談?wù)勔活悢?shù)列通項公式問題的解法

晏炳剛 涂元梅

求數(shù)列的通項公式問題的常見命題形式，是根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式.而數(shù)列的遞推關(guān)系式多種多樣，通項公式的求法也各不相同.對于形如 an+1=pan+f（n）（p≠0，p≠1） 遞推關(guān)系式，其中f（n）有兩種情形：（1）f（n）=tmn"+tm-，m"-?+…+t2n?+t，n+t?;（2）f（n）=s?*p?+s?q"+…+sm ·r".?? 本文就形如 an+1= pa，+f（n）（p≠0，p≠1）? 的遞推關(guān)系式以及求數(shù)列通項公式的方法進(jìn)行了總結(jié)歸納，以供大家參考.

一、f（n）=tmn"+tm-;n"-?+…+t2n?+tn+t?

當(dāng) f（n）=tan"+tm-，n"-?+…+t2n?+t，n+to?? 時，可用待定系數(shù)法構(gòu)造出輔助數(shù)列.首先將an+1=pa，+f（n）設(shè)為an+1+g（n+1）=p（am+g（n）， 通過對比新舊遞推關(guān)系式中各項的系數(shù)，建立方程求得g（n）， 即可構(gòu)造出新等比數(shù)列{a，+g（n）}， 其公比為 p.根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得a，+g（n）的表達(dá)式，即可求得數(shù)列{a}的通項公式.

例1.已知數(shù)列{a}的首項為 a?，an+1=pa 。+ q（n≥1）， 求數(shù)列{a.}的通項公式.

解：

本題中的f（n）=q，? 為常數(shù)，較為簡單，我們只需引入待定系數(shù)λ，設(shè)出遞推關(guān)系式，并根據(jù)原遞推關(guān)系式建立方程，求得λ的值，即可構(gòu)造出等比數(shù)列.根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得 和an 的表達(dá)式，即可解題.

例2.已知數(shù)列{a}的首項為a?，an+1=paa+an+ b（n≥1），求數(shù)列{a.}的通項公式.

解：

本題中f（n）=an+b，? 需引入待定系數(shù)λ，利用待定系數(shù)法求得λ的值，構(gòu)造出等比數(shù)列{an+g（n）}， 再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行求解.

例3.已知數(shù)列{a}的首項為a?，an+?=pa 。+an?+ bn+c（n≥1）， 求數(shù)列{a.}的通項公式.

解：

構(gòu)造出等比數(shù)列后，可得出an=[a?+g（1]p"-'-g（n），只需將a?和 g（n）代入該式中，即可求得a， 的表達(dá)式.在運用待定系數(shù)法解題時，要根據(jù)恒等式的性質(zhì)——新舊遞推關(guān)系式中次數(shù)相同的項的系數(shù)相等，來建立方程，進(jìn)而求出待定系數(shù).

二、f（n）=s ·p?+s?*q?+…+sm ·r"

當(dāng) f（n）=s：p"+s?q?+…+sm ·r°時，n 為指數(shù)，仍需運用待定系數(shù)法來構(gòu)造輔助數(shù)列，通過求輔助數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{a，}的通項公式.若 f（n）為多項式，就需引入多個系數(shù)，以將遞推關(guān)系式αn+1=pa%+ f（n）變形為an+1+g（n+1）=p（an+g（n），? 從而構(gòu)造出合適的輔助數(shù)列{an+g（n）}.

例4.已知數(shù)列{a}的首項為a?，an+=pa，+q ·r"（n≥1，p≠0），? 求數(shù)列{a.}的通項公式.

解：

因為n 是正整數(shù)，且是數(shù)列的自變量，所以在用待定系數(shù)法時，要根據(jù)恒等式的性質(zhì)——兩個同底指數(shù)式的系數(shù)相等，來建立方程，求出待定系數(shù).

例5.已知數(shù)列{a}的首項為a?，an+1=pa，+q*r*+t · s"（n≥1，p≠0），? 求數(shù)列{a，}的通項公式.

解：

根據(jù)輔助數(shù)列{a，+g（n）}可得出a，=（a?+g（1）p*-1? -g（n）， 再用待定系數(shù)法求出 g（n）， 即可求出數(shù)列的通項公式.

例6.已知數(shù)列{a，}的首項α?=1，滿足an+1=5a+2·3"+4（n≥1）， 求數(shù)列{a}的通項公式.

解：

解答本題，需引入兩個待定系數(shù)λ、μ，以構(gòu)造出輔助數(shù)列{an+3"+1}， 再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得問題的答案.

例7.已知數(shù)列{a，}的首項q?=1， 滿足an+1=3a+2*+2n-1（n≥1）， 求數(shù)列{a}的通項公式.

解：

本題中 f（n）=2"+2n-1，?? 在運用待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列時，要引入三個參數(shù)λ、μ、γ，以構(gòu)造出輔助數(shù)列{aa+2"+n}.

對于形如an+1=pan+f（n）（p≠0，p≠1）? 的遞推關(guān)系式，在求數(shù)列的通項公式時，要關(guān)注f（n）的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征引入待定系數(shù)，以運用待定系數(shù)法構(gòu)造出新等比數(shù)列，將問題轉(zhuǎn)化為簡單的等比數(shù)列通項公式問題來求解.

（作者單位：晏炳剛，重慶市綦江中學(xué)；涂元梅，重慶市綦江區(qū)南州中學(xué)）