葉變換域的正交性體現(xiàn)在正余弦函數(shù)的正交性以及復(fù)空間的正交性上,復(fù)空間的正交性即(16)式所示,而正余弦函數(shù)正交性即:

該式表明在傅里葉域柯西主值積分條件下,不同頻率不同初相位的正余弦條紋間互不干擾.

離散余弦變換則為離散傅里葉變換的特殊情況,重構(gòu)的離散余弦基底關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,不再具有虛部,僅體現(xiàn)正余弦函數(shù)的正交性.離散余弦單像素成像由于周期延展的平滑特性其頻譜成分更集中,從而欠采樣成像效果略優(yōu)于傅里葉單像素成像.小波變換單像素成像包含時(shí)域特性,能處理隨時(shí)間變化的圖像.小波函數(shù)正交表示不同空間尺度和時(shí)間尺度的小波間互不干擾,物理意義上與正余弦函數(shù)正交等同.而不同于以傅里葉變換為基礎(chǔ)的單像素成像是依靠圖像分解來獲得基底,哈達(dá)瑪單像素成像的正交基由Hadamard 矩陣導(dǎo)出,為矩陣或向量正交,也就是通過矩陣構(gòu)造正交基底.

可以看到鬼成像過程是一個(gè)對(duì)圖像編碼再解碼的過程,選擇合適的方法編碼并能低損耗解碼就是鬼成像的關(guān)鍵.上述提到的正交變換域均有已被實(shí)現(xiàn)的鬼成像方法,如小波變換鬼成像[23]、離散余弦彩色鬼成像[24]、哈達(dá)瑪鬼成像[25]等.在Bian 等[18]的研究成果中可以看到通過研究傅里葉鬼成像并且參考正弦鬼成像的實(shí)現(xiàn)方式,還獲得了新的鬼成像方法.在尚未驗(yàn)證等價(jià)性基礎(chǔ)的情況下已經(jīng)出現(xiàn)部分應(yīng)用方面的成果,并且從(16)式和(17)式可知,鬼成像在傅里葉變換域中的表達(dá)與傳統(tǒng)鬼成像空間域表達(dá)可以相互轉(zhuǎn)化.考慮到在實(shí)際中所有成像過程都是在空域?qū)崿F(xiàn)的,該發(fā)現(xiàn)表明空域的成像理論描述可以作為所有正交變換域成像的紐帶,同時(shí)也揭示著正交變換域成像的完備空域描述是建立這種聯(lián)系的關(guān)鍵.我們也正在探求將這種關(guān)系推廣到所有正交變換域,將傳統(tǒng)鬼成像與其他各個(gè)正交變換域鬼成像聯(lián)系起來,豐富鬼成像理論體系,開辟新的鬼成像研究領(lǐng)域,拓展鬼成像應(yīng)用方向.相信更加完善的鬼成像理論體系能有助于鬼成像領(lǐng)域研究工作進(jìn)一步深入.

5 結(jié)論

本文證明了FSI 和SGI 成像原理的一致性.與傳統(tǒng)鬼成像相比,正交變換鬼成像使用復(fù)雜散斑,但簡化了重構(gòu)算法.正交基是正交變換成像的關(guān)鍵,選擇合適的正交空間結(jié)構(gòu)基是正交變換鬼像的基礎(chǔ).研究表明,可以將FSI 和SGI 兩種方法相結(jié)合而獲得具有兩者優(yōu)勢新型鬼成像方案,同時(shí)不同的鬼成像方法之間存在一定的共性,探索這種共性對(duì)鬼成像的研究具有積極的意義.基于這一共性,可將不同的鬼成像方法整合在同一理論框架下,完善鬼成像的理論體系,探索新的鬼成像方法.