高等數(shù)學(xué)教學(xué)的思考及探索

郭曉珍

［摘? ? ? ? ? ?要］? 高等數(shù)學(xué)是本科院校的一門公共基礎(chǔ)課，在理工、經(jīng)管等專業(yè)占有舉足輕重的地位，成為學(xué)生專業(yè)課學(xué)習(xí)、未來工作及后續(xù)進(jìn)行科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)。山西能源學(xué)院是山西省應(yīng)用型本科試點(diǎn)院校，在人才培養(yǎng)模式上對(duì)“學(xué)教做合一”有較高要求。因此，教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中需要不斷反思和探索，使學(xué)生在高等數(shù)學(xué)知識(shí)扎實(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)各專業(yè)課程有深入的理解和研究，真正做到學(xué)以致用。高等數(shù)學(xué)在教學(xué)中依然有需要改進(jìn)的方面，以山西能源學(xué)院為例，從線上教學(xué)、教學(xué)的完整度、知識(shí)的銜接性和應(yīng)用等方面探索改進(jìn)教學(xué)的方法，讓學(xué)更有趣、更深刻、更有用，讓教更有意義。

［關(guān)? ? 鍵? ?詞］? 線上教學(xué)；教學(xué)完整性；知識(shí)延伸和應(yīng)用；師生關(guān)系

［中圖分類號(hào)］? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文章編號(hào)］? 2096-0603（2023）16-0０45-04

當(dāng)前，互聯(lián)網(wǎng)快速發(fā)展，其對(duì)數(shù)據(jù)的快速處理是建立在數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的。在動(dòng)力學(xué)分析、圖像處理及數(shù)字信號(hào)處理等方向，數(shù)學(xué)理論都起到了決定性作用。因此，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)對(duì)學(xué)生的發(fā)展起著重要的作用，高等學(xué)校培養(yǎng)能夠適應(yīng)社會(huì)的應(yīng)用型人才，數(shù)學(xué)教學(xué)尤為重要。山西能源學(xué)院作為全國地方高?！爱a(chǎn)教融合”建設(shè)試點(diǎn)院校，要實(shí)現(xiàn)“產(chǎn)教融合”，就要提高人才培養(yǎng)質(zhì)量和科學(xué)研究水平，而高等數(shù)學(xué)作為學(xué)校的基礎(chǔ)課程，改進(jìn)其教學(xué)能夠?yàn)槿瞬排囵B(yǎng)質(zhì)量和研究水平的提升起到重要的作用。

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

高等數(shù)學(xué)作為學(xué)校的一門基礎(chǔ)課程，在整個(gè)學(xué)科體系中具有基礎(chǔ)性和工具性的作用，許多專業(yè)課程知識(shí)及結(jié)論需要用高等數(shù)學(xué)來解決。如大學(xué)物理的學(xué)習(xí)離不開高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，材料力學(xué)計(jì)算各種變力大都需要學(xué)生有積分基礎(chǔ)，電工電子技術(shù)中電路中存在電容或電感時(shí)，計(jì)算交變電流和電壓需要用微分方程的知識(shí)等，因此完善高等數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)理工科學(xué)生影響重大。但目前的高等數(shù)學(xué)教學(xué)并不完善，許多方面值得反思和探索。在教學(xué)過程中總結(jié)出幾個(gè)需要改進(jìn)的方面。

高等數(shù)學(xué)教學(xué)的反思：（1）線上教學(xué)的效果有待提升。（2）教學(xué)的完整性需要改善。（3）與其他課程的銜接需更加緊密。（4）知識(shí)的延伸和應(yīng)用欠缺?；谝陨戏此?，提出幾個(gè)探索方向。

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)的探索

（一）線上教學(xué)的效果需提升

近年來線上教學(xué)快速發(fā)展，突破了時(shí)空限制，讓知識(shí)獲取更便捷，同時(shí)使大眾均衡地享受優(yōu)質(zhì)教育資源，成為未來學(xué)習(xí)的一種趨勢。線上教學(xué)應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中將大大促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展。盡管線上教學(xué)優(yōu)點(diǎn)很明顯，但線上教學(xué)仍存在一些不足。如學(xué)生雖進(jìn)入課堂，但互動(dòng)時(shí)無人應(yīng)答；師生視覺易疲勞、交流不便、教學(xué)平臺(tái)功能不完善；網(wǎng)絡(luò)擁堵；教學(xué)效率低等問題存在。基于以上種種原因造成線上教學(xué)效果與滿意度不夠理想[1]。

