區(qū)間調(diào)和h-凸函數(shù)的整合分數(shù)階Hermite-Hadamard 型不等式

徐晨晨, 葉國菊, 劉 尉, 趙大方, 查新辰

(1.河海大學 理學院,江蘇 南京 210098; 2.湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖北 黃石 435002;3.浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)大學 建筑工程學院,浙江 東陽 322100)

0 引 言

Hermite-Hadamard不等式最早由Hermite和Hadamard 所發(fā)現(xiàn),是凸函數(shù)理論中最完善的不等式之一,具有幾何解釋和許多應(yīng)用.近年來,凸函數(shù)的Hermite-Hadamard 不等式再次受到關(guān)注,并且得到了各種各樣的改進和推廣.

另一方面,由于分數(shù)階積分在生物醫(yī)學、電子信息工程等領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用,Sarikaya等[1]將Riemann-Liouville分數(shù)階積分與Hermite-Hadamard不等式結(jié)合,建立了分數(shù)階積分的Hermite-Hadamard 型不等式.Büdak等[2]定義了區(qū)間值Riemann-Liouville 分數(shù)階積分,給出了 區(qū)間值函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式的分數(shù)階形式.進一步,文獻[3]給出了區(qū)間值函數(shù)整合分數(shù)階積分的概念,得到了區(qū)間值h-凸函數(shù)的整合分數(shù)階積分的Hermite-Hadamard型不等式.

受上述文獻的啟發(fā),本文中,筆者利用文獻[4]中h-凸函數(shù)與調(diào)和h-凸函數(shù)的關(guān)系,得到了區(qū)間調(diào)和h-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式,同時推廣了文獻[5]的結(jié)果.

1 預(yù)備知識

對λ∈R,RI任意空間中的區(qū)間運算規(guī)定如下:

同時,

之間的包含關(guān)系“?”為

定義2[7]設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u),u是x的函數(shù)u=φ(x),如果φ(x)的值全部或部分在f(x)的定義域內(nèi),則y通過u成為x的函數(shù),記作y=(f°φ)(x)=f(φ(x)),稱為由函數(shù)y=f(u)與u=φ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).

文獻[8]給出了區(qū)間值函數(shù)Riemann可積的定義.用I[a,b]表示所有Riemann可積的區(qū)間值函數(shù)構(gòu)成的集合,用R[a,b]表示所有Riemann可積實函數(shù)構(gòu)成的集合.

f(tx+(1-t)y)?h(t)f(x)+h(1-t)f(y),

則稱f(x)是[a,b]上的調(diào)和h-凸函數(shù).用SHX(h,[a,b],R+I)表示[a,b]上所有調(diào)和h-凸函數(shù)的全體.若上式的包含符號反向,則稱f(x)是[a,b]上的調(diào)和h-凹函數(shù).類似地,用SHV(h,[a,b],R+I)表示[a,b]上的調(diào)和h-凹函數(shù)的全體.

其中Γ是Gamma函數(shù).

文獻[11]推廣了Riemann-Liouville積分,引入了整合分數(shù)階積分.進一步,文獻[3]推廣了整合分數(shù)階積分,得到了區(qū)間值的整合分數(shù)階積分.

注2 當α=n+1時,定義6即為定義5.

證由引理1和定義6即可證得.

2 主要結(jié)果

(1)

(2)

因此

即

即證得(1)中的第1個不等式.

類似地,有

(3)

因此

證畢.

注4 若定理1中h(t)=t,則

注5 若定理1中α=n+1,h(t)=t則得到文獻[5]中的定理3.6.

(4)

(5)

由注3,有

因此

即證得(4)中的第一個不等式.

類似地,

(6)

因此

注7 若定理2中h(t)=t,則

注9 若定理2中α=n+1,h(t)=t可得到文獻[5]中的定理3.9.

(7)

且

(8)

這里,

M(a,b)=f(a)g(a)+f(b)g(b),N(a,b)=f(a)g(b)+f(b)g(a).

ψ(x)∈SX(h,[a,b],R+I),φ(x)∈SX(h,[a,b],R+I)那么,

因此

h1(1-v)h2(1-v)]M(a,b)+[h1(v)h2(1-v)+

h1(1-v)h2(v)]N(a,b).

(9)

(10)

由定義6,有

(11)

(12)

將式(11),(12)代入(10),即證得(7).

類似地,

[h1(v)h2(v)+h1(1-v)h2(1-v)]N(a,b)}.

(13)

h1(1-v)h2(v)]M(a,b)+

[h1(v)h2(v)+h1(1-v)h2(1-v)]N(a,b)}=

證畢.

且

這里,

M(a,b)=f(a)g(a)+f(b)g(b),N(a,b)=f(a)g(b)+f(b)g(a).

注10 若定理3中h(t)=t,則

2N(a,b)(n+1)(α-n)},

且

2N(a,b)(n+1)(α-n)}.