靈活運用轉(zhuǎn)化思想，高效解答不等式存在性問題

孫建麗

不等式存在性問題雖比較常見，但難度系數(shù)較大，采用常規(guī)方法很難使問題獲解.我們可以運用轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)模型，將不等式存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來求解.

常見的轉(zhuǎn)化思路為：

1.Vx?∈M，Vx?∈N，f（x?）>g（x?）?f（x?）m>g（x?）mx;

2.Vx?∈M，3x?∈N，f（x）>g（x?）?f（x?）mm>g（x?）im;

3.3x?∈M，3x?∈N，f（x）>g（x?）?f（x）??? >g（x） ;

4.3x?∈M，Vx?∈N，f（x;）>g（x?）?f（x?）>g（x?）??? ;

5.3x ∈D，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x），f（x）>g（x）???? F（x）m>0（x ∈D）.

在解題時，我們可以從不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，結(jié)合已有的知識和解題經(jīng)驗，構(gòu)造出一個新函數(shù)，利用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.再判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可利用函數(shù)的單調(diào)性求得最值，從而求得問題的答案.

例1.已知函數(shù)

（1）若函數(shù)f（x）在（1，+x）上是減函數(shù)，求實數(shù)a 的最小值；

（2）若3x?，x?∈[e，e?]，? 使 f（x）≤f'（x?）+a?? 成立，求實數(shù)a 的取值范圍.

解：

我們從已知條件出發(fā)，結(jié)合第一個問題的結(jié)論，運用轉(zhuǎn)化思想，將"若3x，x?∈[e，e']，? 使 f（x）≤f（x?）+a? 成立"等價轉(zhuǎn)化為"當(dāng)x ∈[e，e']時，f（x）m≤ f'（x）+a".?? 由（1）知當(dāng)x ∈[e，e?]時， 則問題可等價轉(zhuǎn)化為"當(dāng)x∈[e，e']時，有 這樣只要利用導(dǎo)數(shù)法求出 f（x）mm，就能順利確定參數(shù)的取值范圍.

例2.

解：

先將不等式變形，使變量、參數(shù)分離，再構(gòu)造函數(shù) F（x）， 那么只要滿足"3x ∈[e，e?]，a≥F（x）"即可.這就將不等式問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，討論導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可確定參數(shù)的范圍.在解題時，要注意判斷所選的臨界值是函數(shù)的最大值還是最小值，以免得出錯誤的答案.

可見，解答不等式存在性問題，需明確函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，靈活運用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來求解，這樣就能化難為易，化繁為簡，有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省鹽城市射陽縣高級中學(xué)）