自旋半經典朗之萬方程一般形式的探討*

李德彰 盧智偉 趙宇軍 楊小寶?

1) (華南理工大學物理與光電學院,廣州 510640)

2) (瑞典皇家理工學院工程科學院應用物理系,斯德哥爾摩 SE-10691)

有限溫度下自旋半經典系統(tǒng)的隨機動力學行為通常由隨機Landau-Lifshitz 方程描述.本文在朗之萬隨機微分方程的框架內,推導出有效朗之萬方程的一般形式,及其對應的Fokker-Planck 方程的表達式.該有效朗之萬方程能正確描述正則系綜下自旋半經典系統(tǒng)的統(tǒng)計物理性質,并且在阻尼項和隨機項消失時能退化到自旋半經典運動方程,因此是隨機Landau-Lifshitz 方程的一種推廣.在笛卡爾坐標系和球坐標系中,分別給出有效朗之萬方程的一般形式和對應的Fokker-Planck 方程的顯式表達式.在球坐標系中,討論了朗之萬方程中的縱場效應,并從方程采取的形式中給出是否包含縱場效應的判斷依據(jù).最后,有效朗之萬方程在一個單自旋、定值外磁場的體系中進行應用.對方程采取特定的形式進行簡便的求解,并成功得到玻爾茲曼穩(wěn)定分布,該結果也檢驗了有效朗之萬方程的準確性.

1 引言

自旋是粒子的一種內稟性質,是量子力學導出的結果.對磁性物質和磁性體系,自旋是必不可少的研究要素.無論是理論分析、實驗觀測,還是在計算機技術的高速發(fā)展中興起的計算模擬,研究磁性都需要考慮自旋效應.本文并不從量子力學的角度研究磁性體系中的自旋效應和磁學性質,而是以統(tǒng)計物理的觀點考察自旋系統(tǒng).自旋并沒有經典對應,盡管它與經典力學中的角動量有相似之處.因此,本文在半經典近似的框架內,考慮自旋半經典系統(tǒng)的統(tǒng)計物理性質.在該框架內,自旋以半經典力學量來處理.對于自旋半經典系統(tǒng),本文研究的統(tǒng)計分布是正則系綜下的經典玻爾茲曼分布.主要工具則是自旋半經典系統(tǒng)的朗之萬隨機微分方程.

以3 維向量S表示半經典系統(tǒng)中的自旋變量.系統(tǒng)的半經典運動方程為[1-5]

這是一個朗之萬隨機微分方程,在半經典運動方程的基礎上加入了阻尼項和隨機項.其中γS是阻尼因子,h(t) 是高斯白噪聲隨機向量,滿足

本文的主要研究對象是用于描述自旋半經典變量隨機運動的有效朗之萬方程.文中將具體討論該有效朗之萬方程的一般形式,及其對應的Fokker-Planck 方程的穩(wěn)定解.由此得到的結果,可看作是對隨機Landau-Lifshitz 方程的推廣和補充.對有效朗之萬方程一般形式的考慮,以滿足兩點要求為基礎: 1) 以經典的玻爾茲曼分布為穩(wěn)定分布,從而可以正確描述自旋體系在正則系綜下的統(tǒng)計性質;2) 阻尼和隨機漲落這兩項如果消失,朗之萬方程將退化到自旋半經典運動方程(1)式.本文的第2 節(jié),將在笛卡爾坐標系中根據(jù)以上兩點要求,推導有效朗之萬方程一般形式的表達式.第3 節(jié)將把第2 節(jié)得到的結果表達成球坐標的形式,得到球坐標系下的有效朗之萬方程和對應的Fokker-Planck 方程.在球坐標系形式下,可以比較簡便地討論和判斷朗之萬方程中的縱場效應.此外,文中以一個具體的簡單系統(tǒng)為例子,展示了選取有效朗之萬方程的特定形式并加以求解的過程.選取適當?shù)男问搅罘匠痰那蠼?、對系統(tǒng)統(tǒng)計分布的分析變得簡便.最后第4 節(jié)是本文的總結.

