低耦合度2PaUU–PPaP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)分析與多目標(biāo)優(yōu)化

張發(fā)海，李麗紅，朱磊

低耦合度2PaUU–PPaP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)分析與多目標(biāo)優(yōu)化

張發(fā)海1，李麗紅1，朱磊2

（1.江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系，江蘇 徐州 221000； 2.中國礦業(yè)大學(xué) 材料與物理學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

針對三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、耦合度高而引起的運動學(xué)分析、動力學(xué)分析、誤差分析等十分煩瑣的問題，提出一種低耦合度三平移空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)。分析得到機(jī)構(gòu)的自由度、耦合度、方位特征集等拓?fù)鋮?shù)，建立運動學(xué)位置方程推導(dǎo)正、逆解的解析式并對其進(jìn)行算例驗證。根據(jù)計算雅可比矩陣推導(dǎo)出位置正解奇異、位置逆解奇異存在條件。進(jìn)一步研究機(jī)構(gòu)的操作空間，并得到操作空間三維形狀圖。此外，建立以運動靈巧度與操作空間體積為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，給定目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，選擇NSGA–Ⅱ算法完成具有Pareto解的多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化。分析表明，搜索得到工作空間外部邊界光滑，呈半球形狀結(jié)構(gòu)，內(nèi)部不連續(xù)分布的特點。在較為均衡平緩的區(qū)域選擇參數(shù)的設(shè)計，能夠同時兼顧體積和全局靈巧度的較佳值，以期為該類型機(jī)構(gòu)在分揀、包裝等應(yīng)用領(lǐng)域提供參考。

耦合度；并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異性；工作空間；靈巧度；多目標(biāo)優(yōu)化

空間三平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)可以作為分揀裝置應(yīng)用到自動化的分揀、上下料、分裝、包裝生產(chǎn)線上，具有廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。機(jī)構(gòu)一般由3條支鏈以及動、靜平臺構(gòu)成[3]。由于運動輸入、輸出關(guān)系非線性、強(qiáng)耦合等諸多問題使得運動學(xué)分析、動力學(xué)建模、控制誤差分析十分復(fù)雜[4]。

近年來研究三平移機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計學(xué)者有很多，其中圍繞著空間三平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計研究不少，并取得了豐碩的成果。沈惠平等[5]設(shè)計一種三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)。根據(jù)方位特征集理論分別計算方位特征集、耦合度、自由度等特性，分析驗證機(jī)構(gòu)可行性，利用矢量法建立機(jī)構(gòu)的運動學(xué)模型，分析發(fā)生奇異位形的條件、機(jī)構(gòu)位置工作空間。席萬強(qiáng)等[6]提出一種少自由度并聯(lián)完全解耦機(jī)器人的構(gòu)型綜合方法，闡述C集運算法則以及綜合的步驟。同時綜合得到三平移（3T）解耦并聯(lián)機(jī)器人。孔一嘯等[7]設(shè)計一種2–CPR/UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三平移機(jī)器人應(yīng)用于移運機(jī)，根據(jù)修正的Kutzbach–Grubler公式計算機(jī)構(gòu)的自由度。分析得到執(zhí)行末端的操作工作空間形狀和大小，以及評級機(jī)構(gòu)運動性能的全域性能指標(biāo)。分析計算表明該機(jī)構(gòu)在工作空間中無奇異位置且靈巧度性能良好。陳修龍等[8]提出一種冗余驅(qū)動的三平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)。根據(jù)李群理論計算輸出，由自由度建立運動學(xué)方程模型，計算得到位置正解和逆解符號解析式。推導(dǎo)出奇異存在的約束條件，計算得到位置工作空間形狀和大小。推導(dǎo)得到機(jī)構(gòu)操作空間內(nèi)部出現(xiàn)不連續(xù)的條件，最后研究結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能指標(biāo)間的映射關(guān)系。上述研究設(shè)計的機(jī)構(gòu)的耦合度復(fù)雜，不易控制、運動學(xué)分析煩瑣，均不利于三平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)在工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浞治?/h2>

