2022年高考數(shù)學文化試題評析及教學建議

黃邵華

【摘要】本文分析2022年高考數(shù)學試卷中涉及數(shù)學文化的試題，發(fā)現(xiàn)這些試題分別以我國工程建設、環(huán)境治理等為背景考查數(shù)學知識的應用，以科技創(chuàng)新為背景展示數(shù)學與其他學科融合的意義，以及以古代建筑為背景展示數(shù)學文化之美，認為高中數(shù)學教師有必要學習領會教育改革與高考改革精神，與時俱進地調(diào)整教學方式，充分發(fā)掘和利用教材中的數(shù)學文化內(nèi)容，重視在復雜情境教學中凸顯學生的主體地位，開展數(shù)學課外閱讀，從而發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，落實立德樹人根本任務。

【關鍵詞】數(shù)學文化 數(shù)學高考 試題分析 教學建議

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）14-0048-04

黨的教育方針強調(diào)要把立德樹人作為教育的根本任務，不僅要教會學生知識和技能，更重要的是培養(yǎng)學生正確、科學的道德觀念和價值觀念。基于此，以情境為依托，使學生堅定“四個自信”，落實立德樹人根本任務，成為近年高考的熱點，并將是2023年高考命題的核心要旨。

“數(shù)學文化”狹義上是指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展；廣義上的“數(shù)學文化”除包含上述內(nèi)涵外，還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育等。《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出，要關注數(shù)學學科發(fā)展前沿與數(shù)學文化，繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。本文展示2022年高考數(shù)學卷中有關數(shù)學文化的試題，分析這些高考數(shù)學試題如何通過具體的問題情境來考查數(shù)學知識，并提出教學建議。

一、試題評析

（一）以我國工程建設為背景，強調(diào)數(shù)學基礎作用

例1（2022年新高考Ⅰ卷第4題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時，相應水面的面積為140.0 km2；水位為海拔157.5 m時，相應水面的面積為180.0 km2，將該水庫在兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時，增加的水量約為（ ）。

A.1.0×109 m3 ? ? B.1.2×109 m3

C.1.4×109 m3 ? ? D.1.6×109 m3

本題主要考查立體幾何板塊中棱臺體積的求法。而有關臺體（包含棱臺和圓臺）的體積和面積的問題，沒有在2022年之前的近十年廣西高考試題中出現(xiàn)過。本題的出現(xiàn)，是新高考改革釋放的一個信號，即注重對基礎知識掌握的全面性和系統(tǒng)性。本題根據(jù)水庫的形狀建立棱臺的數(shù)學模型，在已知棱臺的兩個底面積和高的條件下求解棱臺的體積，考查和發(fā)展了學生數(shù)學運算、數(shù)學建模、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)。本題建立數(shù)學模型的難度不大，關鍵在于學生要記憶和理解棱臺的體積公式這個基礎知識，而臺體的體積公式比柱體、錐體的要復雜，建議教師在教授新課或高三復習過程中引導學生對公式進行適當?shù)耐茖В箤W生在理解的基礎上記憶公式而不是機械地記憶。

（二）以我國環(huán)境治理為背景，領悟數(shù)學應用價值

例2（2022年全國乙卷理科卷第19題，節(jié)選）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)略），并計算得

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186 m2。已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比。利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值。

這是一道統(tǒng)計板塊的解答題，考查的知識包括樣本的數(shù)字特征、兩個變量的相關系數(shù)、正比例函數(shù)等，考查和發(fā)展學生數(shù)學建模、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。這道題以環(huán)境治理為背景，給出樹木根部橫截面積與樹木的材積量這組成對數(shù)據(jù)的相關樣本數(shù)據(jù)，考查學生對均值、相關系數(shù)、估算等統(tǒng)計學知識的理解和應用，使其領悟數(shù)學的應用價值。統(tǒng)計學的知識點比較多，分散在必修第二冊和選修第三冊兩冊教材的兩個模塊中，但在高考試題的考查中往往會綜合出現(xiàn)。因此建議教師在教學選修第三冊中的統(tǒng)計學知識的過程中，多與必修第二冊中的統(tǒng)計內(nèi)容進行對比教學和綜合應用，使學生感受收集、整理、分析數(shù)據(jù)以及利用統(tǒng)計分析進行決策的連貫性和系統(tǒng)性，體會統(tǒng)計學知識的應用價值。

（三）以我國科技創(chuàng)新為背景，體會學科融合意義

例3（2022年北京卷第7題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar。下列結(jié)論中正確的是（ ）。

A.當T=220，P=1 026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當T=270，P=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當T=300，P=9 987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當T=360，P=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

