用穿針引線法解分式不等式的步驟

夏忠花

分式不等式是高中數(shù)學中的一個重要的知識點.解分式不等式問題的難度一般不大，需對不等式進行適當?shù)淖冃?，以通過分解因式快速求得問題的答案.解答此類問題常用的方法是"穿針引線法".即畫一條波浪形曲線，從第一個零點的右上方依次穿過每一個零點，穿過最后一個零點后就不再改變曲線的方向.這種畫法又稱為"數(shù)軸標根法".

穿針引線法主要適用于解形如 的不等式.運用穿針引線法解不等式的基本步驟為：

第一步，將不等式進行等價變形.

一般地，①等價

②等價于

③等價于

④等價于

第二步，對分子、分母的乘積 f（x）g（x） 進行因式分解；

第三步，令分子、分母的乘積f（x）g（x）為0，求得各個因式的零點，即方程的根，并在數(shù)軸上標出各個根.若零點不可取，則用空心點表示.若零點可取，則用實心點表示；

第四步，畫一條波浪形曲線，從數(shù)軸上第一個零點的右上方依次穿過每一個零點，直至穿過最左側(cè)的零點；

第五步，得出不等式的解集.數(shù)軸上方曲線對應的區(qū)間為代數(shù)式f（x）g（x）大于0的解集，數(shù)軸下方曲線對應的區(qū)間為代數(shù)式f（x）g（x）小于0的解集.

下面舉例加以說明.

例1.解分式不等式：

解：

在解分式不等式時，要先考慮分母不為0的情形，即（x+1）（x-3）≠0， 以將x=-1、x=3? 的情況剔除掉；然后將分子、分母的乘積進行因式分解，求得各個因式的零點，并在數(shù)軸上依次標出各個零點-1、1、2、3;再用一根線從數(shù)軸上第一個零點的右上方依次穿過每一個零點，即可根據(jù)數(shù)軸上的曲線所對應的區(qū)間求得不等式的解集.

例2.解不等式：

解：

先要仔細觀察不等式左右兩端的式子是否可以移項、通分、消元，以將不等式化簡為一邊為0的形式，這樣便于對其進行因式分解；然后在數(shù)軸上標出方程的各個根，用一根曲線穿過這些根，取數(shù)軸下方曲線對應的區(qū)間，即可求得不等式的解集；最后還需檢驗各個零點是否可取.

可見，穿針引線法的巧妙之處就在于用數(shù)軸簡潔明了地呈現(xiàn)出方程的根的分布情況以及不等式的解集.運用穿針引線法，可將不等式問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的點集問題，通過數(shù)形結合快速求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省鹽城市射陽縣高級中學）37