1.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計

如圖1所示為2PaUU–PPaP并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型圖，靜平臺由正方形構(gòu)成，第1、2條支鏈的構(gòu)型為PaUU，第3條支鏈構(gòu)型為PPaP。動平臺即機(jī)構(gòu)執(zhí)行末端由圓形構(gòu)成。靜平臺之間由3條支鏈來連接，動平臺平行四邊形機(jī)構(gòu)剛性地固定在靜平臺平面上。第1、2條支鏈對稱分布。Pa表示平行四邊形機(jī)構(gòu)，它是由4個軸線平行的轉(zhuǎn)動副構(gòu)成，U表示萬向鉸，P表示移動副。設(shè)定機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)參數(shù)描述如表1所示。三維圖如圖2所示。

圖1 2PaUU–PPaP并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型

表1 參數(shù)描述

Tab.1 Parameter description

圖2 2PaUU–PPaP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維圖

1.2 機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮匦苑治?/h3>

根據(jù)方位特征集的自由度計算公式以及耦合度計算式[10]見式（1）—（2）。

式中：為移動副特征；轉(zhuǎn)動副特征。

同時，支鏈3是3個不同方向的移動副，因此，支鏈3的方位特征集見式（4）。

另外，由這2條支鏈構(gòu)成的并聯(lián)機(jī)械手的執(zhí)行末端POC集：

同時，根據(jù)自由度計算公式得到自由度為：

分析得到機(jī)構(gòu)的自由度1–2–3：

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)耦合度的分析結(jié)果見式（12）。

2 運動學(xué)分析

2.1 運動學(xué)逆解分析

將C、D點坐標(biāo)代入等式（13）中，可得到數(shù)學(xué)模型見式（14）。

2.2 運動學(xué)正解分析

已知與底座連接主動副執(zhí)行輸入(1,2,)，輸出運動位置(,,)。根據(jù)式（14）整理得到式（16）。

其中，1=1sin1–，2=1sin1–，1=–+–1cos1，1=––1cos2。

通過計算得到位置正解：

3 正逆解算例分析

為了驗證位置正反解等式計算的準(zhǔn)確性，選擇一些數(shù)值解來校驗計算結(jié)果的正確性。將數(shù)據(jù)代入表達(dá)式中進(jìn)行互驗，選取結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：=1 m、=0.5 m、1=0.6 m、2=1.2 m、=0.1 m。通過運動學(xué)位置分析得到的逆、正解表達(dá)式，算例計算逆解、正解數(shù)值解如表2、表3所示。

根據(jù)表2、表3所示的逆解、正解的數(shù)值解對比分析可知，位置逆、正解計算結(jié)果吻合，驗證了并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置解析正確合理。

表2 逆解算例

Tab.2 Solutions of inverse displacement

表3 正解算例

Tab.3 Solutions of forward displacement

4 奇異分析

4.1 機(jī)構(gòu)雅克比矩陣

根據(jù)等式（15）對時間求導(dǎo)，得到機(jī)構(gòu)正逆解雅克比矩陣。

若X非奇異，則：

4.2 逆解奇異性分析

機(jī)構(gòu)逆解奇異條件為：

或

4.3 正解奇異性分析

正解奇異存在條件為：

根據(jù)式（26）推導(dǎo)得到式（27）和式（28）。

圖3 2PaUU–PPaP并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)逆解奇異

圖4 2PaUU–PPaP并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)正解奇異

5 機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)分析

5.1 工作空間分析

機(jī)構(gòu)工作空間的是各支鏈的運動空間范圍的交集，直接導(dǎo)致工作空間較小。需要選擇合適的參數(shù)進(jìn)行算例分析，選擇結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：=1 m、=0.7 m、1=0.65 m、2=1.5 m、=0.1 m。根據(jù)極限搜索法繪制工作空間三維圖，如圖5所示。

