孫建麗
不等式存在性問題雖比較常見,但難度系數(shù)較大,采用常規(guī)方法很難使問題獲解.我們可以運用轉(zhuǎn)化思想,根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)模型,將不等式存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來求解.
常見的轉(zhuǎn)化思路為:
1.Vx?∈M,Vx?∈N,f(x?)>g(x?)?f(x?)m>g(x?)mx;
2.Vx?∈M,3x?∈N,f(x)>g(x?)?f(x?)mm>g(x?)im;
3.3x?∈M,3x?∈N,f(x)>g(x?)?f(x)??? >g(x) ;
4.3x?∈M,Vx?∈N,f(x;)>g(x?)?f(x?)>g(x?)??? ;
5.3x ∈D,F(xiàn)(x)=f(x)-g(x),f(x)>g(x)???? F(x)m>0(x ∈D).
在解題時,我們可以從不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā),結(jié)合已有的知識和解題經(jīng)驗,構(gòu)造出一個新函數(shù),利用轉(zhuǎn)化思想,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.再判斷出函數(shù)的單調(diào)性,即可利用函數(shù)的單調(diào)性求得最值,從而求得問題的答案.
例1.已知函數(shù)
(1)若函數(shù)f(x)在(1,+x)上是減函數(shù),求實數(shù)a 的最小值;
(2)若3x?,x?∈[e,e?],? 使 f(x)≤f'(x?)+a?? 成立,求實數(shù)a 的取值范圍.
解:
我們從已知條件出發(fā),結(jié)合第一個問題的結(jié)論,運用轉(zhuǎn)化思想,將"若3x,x?∈[e,e'],? 使 f(x)≤f(x?)+a? 成立"等價轉(zhuǎn)化為"當(dāng)x ∈[e,e']時,f(x)m≤ f'(x)+a".?? 由(1)知當(dāng)x ∈[e,e?]時, 則問題可等價轉(zhuǎn)化為"當(dāng)x∈[e,e']時,有 這樣只要利用導(dǎo)數(shù)法求出 f(x)mm,就能順利確定參數(shù)的取值范圍.
例2.
解:
先將不等式變形,使變量、參數(shù)分離,再構(gòu)造函數(shù) F(x), 那么只要滿足"3x ∈[e,e?],a≥F(x)"即可.這就將不等式問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,討論導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,即可確定參數(shù)的范圍.在解題時,要注意判斷所選的臨界值是函數(shù)的最大值還是最小值,以免得出錯誤的答案.
可見,解答不等式存在性問題,需明確函數(shù)與不等式之間的關(guān)系,構(gòu)造出合適的函數(shù)模型,靈活運用轉(zhuǎn)化思想,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來求解,這樣就能化難為易,化繁為簡,有效地提升解題的效率.
(作者單位:江蘇省鹽城市射陽縣高級中學(xué))