提升線上教學(xué)效果可以嘗試從以下幾方面出發(fā)。（1）換位教學(xué)。教師作為課堂的引導(dǎo)者，但“主播”改為學(xué)生[2]，教師要適當(dāng)糾正和引導(dǎo)，讓課堂順利進(jìn)行的同時(shí)保證學(xué)生的參與。當(dāng)然，要選擇合適的知識(shí)點(diǎn)讓學(xué)生來講解，內(nèi)容選擇上要有所甄別。（2）線上互動(dòng)作為平時(shí)成績的一個(gè)考評(píng)機(jī)制，由話題討論的積極參與度、問題回復(fù)的準(zhǔn)確度等方面結(jié)合測驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行綜合考量。（3）做好線上教學(xué)設(shè)計(jì)。在開展線上教學(xué)的過程中，教師應(yīng)以學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)為核心目標(biāo)，圍繞學(xué)生自主學(xué)習(xí)開展教學(xué)設(shè)計(jì)。（4）課件設(shè)計(jì)更靈動(dòng)，改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課件設(shè)計(jì)方式，增加富有實(shí)際意義的案例，激起學(xué)生的興趣。線上教學(xué)過程中可以逐步探索，以求教學(xué)效果更理想。（5）教師也要進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)知識(shí)的學(xué)習(xí)，提高對(duì)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的應(yīng)變能力。積極參加學(xué)校組織的培訓(xùn)活動(dòng)，并進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)際操作。

（二）教學(xué)的完整性需改善

高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，很多內(nèi)容比較抽象，還有些內(nèi)容高中時(shí)學(xué)生沒有選修，大學(xué)課本又沒有相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生知識(shí)斷層，不易吸收和理解，且記憶性的知識(shí)增多，做題方法單一，從而學(xué)習(xí)興趣減弱?？傊?，高等數(shù)學(xué)教學(xué)在課程引入、推導(dǎo)證明、教學(xué)銜接等方面有待提升。

1.改善課程引入

課程引入對(duì)一節(jié)課的教學(xué)效果有著極大的影響，好的引入能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和對(duì)內(nèi)容的持續(xù)關(guān)注度，并對(duì)所學(xué)內(nèi)容印象更深刻。在新工科、新文科培養(yǎng)目標(biāo)要求下，以及網(wǎng)絡(luò)課堂的影響下，高等數(shù)學(xué)的課程引入必須做相應(yīng)的改善。高等數(shù)學(xué)作為一門理論性較強(qiáng)、知識(shí)點(diǎn)較多的課程，課程引入應(yīng)從學(xué)生容易接受、知識(shí)銜接流暢的角度去改善。以拉格朗日中值定理的講授為例，改善課程引入。

若直接給出定理和結(jié)論并進(jìn)行證明，那么會(huì)很枯燥，學(xué)生容易轉(zhuǎn)移注意力，而且對(duì)知識(shí)點(diǎn)所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想理解不深刻。如果以實(shí)際問題的方式引入：假如在某一時(shí)段，駕駛員駕車行駛的平均速度超過了該路段的限速，那么該駕駛員被開罰單是否合理？實(shí)際生活中我們理所應(yīng)當(dāng)?shù)卣J(rèn)為這是合理的，因此可以繼續(xù)發(fā)問：某一時(shí)段平均速度超過限速，能說明某一時(shí)刻超速嗎？進(jìn)而將這個(gè)問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)數(shù)學(xué)問題就是：區(qū)間上的函數(shù)平均變化率和某點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率能相等嗎？通過問題的層層遞進(jìn)，將數(shù)學(xué)問題展現(xiàn)出來的同時(shí)潛移默化地講解了拉格朗日中值定理的數(shù)學(xué)意義，在數(shù)學(xué)問題提出之后還可以在此處教學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的學(xué)習(xí)方法。

