基本不等式的幾種配湊技巧

張森

基本不等式： a+b≥2√ab（a 、b>0）? 是一種較為常用的工具，常用于解答最值問題、參數(shù)的取值范圍問題.運用基本不等式有兩個關(guān)鍵點：（1）配湊出兩式的和或者積；（2）確保三個前提條件：一正、二定、三相等成立.本文主要探討一下配湊基本不等式的和或積的幾種技巧.

一、分離常數(shù)

分離常數(shù)是指將目標(biāo)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危勾鷶?shù)中的分式與整數(shù)分離出來，從而構(gòu)造出兩式的和或積，進(jìn)而運用基本不等式解題.此種方法適用于求解目標(biāo)式為分式，且分子的最高次數(shù)高于分母的最高次數(shù)的最值問題.

例1.

解：

當(dāng)遇到形如的代數(shù)式時，需將分子配湊成分母的倍數(shù)，把原式變化為形如y=Af（x）+的式子，使常數(shù)分離出來，就能直接利用基本不等式來求得y 的最小值.若 f（x）為負(fù)數(shù)，則需將函數(shù)式變形為的形式，再運用基本不等式求最值.

二、整體代換

整體代換是將某個數(shù)值或者已知的代數(shù)式代入所求的式子中進(jìn)行運算，以便配湊出兩式的和或積.運用此種方法解題，需要在解題前仔細(xì)觀察目標(biāo)式與所給關(guān)系式之間是否存在某種特定的關(guān)系或聯(lián)系；然后將已知式整體代換，化簡目標(biāo)式，從而配湊出兩式的和或積.

例2.已知實數(shù)x，y 滿足x?+y?-xy=1， 求x+y 的最大值.

解：

通過分析題目，能夠發(fā)現(xiàn)已知關(guān)系式與目標(biāo)式之間存在一定的關(guān)系：（x+y）?=（x?+y?-xy）+3xy，?? 于是將已知關(guān)系式x?+y?-xy=1進(jìn)行整體代換，得到（x+y）?=1+3xy.然后將 xy 看作兩式的積，運用基本不等式 a+b≥2√ab（a、b>0）即可求得最值.

三、取倒數(shù)

有些分式中分母的最高次數(shù)高于分子的最高次數(shù)，此時很難快速求得代數(shù)式的最值，可取分式的倒數(shù)，再將其進(jìn)行合理的變形、拆分，得到兩式的積或者和，就能夠運用基本不等式解題.

例3.

解：

該分式中分母的最高次數(shù)高于分子的最高次數(shù)，且較為復(fù)雜，不妨取分式的倒數(shù)，再將其變形為兩式的積，便可運用基本不等式求得代數(shù)式的最值.

總之，運用基本不等式解題，需根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，將其進(jìn)行變形，靈活運用一些配湊技巧，如分離常數(shù)、整體代換、取倒數(shù)，以配湊出兩式的和或積，只要使和或積其中之一為定值，并確保兩式大于0，即可運用基本不等式快速求得代數(shù)式的最值.

（作者單位：華東師范大學(xué)鹽城實驗中學(xué)）