例析運(yùn)用三角不等式求解向量模的最值問(wèn)題

浙江省寧波市寧波中學(xué) (315100) 倪 蕾

浙江省寧波市效實(shí)中學(xué) (315012) 童益民

運(yùn)用不等式求最值的本質(zhì)是通過(guò)已有的不等式,把一邊的變量轉(zhuǎn)化到另一邊的常量,并驗(yàn)證等號(hào)能夠取到.運(yùn)用三角不等式及其推論求解向量模的最值問(wèn)題,綜合了三角不等式與向量模的兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),這是高考的熱點(diǎn),具有較大的難度,是一個(gè)值得研究的問(wèn)題.

1 定理及推論

定理(三角不等式) 在三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.

推論2(絕對(duì)值三角不等式) 對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.當(dāng)ab≥0時(shí),|a+b|=|a|+|b|與||a|-|b||=|a-b|成立;當(dāng)ab<0時(shí),|a-b|=|a|+|b|與||a|-|b||=|a+b|成立.

2 運(yùn)用定理及推論的實(shí)例分析

因此上述套用向量三角不等式,無(wú)功而返,只能尋找別的方法.比如可采用以下向量運(yùn)算的求法:

以上只是運(yùn)用三角不等式及其推論求解向量模最值問(wèn)題的幾道實(shí)例,實(shí)際上,關(guān)于向量模的最值問(wèn)題解題的方法很多,可以用向量運(yùn)算,也可以用向量坐標(biāo)運(yùn)算,還可以根據(jù)向量的幾何表示,用幾何意義來(lái)解答,文中實(shí)例分析只是強(qiáng)調(diào)用三角不等式及其推論求解該類題目,往往起到事半功倍的效果,豐富了向量模最值問(wèn)題的求法.