圖5 機(jī)構(gòu)工作空間三維圖

分析表明：搜索得到的工作空間邊界光滑且呈對稱分布狀態(tài)，內(nèi)部存在空洞情況。形狀為半球結(jié)構(gòu)。

5.2 運動靈巧度分析

運動靈巧度是評價機(jī)構(gòu)運動性能優(yōu)劣的指標(biāo)，通常以運動靈巧度指標(biāo)作為運動性能的評價指標(biāo)，表達(dá)式見式（28）。

根據(jù)以上定義和5.1節(jié)參數(shù)，搜索得到運動靈巧度指標(biāo)在工作空間的分布圖，如圖6所示?？梢钥闯隹臻g呈現(xiàn)半球形，最大運動靈巧度關(guān)于軸左右分布。從機(jī)構(gòu)的工作空間范圍內(nèi)運動靈巧度來看，整體操作空間大、運動靈巧度高、內(nèi)部無空洞。能滿足高速輕載自動化搬運分揀作業(yè)需求，可作為一種包裝自動化產(chǎn)線分揀裝置。

圖6 可達(dá)工作空間的運動靈巧度分布

6 并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度綜合優(yōu)化

6.1 模型優(yōu)化的建立

6.2 優(yōu)化算法的選擇

算法采用NSGA–Ⅱ算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，參考文獻(xiàn)[13]中的參數(shù)：∈[0.5,1.5]、∈[0.2,1]、1∈[0.5,1.5]、2∈[0.5,1.5]、∈[0.1,0.5]。算法目標(biāo)：多目標(biāo)中，輸出的是迭代后整個種群Pareto最優(yōu)解，構(gòu)成一個Pareto實際前沿面。

6.3 優(yōu)化結(jié)果

根據(jù)以上算法[14-15]，選擇個體數(shù)為200，迭代次數(shù)為200，交叉和變異的分布指數(shù)都為20，得到的Pareto前沿集如圖7所示，選擇部分Pareto解如表4所示。

優(yōu)化后的Pareto優(yōu)化形狀為拋物線類似的前沿集合，若體積在12 m3左右，則全局靈巧度為0.118左右；若體積在5 m3左右，則全局靈巧度為0.142左右。曲線表明了可達(dá)工作空間和全局靈巧度的背離趨勢，全局靈巧度在0.115～0.130時，體積為11～13 m3，變化平緩；全局靈巧度大于0.13后，體積降低較快。因此可以在較為均衡平緩的區(qū)域選擇參數(shù)的設(shè)計，能夠同時兼顧體積和全局靈巧度的較佳值，這為機(jī)構(gòu)的參數(shù)設(shè)計提供了指導(dǎo)。

圖7 Pareto優(yōu)化前沿集

表4 部分Pareto最優(yōu)解的參數(shù)與目標(biāo)函數(shù)

Tab.4 Parameters and objective functions of partial optimal Pareto solution

進(jìn)一步對第1—4組的參數(shù)在工作空間進(jìn)行靈巧度的精細(xì)分布（圖8）?？梢园l(fā)現(xiàn)在所有的參數(shù)下，工作空間的形狀類似半個輪胎，這表明前沿集合是一類具有類似拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的解的集合，不同的地方在于內(nèi)部的靈巧度分布不一致。較低的靈巧度空間都在外部殼層區(qū)域，并且在面有一個明顯的十字形狀的低靈巧度帶。

圖8 表4中第1組到第4組參數(shù)下的靈巧度在空間的分布

圖9和圖10是第1組和第4組的內(nèi)部靈巧度分布，2組的區(qū)域都在>0的截面。較大的靈巧度區(qū)域關(guān)于=0面左右對稱集中；而>0的截面是不對稱的結(jié)構(gòu)。第1組基本沒有較高的靈巧度在剖面分布，而第4組有較高的靈巧度在剖面分布。進(jìn)一步將靈巧度區(qū)域分成[0,0.1]、[0.1,0.3]、[0.3,1]，并且進(jìn)行了空間占比的計算，如表5所示。