在拉格朗日中值定理證明時(shí)也可通過曲線旋轉(zhuǎn)引入。通過復(fù)習(xí)羅爾中值定理以及幾何意義得到圖1，拋出問題：將圖1中曲線和直線旋轉(zhuǎn)45°之后（圖2），切線和曲線端點(diǎn)連線有什么關(guān)系呢？顯然學(xué)生能得到它們的關(guān)系是依然平行，根據(jù)平行則斜率相等，就得到了拉格朗日中值定理的結(jié)論，接下來根據(jù)圖形特點(diǎn)進(jìn)行理論證明。這樣引入一方面使課程銜接自然，另一方面引發(fā)學(xué)生的思考并產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣。

根據(jù)對(duì)這一問題的思考，那么又會(huì)得到怎樣的一般性結(jié)論呢？很自然地引出柯西中值定理。

2.適當(dāng)?shù)耐茖?dǎo)證明

數(shù)學(xué)本就是兼具邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性的一門學(xué)科，教師傳授給學(xué)生的除了知識(shí)、能力，更是思維的培養(yǎng)。在高校的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于非數(shù)學(xué)專業(yè)生的原因，經(jīng)常課時(shí)被壓縮得很少，導(dǎo)致部分知識(shí)只有結(jié)論，忽略證明過程，數(shù)學(xué)技巧學(xué)生會(huì)用但來源卻不知，只是記住了結(jié)論，不會(huì)推導(dǎo)，同時(shí)一些定理的證明也只是拘于課本，這不利于學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)性思維的培養(yǎng)，也不利于發(fā)散性思維的培養(yǎng)。因此，在教學(xué)過程中，適當(dāng)?shù)耐茖?dǎo)證明和補(bǔ)充證明必不可少。

3.教學(xué)銜接更流暢

高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)存在一定的銜接問題。首先，高等數(shù)學(xué)中需要用到的極坐標(biāo)及平面曲線的極坐標(biāo)方程、反三角函數(shù)、坐標(biāo)變換等基礎(chǔ)知識(shí)，在高中數(shù)學(xué)中部分學(xué)生并未進(jìn)行選修學(xué)習(xí)，這是需要進(jìn)行銜接教育的，否則學(xué)生難以進(jìn)行高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

其次，考慮高等數(shù)學(xué)與其他大學(xué)課程的銜接性。如大學(xué)物理同樣是一門重要的基礎(chǔ)課程，但其中涉及向量積、積分、高斯定理等知識(shí)，因此，其課程安排應(yīng)該在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后，或者是高等數(shù)學(xué)課程章節(jié)安排上進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，高等數(shù)學(xué)下冊可先進(jìn)行“空間解析幾何”這一章的講解，其涉及向量、向量積的知識(shí)，從而做到與大學(xué)物理上冊相銜接。同時(shí)，在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)和向量積時(shí)用到行列式的知識(shí)，在學(xué)微分方程時(shí)用到線性相關(guān)和線性無關(guān)的知識(shí)，這就需要學(xué)生具有線性代數(shù)的知識(shí)，因此，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)之前，學(xué)生需要具備相關(guān)的線性代數(shù)知識(shí)。

在教學(xué)上的銜接需要教師在備課中多鉆研，用恰當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)學(xué)生進(jìn)行銜接教育。在課程上的銜接則需要結(jié)合各專業(yè)實(shí)際情況，進(jìn)行適時(shí)的聯(lián)合備課，因材施教在教學(xué)效果上才能有所突破。

（三）重視知識(shí)的延伸與應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)課，其基本知識(shí)點(diǎn)教師都能掌握，但在應(yīng)用型本科背景下，對(duì)學(xué)生知識(shí)要求更全面，不僅需要學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)，更要掌握其應(yīng)用。要達(dá)到這樣的目標(biāo)，一方面教師自身知識(shí)水平要高，另一方面學(xué)生需要會(huì)“學(xué)”和“用”。