本題以北京冬奧會為背景，展示數(shù)學與其他學科的交叉應用，展示我國在科技創(chuàng)新領域取得的成就。本題考查的知識有函數(shù)的圖象、對數(shù)運算、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等，屬于較易題，考查和發(fā)展學生的數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)。本題中出現(xiàn)的“溫度”“壓強”“液態(tài)”“氣態(tài)”“二氧化碳”“超臨界狀態(tài)”等名詞，是物理、化學等學科中的專業(yè)術語，此題體現(xiàn)了高中數(shù)學知識中函數(shù)的運算、性質(zhì)以及圖象等相關內(nèi)容與其他學科在科技創(chuàng)新領域中的交叉融合。歷史上許多數(shù)學新知識，往往是在其他一些實踐性較強的學科的發(fā)展和應用過程中產(chǎn)生的。因此，高中數(shù)學教師在日常教學中，一方面要多利用其他學科的知識背景創(chuàng)設情境，闡述數(shù)學知識的形成過程，另一方面也要引導學生將所學的知識運用于解決其他學科的問題，體會數(shù)學在多學科交叉融合中的意義。

（四）以我國古代建筑為背景，感受數(shù)學文化之美

例4（2022年天津卷第8題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120°，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）。

A.23? ? B.24? ? C.26? ? D.27

本題主要考查立體幾何板塊中的組合體的體積問題，要求學生從“十字歇山”這個具體的實例中抽象出兩個直三棱柱重疊的組合體形象，同時借助空間想象力理解該組合體的對稱性，并利用棱柱和棱錐的體積公式進行求解，主要考查和發(fā)展學生數(shù)學抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)。立體幾體中組合體的體積和面積的求解問題是學生的易錯點，學生在解題過程中容易出現(xiàn)遺漏或重復的情況，建議教師在教學過程中利用實物模型讓學生獲得直觀感知，同時鼓勵學生多動手作圖，提升他們的空間想象力。

2022年的高考數(shù)學試題中，除了此題以美輪美奐的中國古代建筑“十字歇山”為背景，與中國傳統(tǒng)文化相關的試題的背景還有自然科學、工藝技術及社會歷史現(xiàn)象的綜合性筆記體巨著《夢溪筆談》，中國古代建筑的特色結(jié)構“舉架結(jié)構”，發(fā)現(xiàn)了“三斜求積”公式的中國古代著名數(shù)學家秦九韶……考查的知識覆蓋三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何等。中華民族在源遠流長的歷史長河中，在文化、藝術、科技等方面都有著巨大的貢獻，積淀了屬于中華民族的智慧結(jié)晶和精神追求。這些試題既考查了學生的知識和技能，又讓學生感受和領悟數(shù)學之美，加深學生對我國數(shù)學發(fā)展及獲得成就的了解，使學生堅定文化自信。

二、啟示和建議

《中國高考評價體系》提及的“一核四層四翼”中，“一核”指的是高考的核心功能，即“立德樹人、服務選才、引導教學”，回答“為什么考”的問題。2023年度高考藍皮書《中國高考報告（2023）》中也指出，高考要落實立德樹人，鮮明體現(xiàn)時代主題，將立德樹人這一根本任務融入高考試題命制中，引導學生堅定“四個自信”，助力培養(yǎng)擔當民族復興大任的時代新人。在教育改革理念的指導下，2022年及近年的高考數(shù)學試題充分體現(xiàn)了這方面的要求，也必將成為今后高考試題命題的重點。

鑒于以上分析，針對高中一線數(shù)學教師如何把握高考改革趨勢，通過數(shù)學文化教學落實立德樹人根本任務，筆者提出以下教學建議。

（一）學習領會教育改革和高考改革精神，緊跟時代步伐調(diào)整教學方式

隨著我國教育改革和高考改革的不斷深入，將德育滲透于各學科的課堂已經(jīng)成為趨勢和常態(tài)。數(shù)學是一門強調(diào)邏輯分析和理性思維的學科，因此更需要教師學會與時俱進地調(diào)整和改進教學方式，落實立德樹人根本任務。教師不能只講數(shù)學知識，只強調(diào)數(shù)學知識的形成和發(fā)展，只關注數(shù)學運算、推理的過程與結(jié)論正確與否，還應該調(diào)整和更新教學方式，多創(chuàng)設問題情境切入，重視數(shù)學在實際生產(chǎn)生活中的應用，積極展示我國在人類社會發(fā)展歷程中取得的輝煌成就，使學生堅定“四個自信”。

