高觀點視角下對一道高三聯(lián)考試題的溯源探究

福建省南平市高級中學 (353000) 江智如 蔡 珺

1 試題呈現(xiàn)

題目定義Tn(cosθ)=cosnθ,(n∈N*)．

(1)證明:Tn(cosθ)=2Tn-1(cosθ)cosθ-Tn-2(cosθ);

(2)解方程:8x5+10x3-x2-12x-2=0(x∈C)．

2 試題分析

本試題是雅禮十六校2023屆高三上學期第一次聯(lián)考第17題,是一道結(jié)構(gòu)緊湊,背景豐富,綜合性強的試題．考查三角函數(shù)恒等變換、函數(shù)與方程、利用導數(shù)判斷函數(shù)零點等相關(guān)知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力和運算求解能力,試題具有區(qū)分與選拔功能．

2 解法探究

(1)由余弦函數(shù)兩角和差公式可得cosnθ=cos[(n-1)θ+θ]=cos(n-1)θcosθ-sin(n-1)θsinθ,cos(n-2)θ=cos[(n-1)θ-θ]=cos(n-1)θcosθ+sin(n-1)θsinθ,兩式聯(lián)立得,cosnθ=2cos(n-1)θcosθ-cos(n-2)θ,即Tn(cosθ)=2Tn-1(cosθ)cosθ-Tn-2(cosθ)．

在上述解析中,第(1)問考查三角恒等變化,考生根據(jù)已有的三角函數(shù)知識可以順利證明;而第(2)問的解析令人產(chǎn)生疑惑:①第一步的因式是如何分解出來?②方程的解為什么會是余弦值?著名數(shù)學大師F·克萊因(Klein)指出:“基礎數(shù)學的教師應該站在更高的視角(高等數(shù)學)來審視、理解初等數(shù)學問題,只有觀點高了,事物才會顯得明了簡單”[1]．為此,筆者追本溯源,從高觀點視角對本試題溯源探究．

3 背景溯源

溯源1 行列式的基本性質(zhì)[2]:①行列式的某一行(列)中公因式可以提出去;②把行列式的某一行(列)的倍數(shù)加到另一行(列)上,行列式的值不變．

溯源3 第一類切比雪夫多項式:T0(x)=1,T1(x)=x,Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),(n∈N*)．它是以俄國著名數(shù)學家切比雪夫(Tschebyscheff)名字命名的重要特殊函數(shù),源起于多倍角余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的展開式,是與棣美弗定理有關(guān)、以遞歸方式定義的多項式序列,是計算數(shù)學中的一類特殊函數(shù)[4]．

由于一元三次方程的求根公式比較復雜,所以在中學階段沒有介紹一般的求根公式,只涉及特殊形式的一元三次方程．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標(2020年修訂)》)要求:“對于多項式,能利用導數(shù)求不超過三次的一元多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,借助函數(shù)的圖象,運用二分法求解方程的近似解”[5]．因此,本試題通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=8x3-6x-1,確定方程的根均在區(qū)間(-1,1)中．然后由第(1)問的結(jié)論推導出cos3θ=4cos3θ-3cosθ,而方程8x3-6x-1=0中三次項與一次項的系數(shù)比恰好為4∶3,于是根據(jù)切比雪夫多項式,令方程的根為cosα,再通過余弦函數(shù)的恒等變換最終求出方程的解,這就是第(2)問解析中方程的最終解為余弦值形式的緣由．

4 高考鏈接

在歷年高考試卷中也出現(xiàn)切比雪夫多項式的身影,多以三角函數(shù)為載體,用以考查學生推理論證能力和運算求解能力．

題目1 (2010年高考江蘇卷第23題)已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)．(1)求證:cosA是有理數(shù);(2)求證:對任意正整數(shù)n,cosnA是有理數(shù)．

(2)當n=1時,cosA是有理數(shù);當n=2時,cos2A=2cos2A-1也是有理數(shù)．

假設n≤k(k≥2,k∈N*)時,結(jié)論成立,則coskA,cos(k-1)A均是有理數(shù),那么當n=k+1時,cos(k+1)A=2cosAcoskA-cos(k-1)A,由于cosA,coskA,cos(k-1)A均是有理數(shù),故cos(k+1)A也是有理數(shù),所以,當n=k+1時,結(jié)論成立．

