構(gòu)造合適的函數(shù)模型，快速解答解三角形中的最值問題

史曉春

解三角形問題側(cè)重于考查正余弦定理，和差倍角公式，以及三角函數(shù)的定義、性質(zhì).通過研究近幾年的高考題可以發(fā)現(xiàn)，解三角形中的最值問題往往具有較強(qiáng)的綜合性，且命題形式多變，需利用函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式等知識來求解.下面結(jié)合實(shí)例，探討一下如何通過構(gòu)造函數(shù)來求解解三角形中的最值問題.

一、構(gòu)造三角函數(shù)

解三角形中的最值問題往往是與三角形的邊、角有關(guān)的問題，我們可以根據(jù)正余弦定理進(jìn)行邊角互化，用角的三角函數(shù)表示出各條邊的長以及目標(biāo)式，這樣便可將目標(biāo)式化為三角函數(shù)式，構(gòu)造出三角函數(shù)模型，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)問題，通過研究該三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性、圖象，來求得最值.

例1.

解：

我們先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和正弦定理，用角 A、C 的三角函數(shù)表示出各條邊、三角形的面積；再通過三角恒等變換，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角A的三角函數(shù)式，這樣便構(gòu)造出三角函數(shù)模型.最后根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可求得三角形面積的最值.

例2.

解：

結(jié)合正弦定理，將三角形的周長用角的三角函數(shù)表示出來，從而構(gòu)造出三角函數(shù).再通過三角恒等變換將三角函數(shù)式化簡，便可根據(jù)角B 的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性求得周長的最值.

二、構(gòu)造二次函數(shù)

有些解三角形中的最值問題涉及了倍角、半角，此時需運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系sin?A+cos?A=1， 余弦的二倍角公式 cos2A=cos?A-sin?A=2cos?A-1=1-2sin?A， 將角統(tǒng)一，得到的目標(biāo)式為關(guān)于某個角的三角函數(shù)的二次式，此時可根據(jù)該式的特征構(gòu)造出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求目標(biāo)式的最值.

例3.

解：

該題涉及了倍角2A，需根據(jù)余弦的二倍角公式 cos2A=1-2sin?A， 將目標(biāo)式化簡，得到關(guān)于sinA 的二次函數(shù)式.再通過換元，令t=sinA， 便可構(gòu)造出關(guān)于 t 的二次函數(shù)，即可根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值.

例4.

解：

題目中直接給出了條件A=2C， 需根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用cosC 表示出三角形的周長a+b+c=4cos?C+2cosC. 而該式為二次式，需構(gòu)造出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.在求最值時，往往要注意根據(jù)三角函數(shù)的有界性求得角的三角函數(shù)值的取值范圍，并將其視為二次函數(shù)的定義域，作為求二次函數(shù)最值的重要條件.

三、構(gòu)造分式函數(shù)

有些解三角形中的最值問題涉及了分式，且利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，往往會得到分式，此時需根據(jù)已知條件和目標(biāo)式的特點(diǎn)，構(gòu)造出分式函數(shù).再利用簡單基本函數(shù)的性質(zhì)、對勾函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式來求分式函數(shù)的最值.

例5.

解：

由于已知關(guān)系式為分式，所以需構(gòu)造出分式函數(shù).顯然該函數(shù)是由和y=tanC 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，需根據(jù)冪函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)，以及"同增異減"原則，判斷出分式函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)其單調(diào)性求三角形面積的最值.

例6.

解：

我們先根據(jù)已知條件求得目標(biāo)式;然后通過換元，令t=cos?B， 將目標(biāo)式化為關(guān)于t的分式函數(shù) ，利用基本不等式即可快速求得最值.

構(gòu)造函數(shù)法是解答解三角形中最值問題的重要方法，而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出合適的函數(shù)模型.無論是構(gòu)造三角函數(shù)模型、二次函數(shù)模型，還是構(gòu)造分式函數(shù)模型，都需先根據(jù)正余弦定理、和差倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理等將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化，使變量統(tǒng)一，以構(gòu)造出關(guān)于某個角或某個角的三角函數(shù)的函數(shù)模型，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)順利求得最值.

（作者單位：山東省日照市日照實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)）