1.數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用要強(qiáng)化

高等數(shù)學(xué)雖是各學(xué)科基礎(chǔ)，可以應(yīng)用到學(xué)科知識(shí)中，但這些知識(shí)要想產(chǎn)學(xué)研用最終還是要通過軟件來實(shí)現(xiàn)。而高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多知識(shí)點(diǎn)的講解可以通過數(shù)學(xué)軟件來模擬，從而達(dá)到強(qiáng)化數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)的作用。例如常用的數(shù)學(xué)軟件MATLAB，它具有強(qiáng)大的繪圖功能，方便學(xué)生理解二元函數(shù)的極限不存在、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)幾何意義等，借助MATLAB數(shù)學(xué)軟件還可用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析及數(shù)值計(jì)算[5]。而且很多課程隨著考研學(xué)生的增多，絕大多數(shù)的理工科學(xué)生將來要在研究生生涯中做課題或者項(xiàng)目，就需要實(shí)現(xiàn)模型，利用數(shù)學(xué)軟件去做。數(shù)學(xué)軟件還可以用于學(xué)生數(shù)學(xué)建模，這對(duì)學(xué)生技能的補(bǔ)充是有益的。數(shù)學(xué)編程軟件的使用可以將抽象的數(shù)據(jù)變得具體形象，同時(shí)為學(xué)生跟隨科技發(fā)展提供便利條件，因此，教學(xué)中數(shù)學(xué)軟件使用的補(bǔ)充是必要的。

2.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)

學(xué)生從高中階段跨越到大學(xué)階段，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)剛開始是不適應(yīng)的，不同于高中知識(shí)點(diǎn)的簡單易懂，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容相對(duì)抽象。因此，要及時(shí)調(diào)整學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)生思考，將聽課的內(nèi)容與思考內(nèi)容相結(jié)合，在其基礎(chǔ)上去鞏固和練習(xí)。

3.教師需要不斷學(xué)習(xí)

教師進(jìn)行知識(shí)的補(bǔ)充和延伸，一方面可以改進(jìn)教學(xué)，與時(shí)俱進(jìn)，另一方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行自主探索和科學(xué)研究是有益的。在學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握的情況下，教師可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹R(shí)延伸。如在用等價(jià)無窮小替換求極限時(shí)，可以給學(xué)生補(bǔ)充在商的極限中，當(dāng)分子分母為和、差項(xiàng)時(shí)，替換的條件[6]；在學(xué)習(xí)二次曲面時(shí)，曲面方程較多易混，可以通過幾種曲面的漸變[7]，讓學(xué)生對(duì)二次曲面加深理解，產(chǎn)生聯(lián)系，如方程+k1=k2，設(shè)k1、k2初始值都為1，則為橢球面，當(dāng)k1由1變?yōu)?1時(shí)，橢球面變?yōu)閱稳~雙曲面，此時(shí)再將k2由1變?yōu)?1，單葉雙曲面變?yōu)殡p葉雙曲面，由一個(gè)方程中系數(shù)的變化建立了橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面的聯(lián)系。這個(gè)過程學(xué)生既能感受其中的聯(lián)系引發(fā)深入思考，又加深了對(duì)曲面方程的記憶。

4.各專業(yè)學(xué)科上的應(yīng)用更深入

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中雖有簡單的知識(shí)點(diǎn)實(shí)際應(yīng)用舉例，但缺少與各專業(yè)課相結(jié)合的例子，使學(xué)生不能很好地理解知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用。針對(duì)知識(shí)應(yīng)用的欠缺，可以從以下兩方面改進(jìn)：（1）與學(xué)生對(duì)應(yīng)的專業(yè)課教師進(jìn)行聯(lián)合教研，相互探討，使教學(xué)目的更明確，針對(duì)不同專業(yè)學(xué)生可以進(jìn)行不同的應(yīng)用舉例。（2）從數(shù)學(xué)建模的實(shí)例中讓學(xué)生看到知識(shí)的應(yīng)用，不僅加深對(duì)知識(shí)的理解，還讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)軟件產(chǎn)生興趣，在今后的建模競賽中得心應(yīng)手。

（四）改善師生關(guān)系

不同于初高中階段學(xué)生每天都有數(shù)學(xué)課，與教師的聯(lián)系相對(duì)緊密，在大學(xué)階段，數(shù)學(xué)課程一周兩到三次，因此學(xué)生對(duì)教師有疏離感，但教學(xué)是不能脫離學(xué)生而獨(dú)立存在的，因此學(xué)生對(duì)課堂要有歸屬感，對(duì)教師的教學(xué)方法要有認(rèn)同感，才能使教學(xué)效果更好。