圖9 第1組Parto最優(yōu)解下的內(nèi)部靈巧度分布

圖10 第4組Pareto最優(yōu)解下的內(nèi)部靈巧度分布

表5 第1和第4組參數(shù)的靈巧度區(qū)域的體積占比

Tab.5 Volume proportion of dexterity region of group 1 and group 4 parameters %

在第1組和第4組參數(shù)下的靈巧度區(qū)域分布上形狀接近，大于0.3的空間區(qū)域沿著對稱，形狀類似于對稱的肺泡，此時的體積占比較小，為9.17%和5.46%；靈巧度為[0.1,0.3]的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，有8個獨立區(qū)域，沿著=0對稱分布，體積占比較大，為43.65%和42.46%；靈巧度小于0.1的為剩余外殼結(jié)構(gòu)，體積占比最大，為47.18%和52.08%。因此可以根據(jù)不同的靈巧度區(qū)域和實際的機(jī)構(gòu)運動設(shè)計結(jié)合，得到想要的運動區(qū)域空間。

7 結(jié)語

1）對2PaUU–PPaP并聯(lián)機(jī)器進(jìn)行了拓?fù)鋵W(xué)分析，以及正逆解的求解分析，正解和逆解相互印證。

2）對機(jī)構(gòu)工作空間進(jìn)行了分析，工作空間內(nèi)部不連續(xù)，呈對稱的半球形狀分布、邊界輪廓光滑。

3）采用NSGA–Ⅱ算法進(jìn)行了對空間體積和全局靈巧度的多目標(biāo)優(yōu)化，得到了Pareto優(yōu)化前沿解，確定了變化平緩的全局靈巧度區(qū)域為0.12～0.13，此時具有較大的體積（10～13 m3）?？梢愿鶕?jù)實際工況的需求進(jìn)行參數(shù)選擇。

4）研究了部分參數(shù)下的靈巧度精細(xì)結(jié)構(gòu)，可達(dá)工作空間的形狀基本一致，都為半輪胎；并且在靈巧度區(qū)域形狀也相似，但各個區(qū)域分布的體積基本接近，靈巧度大于0.3的部分都集中在類似肺泡的空間中。

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Kinematic Analysis and Multi-objective Scale Synthesis of Low Coupling 2PaUU-PPaP Parallel Mechanism

ZHANG Fa-hai1, LI Li-hong1,ZHU Lei1

(1. Department of Mechanical Engineering, Jiangsu College of Safety Technology, Jiangsu Xuzhou 221000, China; 2. College of materials and Physics, China University of Mining and Technology, Jiangsu Xuzhou 221116, China)

The work aims to propose a low coupling degree three translation spatial parallel mechanism to solve the complicated kinematics analysis, dynamics analysis and error analysis caused by the complex structure and high coupling degree of the three translation parallel mechanism. Topological parameters such as DOF, coupling degree and azimuth feature set of the mechanism were analyzed. The analytic expressions of forward and inverse solutions of the kinematic position equations were established and verified by an example. At the same time, according to the calculation of Jacobian matrix, the existence conditions of the singularity of positive position solution and the singularity of inverse position solution were derived. Furthermore, the operating space of the mechanism was studied and a three-dimensional shape map of the operating space was obtained. In addition, the mathematical model with the goal of motion dexterity and operation space volume was established. The objective function expression was given. The NSGA-Ⅱ algorithm was selected to complete multi-objective parameter optimization with Pareto solutions. The analysis showed that the outer boundary of the workspace was smooth and there was a cavity inside, which was a hemispherical structure. The optimal value of both volume and global dexterity can be taken into account when selecting parameters in a relatively balanced and gentle area, so as to provide reference for this type of mechanism in sorting, packaging and other application fields.

coupling degree;parallel mechanism; singularity; workspace; dexterity; multi-objective optimization

TH122

A

1001-3563(2023)13-0217-10

10.19554/j.cnki.1001-3563.2023.13.026

2022?09?04

江蘇省博士后科研資助計劃項目（2019K205）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費項目（2019XKQYMS16）

張發(fā)海（1986—），男，講師，主要研究方向為機(jī)械電子工程、機(jī)器人技術(shù)。

責(zé)任編輯：曾鈺嬋