2 自旋半經典朗之萬方程和Fokker-Planck 方程

考慮一個由朗之萬方程描述的系統(tǒng),以S表示系統(tǒng)的變量.在我們研究的具體例子中,S則為自旋向量.朗之萬方程一般采用以下形式:

其中a(S) 是與S維數(shù)相同的向量;B(S) 是隨機過程h(t) 前的系數(shù)矩陣,h(t) 是高斯隨機向量,與(2)式中的隨機過程性質相同,滿足(3)式和(4)式.h(t)可看成維納過程對時間的形式導數(shù).朗之萬方程(5)式,由決定性部分a(S) 與隨機過程部分B(S)h(t) 組成.如果系數(shù)B(S) 由系統(tǒng)變量S決定,則該隨機部分稱為乘性(multiplicative)噪聲,否則稱為加性(additive)噪聲(例如B為常數(shù)矩陣).系統(tǒng)遵循朗之萬方程做隨機運動時,其含時概率密度分布ρ(S,t) 的時間演化規(guī)律通常由著名的Fokker-Planck 方程來描述.對朗之萬方程采取不同的隨機積分方式,相應地會導出不同形式的Fokker-Planck 方程,最常見的有It?隨機積分形式和Stratonovich 隨機積分形式.這兩種積分形式在處理noise-induced drift 項時可能產生差異,由此導出不同表達式的Fokker-Planck 方程.對于乘性噪聲的隨機過程,這個差異不為0,對于加性噪聲,這個差異則不存在.由于通常在物理應用中Stratonovich 隨機積分更被青睞,這里采取Stratonovich隨機積分所導出的形式,該形式的Fokker-Planck方程為[16-19]

這里Si指S的第i個分量,Bik(S)指B(S) 第i行第k列的矩陣元.容易看出,對于加性噪聲的隨機過程,方程中右端的第2 項為0,剩余部分是It?隨機積分與Stratonovich 隨機積分的共同結果.把方程的右端寫成時間演化算符L的形式,則

概率密度分布函數(shù)ρ(S,t) 從0 時刻的初始分布(例如ρ(S,0)=δ(S-S0))出發(fā),按照Fokker-Planck方程(6)式進行演化,最終到達長時極限的穩(wěn)態(tài)ρ(S,∞),也就是Fokker-Planck 方程的穩(wěn)定解.通常稱ρ(S,∞) 為穩(wěn)定分布或不變分布,本文以ρst(S)標記穩(wěn)定分布,下標st 表示穩(wěn)定(stationary).顯然ρst(S) 對時間的導數(shù)是0,因此把ρst(S) 代 入Fokker-Planck 方程(6)式的右端結果是0,即Lρst(S)=0.

本文研究的系統(tǒng)是自旋半經典系統(tǒng).本文的研究框架是探討適用于自旋半經典系統(tǒng)的朗之萬方程,使其以經典玻爾茲曼分布為穩(wěn)定解,并在阻尼項和隨機項消失時能回到自旋半經典運動方程(1)式.由此出發(fā),針對自旋系統(tǒng)這一具體例子,朗之萬方程的形式可以定為

半經典運動方程和阻尼項一起構成方程的決定性部分,γS是阻尼系數(shù).隨機部分仍然寫成系數(shù)矩陣B(S) 與高斯白噪聲隨機向量h(t) 的乘積,為方便,我們加入了一個常數(shù)系數(shù),類似隨機Landau-Lifshitz 方程(2)式.朗之萬方程采取這種形式,顯然滿足在阻尼和隨機兩部分消失時回到半經典運動方程(1)式的要求.再分析其對應的Fokker-Planck 方程.根據(jù)(6)式可以直接寫出:

其中第1 項,由向量代數(shù)分析不難得出為0;第2 項要保證為0,一個自然的選擇方式是

(15)式是漲落-耗散關系.這樣,則滿足以玻爾茲曼分布為該Fokker-Planck 方程的穩(wěn)定解.這時朗之萬方程的表達式(8)式可具體寫為

同時相對應的Fokker-Planck 方程的表達式可以整理成:

(16)式和(17)式是一個有效的統(tǒng)一框架,表達式中的矩陣B(S) 待定.適當?shù)剡x取矩陣B(S),均可以得到描述自旋半經典系統(tǒng)在正則系綜下統(tǒng)計行為的有效朗之萬方程.這是本文在笛卡爾坐標系中得到的主要結果.需要指出的是,有效朗之萬方程(16)式是以自旋半經典運動方程為基礎,并以有限溫度下滿足玻爾茲曼分布為目標所推導得到的.因此,其適用對象是可用半經典理論描述、并服從經典統(tǒng)計力學規(guī)律的自旋系統(tǒng)或磁性系統(tǒng).本質上,該方程可以看作朗之萬隨機微分方程應用在這樣的自旋/磁性系統(tǒng)上而得到的一種表述形式.

容易驗證,如果選取矩陣B(S) 為

這正是隨機Landau-Lifshitz 方程(2)式.可見隨機Landau-Lifshitz 方程可以看作是這里得到的有效朗之萬方程的一種具體形式,本文把(18)式中對B(S)的 選取標記為BLL(S) .同時可以把BLL(S)代入(17)式,直接寫出其Fokker-Planck 方程的顯式表達式:

之前的很多研究工作,已經對該表達式進行了詳細的推導和分析[8,20-25],這里可把它看作一個統(tǒng)一框架的一種具體的形式.

3 有效朗之萬方程的球坐標形式

分析隨機Landau-Lifshitz 方程(20)式,不難看出,自旋變量的模|S|在 方程中保持不變,因為S隨時間的變元在方向上與S垂直,|S|在時間演化中不發(fā)生改變.于是求解隨機Landau-Lifshitz 方程,將得到S在一個固定半徑的球面上的概率分布.這表明隨機Landau-Lifshitz 方程只包含橫場作用,而沒有縱場效應.對于球面上的概率分布,一個自然的想法是把系統(tǒng)變換到球坐標系下,分析隨機微分方程的形式及其對應的概率密度函數(shù).本節(jié)將推導球坐標系中有效朗之萬方程的一般形式,得到其對應的Fokker-Planck 方程,并判斷朗之萬方程中是否體現(xiàn)縱場效應.

3.1 球坐標系中的有效朗之萬方程和Fokker-Planck 方程

坐標變換的雅可比矩陣及其逆矩陣分別是

|C|=S2sinθ是坐標變換的雅可比行列式.當θ=0及θ=π 時,雅可比行列式為0,這時變換矩陣C不可逆.原因在于,θ=0 時S向量指向z軸正方向,θ=π時則指向負方向,兩種情況下在xy平面上的投影均為坐標零點,φ沒有定義,也即這時的球坐標沒有良好的定義.因此,θ=0 及θ=π (或者等價地,Sx=Sy=0)是坐標變換的奇點.本節(jié)的討論均建立在球坐標有良好定義的前提下,因此不包括奇點處的分析.但是,球坐標變換的奇點在笛卡爾坐標系中仍然連續(xù),因此仍可包含在第2 節(jié)笛卡爾坐標系的討論中.

