具有Kagome結(jié)構(gòu)磁振子晶體中平帶及帶隙的研究

張 璐, 楊 慧, 曹永軍, 范天舒, 張 劼

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

平帶晶格是指具有至少一個(gè)完全無(wú)色散布洛赫帶的周期性介質(zhì),1980年就被人們所熟知[1-3],但當(dāng)時(shí)許多人認(rèn)為它們要么是“病態(tài)”的(需要復(fù)雜的晶格設(shè)計(jì)并且對(duì)擾動(dòng)不穩(wěn)定),要么是微不足道的(在理想的平帶內(nèi),所有狀態(tài)都是退化的,所以沒(méi)有動(dòng)態(tài));然而最近,在物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,包括冷原子、電子凝聚態(tài)系統(tǒng)和光子學(xué)[4-7]等領(lǐng)域,對(duì)平帶的研究興趣重新燃起,因?yàn)槿藗冮_(kāi)始意識(shí)到越來(lái)越多的具有短程連接的更簡(jiǎn)單的平帶模型的例子[2,8-9];先進(jìn)的制造技術(shù)使這些“病態(tài)”模型最終能夠在實(shí)驗(yàn)室得以實(shí)現(xiàn)[10-11].此外,在具有平帶結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中引入諸如相互作用之類的擾動(dòng)時(shí),會(huì)出現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象[12-14].因此,平帶受到了越來(lái)越多的關(guān)注,這種關(guān)注必然會(huì)隨著理論和實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步深入而繼續(xù)下去.

量子霍爾效應(yīng)是凝聚態(tài)物理中最有意義的發(fā)現(xiàn)之一[15],它將拓?fù)湟氲轿锢韺W(xué)中,由此開(kāi)始了拓?fù)淠軒У南嚓P(guān)研究.拓?fù)洮F(xiàn)象在電子系統(tǒng)[16]、光子系統(tǒng)[17-18]都有研究,在人工晶體,如光子晶體、聲子晶體中的研究也有所突破[19-26].2005年,Haldane和Raghu突破性地提出在光子晶體中實(shí)現(xiàn)光學(xué)拓?fù)鋺B(tài),由此光子學(xué)中引入了拓?fù)湮锢砀拍?隨后對(duì)平帶物理的研究持續(xù)并深入,使平帶也得到廣泛研究,在光子晶體、超構(gòu)材料與光子晶格等光學(xué)系統(tǒng)中觀察到了很多新的物理效應(yīng)[19-21].最新研究進(jìn)展是平帶對(duì)應(yīng)波函數(shù)群速度為0,可以實(shí)現(xiàn)整個(gè)布里淵區(qū)的慢光效應(yīng)[22].Nakata等[23]構(gòu)建了Kagome結(jié)構(gòu)并直接觀察到太赫茲波等離激元平帶,在二維Lieb結(jié)構(gòu)中也觀察到類似性質(zhì)[24].Huang等[25]在四方結(jié)構(gòu)中實(shí)現(xiàn)了零折射率超構(gòu)材料,且得到與Lieb結(jié)構(gòu)相似的能帶.2016年,Baboux等[26]在一維枕型結(jié)構(gòu)中觀察到無(wú)色散平帶,得到了對(duì)應(yīng)于平帶的激子-極化激元凝聚態(tài).2010年,日本研究團(tuán)隊(duì)[27]在具有燒綠石結(jié)構(gòu)的鐵磁體中首先發(fā)現(xiàn)了磁子霍爾效應(yīng).2013年,Hoogdalem等[28]理論證實(shí)了磁子霍爾效應(yīng)的存在.在對(duì)具有拓?fù)湫再|(zhì)的準(zhǔn)粒子進(jìn)行深入研究的過(guò)程中,美國(guó)研究小組[29]通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察到Kagome磁鐵中存在拓?fù)淞孔討B(tài).2015年,美國(guó)的研究小組[30]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究證實(shí),在絕緣的Kagome鐵磁體中,磁振子具有拓?fù)湫再|(zhì)的能帶結(jié)構(gòu),中子散射測(cè)量的結(jié)果也說(shuō)明Kagome晶格中有一個(gè)平坦的能帶.2017年,研究人員[31]根據(jù)磁子能帶的Berry曲率導(dǎo)出磁子霍爾熱導(dǎo)率.2020年,Xing等[32]通過(guò)最近鄰海森堡相互作用與DM相互作用研究了具有Kagome晶格鐵磁體中的天然磁子晶體的平帶及拓?fù)湫再|(zhì).