大學(xué)校園師生關(guān)系的建立又與初高中階段師生關(guān)系不同，大學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)成年，師生關(guān)系應(yīng)建立在平等對(duì)話的基礎(chǔ)上[8]，用親近、關(guān)愛、啟迪、欣賞和交談的方法構(gòu)建良好的師生關(guān)系。

1.增加師生交流互動(dòng)

增加師生交流互動(dòng)一方面可以讓教師對(duì)學(xué)生的學(xué)情有所掌握，另一方面減弱學(xué)生對(duì)教師的疏離感。從對(duì)學(xué)生課前的親近、課中的交流、課后的指導(dǎo)過程中，讓學(xué)生對(duì)課堂有歸屬感，重視課程的學(xué)習(xí)。

適當(dāng)?shù)恼n前活動(dòng)，調(diào)動(dòng)課堂氛圍，例如探討當(dāng)下熱門的問題；授課過程中，適當(dāng)?shù)耐ｎD、提問和交流；課后，教師可以通過網(wǎng)絡(luò)建立班級(jí)，方便師生隨時(shí)聯(lián)系，及時(shí)溝通，學(xué)習(xí)問題能及時(shí)解決。

2.欣賞和建議

“弟子不必不如師”，教師要有廣闊的胸襟[9]，真誠欣賞學(xué)生在學(xué)習(xí)上的突破，給予鼓勵(lì)，樹立學(xué)生的自信心。同時(shí)，教師作為一個(gè)指導(dǎo)者，應(yīng)該發(fā)揮引路人的作用，對(duì)學(xué)生的理解偏差和錯(cuò)誤及時(shí)提出建議和糾正，以達(dá)到學(xué)生對(duì)教學(xué)方法的認(rèn)同，對(duì)知識(shí)的渴求。

良好的師生關(guān)系對(duì)課堂影響較大，因此教師應(yīng)積極改善師生關(guān)系，提高學(xué)生對(duì)課程的認(rèn)可度和學(xué)習(xí)效率。

通過對(duì)日常教學(xué)的反思與不斷完善，提出以上四個(gè)方面的教學(xué)設(shè)想和探索。高等數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性課程，雖然在內(nèi)容編排以及教學(xué)上已經(jīng)比較完善，但也需要不斷革新教學(xué)方式和方法，才能為應(yīng)用型人才的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)[10]。

參考文獻(xiàn)：

［1］劉燚，張輝蓉.高校線上教學(xué)調(diào)查研究［J］.重慶高教研究，2020，8（5）：66-78.

［2］宋楊.疫情期間線上教學(xué)模式與線上教學(xué)效果提升研究［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（漢文哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），2021，42（5）：105-108.

［3］翟麗麗，羅寧，白梅花，等.du=ln|u|+C中絕對(duì)值符號(hào)在微分方程求解中的處理方法［J］.科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新，2018（21）：41-42.

［4］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［5］衛(wèi)軍超，丁嘉昕，常在斌.MATLAB軟件與高等數(shù)學(xué)課程深度融合［J］.科技與創(chuàng)新，2019（7）：5-7.

［6］冉金花.用等價(jià)無窮小替換求極限使用條件的探討［J］.科技資訊，2019，17（27）：222-223.

［7］宋偉杰，高鵬翔，劉哲.利用漸變技術(shù)溝通典型二次曲面之間的聯(lián)系［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2021，24（4）：69-71.

［8］宋德發(fā)，荊瑩瑩.“師生關(guān)系十分融洽”：西南聯(lián)大導(dǎo)生融洽相處的表現(xiàn)、實(shí)質(zhì)和現(xiàn)實(shí)意義［J］.學(xué)位與研究生教育，2022（3）：63-68.

［9］任羽中.“從游”與“同游”：大學(xué)里追求的師生關(guān)系［N］.中國社會(huì)科學(xué)報(bào)，2021-10-22（008）.

［10］于立新，郭宜明.應(yīng)用型大學(xué)建設(shè)背景下的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程教改探索：以數(shù)學(xué)分析課程為例［J］.大學(xué)教育，2021（8）：82-84.

◎編輯 魯翠紅