對球坐標Ssph,玻爾茲曼分布的形式為

其中定義有效的球坐標哈密頓量:

利用變換矩陣,可以方便地把上一節(jié)得到的朗之萬方程(16)式轉換到球坐標系:

這里定義D=C-1B.逐項分析(27)式的右端.首先對應隨機Landau-Lifshitz 方程中的BLL[見(18)式],有

于是(27)式右端第1 項為

對第2 項,首先有

再分析向量b(S) .在(10)式中定義了b(S) 的元素,這里用球坐標變量來表示b(S) :

由(32)式顯然可以把向量b(S) 表達成更緊湊的形式:

可以看出定義方式與b(S) 在笛卡爾坐標系中的形式相似.現(xiàn)在把(30)式、(31)式和(34)式代入(27)式,得到:

這是有效朗之萬方程(16)式的球坐標形式.對矩陣B的選取,現(xiàn)在轉化為對D的選取.對應隨機Landau-Lifshitz 方程的取法,是(28)式中的DLL.這時含時概率密度函數(shù)ρsph(Ssph,t) 的時間演化,則滿足球坐標系的Fokker-Planck 方程.與第2 節(jié)的分析完全類似地,可以得到(36)式對應的球坐標系Fokker-Planck方程:

不難檢驗,球坐標的玻爾茲曼分布(25)式是該Fokker-Planck 方程的穩(wěn)定解.把(25)式代入(37)式右端,得到

結果顯然是0.這表明該朗之萬方程在球坐標系中的有效性.(36)式和(37)式是有效朗之萬方程及其Fokker-Planck 方程的一般形式(16)式和(17)式,在球坐標系中的表現(xiàn)形式.這是本文在球坐標系中得到的主要結果.

3.2 縱場效應的討論

從球坐標形式的有效朗之萬方程(36)式可以直接看出,如果只有橫場作用,保持模S守恒,則必須滿足矩陣D的第1 行是零向量.隨機Landau-Lifshitz 方程中的DLL[見(28)式]是滿足該條件的一個例子.把隨機Landau-Lifshitz 方程對應的球坐標形式顯式地寫出,為

相應地,概率密度函數(shù)ρsph(θ,φ,t) 只包含兩個角度變量和時間變量,Fokker-Planck 方程可整理得到:

這個結果已經被很多工作分析和討論過[22,26-34].矩陣D的第1 行如果不是零向量,則朗之萬方程中包含縱場效應,模S不能保持不變.在文獻[35]中,作者提出了一個包含縱場漲落的朗之萬方程,并說明隨機Landau-Lifshitz 方程是該方程在以S為半徑的球面上的投影.在本文的框架中,該方程是(16)式對矩陣B簡單選取為B=1 得到的結果,或者等價地在球坐標系中選取D=C-1.這樣選取的矩陣D的第1 行顯然不是零向量,因此方程中包含縱場效應.除了朗之萬方程以外,縱場效應的研究也可見于蒙特卡羅模擬的相關工作中[36].

如果只考慮橫場作用,有效朗之萬方程也可以采取隨機Landau-Lifshitz 方程以外的形式.在文獻[32]中,作者采用了

可以看出,該形式的朗之萬方程與隨機Landau-Lifshitz 方程(40)式相比,兩個角度變量在動力學演化時都發(fā)生耦合,即運動方程不獨立.主要區(qū)別則在隨機部分,該方程只需要一個2 維的高斯隨機向量場,隨機Landau-Lifshitz 方程則需要完整的3 維高斯隨機過程.對該方程具體的分析和數(shù)值計算,這里不詳細討論.

3.3 簡單的應用

本文已經得到適用于自旋半經典系統(tǒng)的有效朗之萬方程的一般形式,在笛卡爾坐標系和球坐標系中分別展示了有效朗之萬方程及其對應的Fokker-Planck 方程的表達式.對于具體的系統(tǒng)、具體的哈密頓量,選取特定的形式可能會令方程的求解變得簡便.本節(jié)將討論一種較為簡單的體系,對該體系選取有效朗之萬方程的一種形式并加以求解.