磁振子晶體是類似于聲子晶體和光子晶體的一種人工晶體,是由2種或多種不同磁性材料構(gòu)成的具有空間周期性的人工微納米復(fù)合材料[33-35],其最基本的特點(diǎn)是自旋波在其中傳播時(shí)會(huì)受周期性結(jié)構(gòu)調(diào)制而產(chǎn)生帶隙,帶隙范圍內(nèi)的自旋波不能在晶體中傳播.Vasseur等[36]研究發(fā)現(xiàn),構(gòu)成晶體材料的相關(guān)參數(shù)不同會(huì)對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大影響,會(huì)改變磁參數(shù),交換作用常數(shù)相差越大對(duì)帶隙的產(chǎn)生越有利.Cao等[37-39]研究發(fā)現(xiàn),構(gòu)成晶體的材料形狀、大小和排列方式也會(huì)對(duì)能帶隙結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響.磁振子晶體相關(guān)應(yīng)用多數(shù)依賴于其能帶結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的帶隙.最近,林基哲等[40]又研究了蜂窩(honeycomb)結(jié)構(gòu)磁振子晶體,發(fā)現(xiàn)在該結(jié)構(gòu)中存在磁子狄拉克點(diǎn)與類狄拉克點(diǎn).然而,關(guān)于磁振子晶體中平帶及其拓?fù)湫再|(zhì)的研究仍處于空白階段.為此,本文中,筆者在上述研究的基礎(chǔ)上,提出了具有Kagome結(jié)構(gòu)的磁振子晶體模型,研究其相關(guān)平帶性質(zhì).磁振子晶體、人工磁振子晶體中平帶的出現(xiàn)完善了拓?fù)湮锢韺W(xué)的研究?jī)?nèi)容,在自旋波波導(dǎo)器件等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景,同時(shí)在量子計(jì)算、量子模擬等領(lǐng)域具有重要的研究?jī)r(jià)值.

首先提出了Kagome磁振子晶體結(jié)構(gòu)模型,給出了計(jì)算方法,然后討論了平帶、狄拉克點(diǎn)和帶隙,最后給出了相應(yīng)的結(jié)論.

1 理論模型和計(jì)算方法

Kagome磁振子晶體的結(jié)構(gòu)如圖1a所示.圓柱材料A按Kagome結(jié)構(gòu)嚴(yán)格排列在基底材料B中.其中,圓柱的半徑為R,相鄰距離為a.圖1b所示為第一布里淵區(qū).

圖1 Kagome磁振子晶體結(jié)構(gòu)示意圖(a)和Kagome晶格的第一布里淵區(qū)(b)Fig.1 A Schematic Map of Magnonic Crystals with Kagome Structure(a) and the First Brillouin Zone of a Kagome Lattice(b)

忽略阻尼效應(yīng)的前提條件下,自旋波在基底材料B中的傳播行為可以用下面的方程描述:

(1)

其中,g代表磁旋比,g>0,Heff(r,t)是作用于M(r,t)上的有效場(chǎng),而M(r,t)是材料磁化強(qiáng)度的矢量.利用改進(jìn)的平面波展開(kāi)法[39],可對(duì)Kagome磁振子晶體結(jié)構(gòu)的帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究,交換作用系數(shù)α(G-G′)結(jié)果可以表示為

(2)

2 結(jié)果與討論

對(duì)于二維Kagome磁振子晶體的帶結(jié)構(gòu),具體數(shù)值計(jì)算過(guò)程是通過(guò)改變Kagome結(jié)構(gòu)中排列在氧化銪(EuO)基底材料中的鐵(Fe)圓柱的體積填充率來(lái)展開(kāi)的.交換作用常數(shù)A和自發(fā)磁化強(qiáng)度Ms在計(jì)算過(guò)程中所選取的數(shù)值如下:

通過(guò)計(jì)算大量不同體積填充率下的帶結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)有平帶出現(xiàn).圖2a為體積填充率f=0.65時(shí)Kagome磁振子晶體的帶結(jié)構(gòu)圖.可知,第10條帶接近平帶,除在Γ點(diǎn)附近發(fā)生細(xì)微突變,其他部分均為平帶;第14,15條帶為完全平帶且互相簡(jiǎn)并,第19,20條帶也接近平帶,除在Γ點(diǎn)附近發(fā)生細(xì)微突變,其他部分均為平帶,也互相簡(jiǎn)并.說(shuō)明在Kagome磁振子晶體中,通過(guò)調(diào)整體積填充率可以構(gòu)建出平帶.同時(shí)計(jì)算得到了第13～16條帶相應(yīng)的三維色散關(guān)系圖.圖2b為在K點(diǎn)附近局部放大的三維色散關(guān)系圖.可見(jiàn),第14,15條帶是非常平的帶,說(shuō)明它們的平坦度非常高.