（二）充分利用和發(fā)掘教材中的數(shù)學文化內(nèi)容，滲透立德樹人理念

數(shù)學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。在現(xiàn)今各個版本的教材中，許多章節(jié)或知識板塊都會以適當?shù)奈幕尘盀榍榫尺M行切入或延伸，教師在教學中應充分利用這些教學資源滲透德育。例如教材中利用“復興號”動車引入函數(shù)概念，教師可以介紹我國高鐵的快速發(fā)展史；教材中通過“恩格爾系數(shù)”引出函數(shù)的表示方法，教師則可拓展恩格爾系數(shù)的相關知識，讓學生感受我國人民幸福指數(shù)的不斷增長；教材中以我國政府減少水資源浪費為背景提出統(tǒng)計學相關問題，教師可以強調(diào)我國在尊重人類社會發(fā)展規(guī)律方面提出的正確理論；等等。又如教材中由“趙爽弦圖”闡述重要不等式的幾何意義、由“祖暅原理”推導體積公式等，教師可以強調(diào)我國古代數(shù)學在世界數(shù)學發(fā)展歷程中的重要地位和作用，使學生堅定文化自信。這樣的例子還有很多，教師在以數(shù)學文化為背景進行教學的同時，應多嘗試發(fā)掘其背后的德育價值，滲透立德樹人理念。

（三）重視在復雜情境教學中凸顯學生主體地位，提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)

有了合適的數(shù)學文化作為情境背景，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題便成為教學的關鍵。復雜的背景情境蘊含了諸多信息，在處理信息的過程中，教師要重視學生的主體地位，嘗試讓學生自主閱讀材料，找到需要解決的關鍵問題，而不能過多引導或直接給出問題背后的數(shù)學模型。在復雜背景情境中，教師要重視培養(yǎng)和提升學生的信息處理能力，一方面，要教授學生在具體問題中學會舍棄無用信息、留下有用信息；另一方面，要注重建立關鍵信息之間的聯(lián)系，嘗試將這種聯(lián)系與已有數(shù)學知識體系中的概念聯(lián)系相結(jié)合；最后一個方面，更重要的是引導學生進行合理的數(shù)學抽象、科學的假設，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通過求解數(shù)學問題，獲得解決實際問題的辦法，提升學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)。

（四）提倡數(shù)學課外閱讀，發(fā)展學生綜合素養(yǎng)

教師在常規(guī)教學活動之余，應鼓勵學生多進行與數(shù)學相關的課外閱讀。閱讀的內(nèi)容可以是數(shù)學課上的內(nèi)容的深化，也可以是數(shù)學課外拓展內(nèi)容；可以是數(shù)學發(fā)展史，也可以是數(shù)學實踐應用等。通過數(shù)學閱讀，學生對數(shù)學知識的形成過程有更加清晰的理解；了解數(shù)學知識在學科交叉和實際生產(chǎn)生活中的應用，體會數(shù)學的價值，培養(yǎng)實踐能力和創(chuàng)新能力；了解和學習到更多課本中沒有的知識，拓寬數(shù)學學習的廣度，加深數(shù)學學習的深度，培養(yǎng)自主學習能力；發(fā)展理解和組織數(shù)學語言的能力以及信息處理能力，提升邏輯思維水平；了解中外數(shù)學的歷史和現(xiàn)狀，關注時事，提升政治素養(yǎng)。

（五）開展數(shù)學研究活動，加強理論與實踐的結(jié)合

對學生而言，不論是教材中提供的數(shù)學文化背景還是高考題中呈現(xiàn)的數(shù)學文化背景，終究都是他人提供的情境信息，而不是學生自主提出和發(fā)現(xiàn)的。因此，教師在教學過程中，應注重開展數(shù)學研究活動，可以引導學生以個人或小組為單位，設計數(shù)學實驗，開展學科交叉融合的創(chuàng)新實踐課題研究，讓學生在參與活動的過程中自主觀察、自主思考、自主發(fā)現(xiàn)、自主探索、自主解決問題。發(fā)現(xiàn)問題到解決問題的過程，可以讓學生充分感受數(shù)學的應用價值和數(shù)學之美，大大激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣和學習熱情，提升學生數(shù)學學習成就感，提升學生的創(chuàng)造意識和實踐意識。開展數(shù)學研究活動，將理論與實踐相結(jié)合，既讓學生學習知識，又在教學中滲透德育，落實立德樹人根本任務，為社會主義事業(yè)培養(yǎng)德才兼?zhèn)涞母咚刭|(zhì)人才。

參考文獻

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注：本文系廣西教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度廣西高考綜合改革專項課題“基于中學數(shù)學教師核心素養(yǎng)發(fā)展的教師新教材實施的實踐能力培養(yǎng)研究”（2021ZJY1755）、南寧市教育科學“強基計劃拔尖人才培養(yǎng)”專項課題“強基計劃背景下培養(yǎng)高中數(shù)學競賽拔尖創(chuàng)新人才的實踐研究”（2021QJ002）的研究成果。

（責編 劉小瑗）