考慮一個單自旋的系統(tǒng),處于定值外磁場H當中,系統(tǒng)的哈密頓量為自旋與外場的相互作用:

由于H是定值向量,為方便起見可把H的方向設為z軸正方向,則哈密頓量為H=-SHcosθ,不包含φ.球坐標哈密頓量有簡單的形式:

代入有效朗之萬方程的一般形式(36)式,得到:

為確保系統(tǒng)有合法的玻爾茲曼分布,我們不引入縱場效應,于是S是常數(shù),同時系統(tǒng)的玻爾茲曼分布中不顯含φ.對矩陣D,我們選取非常簡單的形式:

可以看到,兩個角度變量的運動方程是獨立的朗之萬方程.對這兩個方程分別求解,就得到θ和φ各自的概率分布.

首先分析θ的運動方程

這是一個過阻尼形式(overdamped)的朗之萬方程.顯然,這個方程有加性噪聲的隨機過程,隨機項前面的系數(shù)和阻尼因子滿足漲落-耗散關系.利用第2 節(jié)的分析方法,容易知道該朗之萬方程得到的穩(wěn)定分布是θ的玻爾茲曼分布再看φ的運動方程:

其中φ0是初始條件.從形式解中得出,φ(t) 服從高斯分布,均值為φ0-γHt,方差為

如果φ是實數(shù)域上的無界變量,則上式的含時概率密度在長時極限下只有平庸解0,不存在穩(wěn)定分布.但在球坐標系中,φ被限定在 [ 0,2π) 區(qū)間上,朗之萬方程的形式解(51)式中應包含周期邊界條件.顯然,在周期邊界條件的作用下,隨機變量φ(t) 的均值也在 [ 0,2π) 區(qū)間上.這時,(53)式的高斯概率密度,在長時極限下應該趨于隨機變量所在區(qū)間上的等概率密度.從而,φ的穩(wěn)定分布是 [ 0,2π) 區(qū)間上的均勻分布 1/(2π) .于是,系統(tǒng)在球坐標系中總的穩(wěn)定分布可以得到:

這正是球坐標系中的玻爾茲曼分布.

本節(jié)對具體的體系進行分析,選取有效朗之萬方程的一個特定的形式,從而可以相對簡便地求解,以得到穩(wěn)定的玻爾茲曼分布.這是對文中得到的有效朗之萬方程一般形式的一個簡單的應用.此外,橫場自旋半經典朗之萬方程在隨機Landau-Lifshitz 方程之外有更多可能的形式,本節(jié)提供了一個具體的例子.最后需要指出,本節(jié)考慮的是非常簡單的例子.對于哈密頓量更加復雜的體系,朗之萬方程往往難以(甚至無法)嚴格求解,這時必須采用數(shù)值方法進行計算,方程形式的選擇也將影響數(shù)值計算的效果.

4 結論

本文以正則系綜下的經典玻爾茲曼分布為目標,從朗之萬隨機微分方程出發(fā),推導出自旋半經典系統(tǒng)有效朗之萬方程的一般形式,以及對應的Fokker-Planck 方程.該有效朗之萬方程以玻爾茲曼分布為穩(wěn)定分布,因此可以正確描述自旋體系在正則系綜下的統(tǒng)計物理性質.同時方程中阻尼項和隨機項消失時能退回到自旋半經典運動方程,因此也能包含自旋系統(tǒng)的半經典運動模式.這個結果是對隨機Landau-Lifshitz 方程的推廣和補充.在球坐標系中,方程的形式可以簡便地判斷是否包含縱場效應.在一個單自旋、定值外磁場的具體體系中,成功地應用有效朗之萬方程進行統(tǒng)計分布的分析,檢驗了方程的準確性,同時也為橫場自旋朗之萬方程在隨機Landau-Lifshitz 方程之外更多的形式上的選擇,提供了具體的例子.本文的工作可以拓寬朗之萬隨機微分方程作為一種理論和計算工具的應用范圍,同時也為自旋半經典系統(tǒng)的動力學和統(tǒng)計力學研究提供理論工具層面的參考.