綜上所述,對任意正整數(shù)n,cosnA是有理數(shù)．

評析:本試題第(1)小問考查余弦定理和有理數(shù)性質(zhì)的相關(guān)知識,大部分考生可以利用余弦函數(shù)的恒等變換證明．第(2)小問運用數(shù)學歸納法進行證明,其中遞推公式:cos(k+1)A=2cosAcoskA-cos(k-1)A就是切比雪夫多項式,考生運用兩角和與差的余弦公式進行推導,并不會增加試題的難度,符合課程標準的考查內(nèi)容和要求,考查考生推理論證能力和運算求解能力,促進邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學運算素養(yǎng)提升．

例2 (2010年高考福建卷文科第16題)觀察下列等式:

①cos2α=2cos2α-1;

②cos4α=8cos4α-8cos2α+1;

③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;

④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;

⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.

可以推測,m-n+p=____________．

解法1:根據(jù)等式的規(guī)律:最高次項的系數(shù)為22k-1,故m=210-1=29=512;每個等式的二次項系數(shù)滿足(-1)n-1·(2k)·k,故p=(-1)5-1·(2·5)·5=50．又等式對任意的α均成立,故在等式⑤中令α=0,有1=m-1280+1120+n+p-1,解得n=-400,所以m-n+p=962．

解法2：由切比雪夫多項式構(gòu)造函數(shù)Tn(cosα)=cosnα,(n∈N),那么有T0(cosα)=1,T1(cosα)=cosα,Tn+1(cosα)=2Tn(cosα)·cosα-Tn-1(cosα),(n∈N*)．于是T10(cosα)=2T9(cosα)·cosα-T8(cosα)=2cos9α·cosα-cos8α=2cos(8α+α)·cosα-cos8α=2cosα(cos8αcosα-sin8αsinα)-cos8α=2cos2αcos8α-cos8α-sin2αsin8α=2cos2αcos8α-cos8α-4sin22αcos2αcos4α=2cos2αcos8α-cos8α+4(4cos4α-4cos2α)(2cos2α-1)(8cos4α-8cos2α+1)=512cos10α-1280cos8α+1120cos6α-400cos4α+50cos2α-1.故m=512,n=-400,p=50,所以m-n+p=962．

評析：本試題以多倍角余弦函數(shù)的展開式為載體,考查考生推理論證能力．方法1引導考生觀察展開式中各項系數(shù)的規(guī)律,歸納猜想等式⑤展開式的各項系數(shù),考查特殊與一般思想,符合考生的認知水平．方法2運用切比雪夫多項式直接推導出等式⑤的展開式,計算量比較大,要求考生有扎實的數(shù)學運算能力,激發(fā)數(shù)學學習潛能,體現(xiàn)《課標(2020年修訂)》的理念與要求,對日常教學有引導作用．

7 結(jié)語

近年來,運用高等數(shù)學知識、方法、思想等“高觀點”,去分析、研究高考數(shù)學問題的解題策略和方法,逐漸成為高考數(shù)學研究的趨勢和風向標,并取得大量的研究成果．“高觀點”是課程改革中的一種創(chuàng)新,對解決初等數(shù)學問題有獨特作用．高中數(shù)學課程具有基礎性、選擇性和發(fā)展性,為不同學生可持續(xù)發(fā)展和終身學習創(chuàng)造條件[5],培養(yǎng)學生具備進入高等學校進行專業(yè)學習和終身發(fā)展所需要的必備知識、關(guān)鍵能力和學科素養(yǎng)[6]．因此在日常的教學實踐中,教師可以結(jié)合高中數(shù)學知識要點學習、研究、思考,搜集相關(guān)高觀點文獻資料,精選教學案例,改進教學方式,吸引學生的學習興趣,拓寬學生思維視野,設計“精致練習”[7],啟發(fā)學生思考,領會變式、遷移等技巧,激發(fā)數(shù)學學習潛能,促進學生數(shù)學學科素養(yǎng)的提升．