圖2 Kagome磁振子晶體的帶結(jié)構(gòu)(a)及Kagome磁振子晶體中平帶的三維色散關(guān)系圖(b)Fig.2 Band Structure of a Kagome Magnonic Crystal(a) and Three-dimensional Dispersion Diagram of Flat Band in Kagome Magnonic Crystals(b)

平帶處的行為在實(shí)空間的能量場(chǎng)分布也有所反映,如圖3所示.圖3a,b,c分別給出了f=0.65時(shí)第10,14,15條帶在K點(diǎn)的能量場(chǎng)分布結(jié)果.其中,虛線圓表示圓柱散射體的位置,紅色對(duì)應(yīng)的值最大,即能量最高.從圖3可以看出,能量很好的局域在基底氧化銪(EuO)中,散射體位置沒(méi)有能量,說(shuō)明平帶的局域性非常強(qiáng).對(duì)于第14,15條帶,極化強(qiáng)度方向彼此相反.

a.第10條帶; b.第14條帶; c.第15條帶.圖3 平帶處的能量場(chǎng)分布Fig.3 Energy Field Distribution at Flat Band

平帶隨體積填充率f的變化關(guān)系結(jié)果如圖4所示.圖4a中離散的點(diǎn)表示平帶只在某一個(gè)體積填充率時(shí)出現(xiàn)過(guò),如f=0.20時(shí),Ω=0.024 48,在第14條平帶出現(xiàn)過(guò),之后隨著體積填充率的變化平帶消失;同時(shí)當(dāng)f=0.20時(shí),在第10,15,19,20條平帶開(kāi)始出現(xiàn).圖4中相同的點(diǎn)線之間圍成的區(qū)域表示連續(xù)存在平帶的寬度,寬度較大說(shuō)明平帶的平坦度較低,寬度較小甚至重合說(shuō)明平帶的平坦度較高,如第10條平帶從f=0.30處開(kāi)始寬度較大,說(shuō)明此時(shí)平帶的平坦度較低,隨填充率變化到f=0.50處開(kāi)始重合,說(shuō)明平帶的平坦度非常高.從圖4還可以發(fā)現(xiàn),同一條平帶在不同體積填充率下出現(xiàn)的位置也不同,如第10條平帶在f=0.50時(shí)的頻率約為1.082 59,在f=0.54時(shí)的頻率約為1.156 88.圖4b給出了第10條平帶隨體積填充率f的變化關(guān)系的放大結(jié)果.通過(guò)上述討論發(fā)現(xiàn),隨著體積填充率的變化,平帶的數(shù)目和位置都會(huì)發(fā)生變化.

圖4 平帶(a)及第10條平帶(b)隨體積填充率f的變化行為Fig.4 The Change of Flat Band with the Volume Filling Rate f (a)and the Change of the Tenth Flat Band with the Volume Filling Ratef(b)

從圖2a還可以發(fā)現(xiàn),在體積填充率f=0.65時(shí),在布里淵區(qū)K點(diǎn)有2條能帶相交,記作點(diǎn)P,且有嚴(yán)格的線性關(guān)系在其附近形成了狄拉克點(diǎn).狄拉克點(diǎn)是K點(diǎn)二重態(tài)必然簡(jiǎn)并導(dǎo)致形成的,這種簡(jiǎn)并又是由于其結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性.狄拉克點(diǎn)在之前研究過(guò)的類石墨烯結(jié)構(gòu)中也出現(xiàn)過(guò)[40].

從圖2a還可以看到一些灰色區(qū)域,它們表示能帶之間的帶隙,圖2a所示為體積填充率f=0.65時(shí)的帶隙情況,在頻率范圍內(nèi)共有4個(gè)完全帶隙出現(xiàn).

圖5給出了帶隙寬度隨體積填充率的變化行為.選取其中2條帶隙具體說(shuō)明,分別是第10,11條帶之間的帶隙和第15,16條帶之間的帶隙,記為gap1和gap2.分析可得,帶隙不是在任何體積填充率下都出現(xiàn),同時(shí)其變化行為都是先增大后減小的.gap1,gap2均在f=0.55時(shí)達(dá)到最大,帶隙寬度分別為ΔΩ=0.249 89,0.215 97.

3 結(jié)束語(yǔ)

利用平面波展開(kāi)法研究二維Kagome磁振子晶體帶結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn),通過(guò)調(diào)節(jié)體積填充率,不僅可以構(gòu)建平帶,而且可以改變其數(shù)目和位置,同時(shí)在一定的體積填充率下會(huì)出現(xiàn)狄拉克點(diǎn),此外,通過(guò)調(diào)節(jié)體積填充率也可以改變?cè)摻Y(jié)構(gòu)中帶隙的寬度和位置.期望通過(guò)研究人工磁振子晶體帶結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)自旋波的調(diào)控和優(yōu)化,提供相應(yīng)理論基礎(chǔ)和可行方案來(lái)設(shè)計(jì)并應(yīng)用于磁振子晶體平帶結(jié)構(gòu)工程材料中.